Telecommunicatie en Informatieverwerking UNIVERSITEIT GENT Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar Tel: 09/ Fax: 09/ Prof. dr. ir. W. Philips Optimalisatietechnieken

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 2 Copyright notice This powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course “Optimisation Techniques” (Optimalisatietechnieken), taught at the University of Gent, Belgium as of This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and distributed free of charge by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical storage medium such as a CD-rom, provided that the following conditions are observed: 1.If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice “© W. Philips, Universiteit Gent, 1998” in a font size of at least 10 point on each slide; 2.You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction derived from such a file); 3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation; 4.You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or your organisation should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation; 5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author. In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the presentation, and can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections when you distribute them as separate works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the distribution of the whole must be on the terms of this License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also applies to the modified work (i.e., you may not charge for it). “Using and distributing the presentation” means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture, distributing it to students or employees for self-teaching purposes,... Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without the author’s consent. A fee may be charged for such use. Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic documents such as this one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software are also inherently unsafe and may contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer. If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by . I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover. Finally, if you have developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures. Prof. dr. ir. W. Philips Department of Telecommunications and Information ProcessingFax: University of GentTel: St.-Pietersnieuwstraat 41, B9000 Gent, Belgium

Sensitiviteitsanalyse Vervolg

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 4 Overzicht Primaal/duaal probleem in formulevorm Te bestuderen: hoe verandert het optimum van een lineair programma bij wijzigen van de winstfunctie of de (rechterleden van) de beperkingen De eigenlijke sensitiviteitsanalyse kwalitatief kwantitatief voor kleine veranderingen: berekenen van sensitiviteit kwantitatieve parametrische studies: winst als functie van de wijzigende coëfficiënt Toepassing: de parametrische zelf-duale simplexmethode

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 5 Notaties Primaal probleem in standaardvorm maximaliseer c t x over x en w mits x  0, w  0 en Ax + w = b met originele veranderlijken x en reserveveranderlijken w Duaal probleem in standaardvorm maximaliseer - b t y over y en z mits y  0, z  0 en -A t y + z = - c met originele veranderlijken y en reserveveranderlijken z Compactere notaties: primaal probleem: maximaliseermits  Door herdefiniëren van A, c en x : maximaliseermits ct xct x herdefinitie duale veranderlijken: z Ax= bAx= b

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 6 …Notaties… Opmerkingen onze voornaamste bedoeling is het invoeren van een uniforme notatie voor de veranderlijken omdat simplexstappen de variabelen mengt In de simplextableaus blijft er wel negatieve transponeringssymmetrie, maar de namen van de veranderlijken zijn nu anders P2P2 D2D xxx xxx xxx xx    ...max zzzz zzzz zzz   ... max door de keuze om z uit te breiden i.p.v. y, hebben duale variabelen dezelfde index

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 7 xNxN cNcN N …Notaties Net zoals vroeger maken we onderscheid tussen de B en NB- veranderlijken in een bepaalde fase: basiskolommen van A worden verzameld in B, de andere in N idem voor de basisrijen van x en c, en z B xBxB cBcB Maximaliseer c B x B + c N x N mits B x B +Nx N =b

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 8 Duaal/primaal in formulevorm… Winst: Primaal probleem: formules in simplextableau Stelsel: Winst: Duaal probleem: formules in simplextableau (via negatieve-transponering bovenstaande formules) Let op: z N bevat de rijen van z corresponderend met x N ; in het duale simplextableau zijn dit de B-variabelen (niet de NB-variabelen)

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 9 …Duaal/primaal in formulevorm Winst Primaal: In een specifieke primale en corresponderende duale basisoplossing: x N *=0  z B *=0  Duaal: Stelsel Winst Primaal: Duaal: Stelsel Vereenvoudige formules: in termen van de waarden van de huidige B- variabelen in de huidige basisoplossing

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 10 In formulevorm Belang van de vorige slide: deze geeft ons formules om de simplextableaus uit te drukken in termen van (kolommen van) de originele A en (rijen van) de originele b en c Winst Primaal: Duaal: Stelsel zzzz zzzz zzz   ... max xxx xxx xxx xx    ...max

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 11 Overzicht Primaal/duaal probleem in formulevorm Te bestuderen: hoe verandert het optimum van een lineair programma bij wijzigen van de winstfunctie of de (rechterleden van) de beperkingen De eigenlijke sensitiviteitsanalyse kwalitatief kwantitatief voor kleine veranderingen: berekenen van sensitiviteit kwantitatieve parametrische studies: winst als functie van de wijzigende coëfficiënt Toepassing: de parametrische zelf-duale simplexmethode

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 12 mogelijk Wijzigende winstfunctie… Bij voldoend kleine wijzigingen aan coëfficiënten van de winstfunctie, wijzigt het optimum niet (de waarde eventueel wel, maar de variabelen niet) optimaal x1x1 x2x2 winstfunctie 1 winstfunctie 2 winstfunctie 3 winstfunctie 4 Op een bepaald moment ontstaan er plots meerdere optima

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 13 mogelijk …Wijzigende winstfunctie Bij voldoend kleine wijzigingen aan coëfficiënten van de winstfunctie, wijzigt het optimum niet (de waarde eventueel wel, maar de variabelen niet) optimaal x1x1 x2x2 winstfunctie 1 winstfunctie 2 winstfunctie 3 winstfunctie 4 Op een bepaald moment ontstaan er plots meerder optima Als de coëfficiënten nog meer veranderen, verdwijnt het oude optimum, maar blijft één van de nieuw optima optimaal

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 14 Sensitiviteit: winstfunctie Wat zou er echter gebeuren mocht een coëfficiënt c j in de winstfunctie een beetje groter zijn geweest? In het finale simplextableau zijn sommige variabelen B en andere NB x j NB-veranderlijke  x j * =0   c j heeft geen invloed op de winst x j B-veranderlijke  x j *  0   c j heeft wel invloed op de winst en de invloed wordt des te groter naarmate x j * groter wordt Als de stijging van niet te groot is, blijft het optimum op dezelfde plaats liggen en zal simplex eindigen met dezelfde NB-variabelen; x * wijzigt dus niet De nieuwe primale winst wordt  = ( c+  c) t x *=  *+  c t x * en neemt dus toe met een bedrag  c t x * Besluit: x j * is de toename van de winst per eenheid toename van c j

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 15 Voorbeeld Origineel probleem P1P1 (-1+   ) P3P3 Finaal tableau (b.v. via duale simplexmethode) Huidig optimum: w 3 = x 2 =0 w 1 =18 x 1 =7  0 w 2 =6 Sensitiviteit aan de tweede winstcoëfficiënt:  de winst zal verhogen met x 2   =0 +(-1+   ) Zolang de optimale veranderlijken niet veranderen: Sensitiviteit aan de eerste winstcoëfficiënt:  de winst zal verhogen met x 1   =7   Opmerkingen voor voldoend kleine   en   =0 is de winst dus -7+7   voor voldoend kleine   en   =0 is de winst dus -7 voor voldoend kleine   en   is de winst dus -7+7   “voldoend klein” kan gemakkelijk worden gekwantificeerd in de eerste twee gevallen (waar ofwel   =0 ofwel   =0), maar minder gemakkelijk in 3de geval

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 16 Grenzen… Wat betekent “voldoende klein”, d.w.z. hoelang blijft de formule  =  *+  c t x * geldig? Antwoord: zolang in het finale simplextableau de coëfficiënten in de winstfunctieniet positief worden  z N *  0 Voorbeeld P1P xxx xxx xxx xx     max P3P3 (-1+   ) +(-1+   )

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 17 …Grenzen Optimum verschuift niet zolang -1+   <0 en -(4 -3   -   ) <0 Opgegeven tableau P1P1 (-1+   ) +(-1+   ) (4 -3   -   )7 xxx xxx xxx 2 x 5 x    (-1+   )  max P3P3 Finaal tableau

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 18 …Grenzen Bijzonder geval 2:  1 =0 Controleer grafisch dat er zowel voor  1 =1,  2 =0 als voor  1 =0,  2 =4 telkens meerdere optima verschijnen Wat gebeurt er met de optima als men nog verder gaat? Bijzonder geval 1:  2 =0

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 19 Grenzen… P1P xxx xxx xxx xx     max P3P3 (-1+   ) +(-1+   ) Waarom het moeilijk maken als het eenvoudig kan? Finaal simplextableau blijft optimaal zolang deze coefficienten negatief blijven

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 20 mogelijk Wijzigende beperkingen… Bij voldoend kleine wijzigingen aan het rechterlid van een niet-actieve ongelijkheid wijzigt het optimum niet optimaal x1x1 x2x2 winstfunctie

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 21 mogelijk …Wijzigende beperkingen… Bij voldoend kleine wijzigingen aan het rechterlid van een actieve ongelijkheid wijzigt het optimum geleidelijk zolang de ongelijkheid actief blijft optimaal x1x1 x2x2 winstfunctie en blijven dezelfde ongelijkheden actief

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 22 mogelijk …Wijzigende beperkingen optimaal x1x1 x2x2 Bij grotere wijzigingen worden andere ongelijkheden actief winstfunctie

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 23 Sensitiviteit: rechterleden Beschouw een ongelijkheid: a i1 x 1 +  + a ij x j +  + a in x n  b i  a i1 x 1 +  + a ij x j +  + a in x n + w i = b i Wat zou er gebeuren mocht b i een klein beetje veranderen? Geval 1: als in het optimum w i *>0 dan zal er niets veranderen aan het optimum of aan de optimale winst: er is overschot van ruw materiaal i, en er komt dan gewoon wat meer of minder overschot ( x verandert niet) Geval 2 is moeilijk te bestuderen in het primaal probleem, omdat zowel de winst als x B * afhangen van b Geval 2: als in het optimum w i *= 0 dan kan het optimum wel veranderen In het duaal probleem hangt echter enkel de winst af van b: onafhankelijk van b  in duaal optimum:

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 24 Sensitiviteit: rechterleden bij voldoend kleine  b blijft het duaal optimum ongewijzigd het primaal optimum verandert, maar wegens sterke dualiteit blijft de optimale primale winst wel gelijk aan de (nieuwe) optimale duale winst: In het duaal probleem hangt echter enkel de winst af van b: sensitiviteit aan b i Deze sensitiviteitsformules blijven gelden zolang het duaal optimum op de zelfde plaats blijft liggen aangezien de finale duale basisoplossing niet rechtstreeks afhangt van b blijft het duaal optimum liggen zolang de coëfficiënten van de finale duale winstfunctie (d.w.z. x B *) het goede teken blijven hebben moet  0 blijven

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 25 2: x 1 1: w 1 3: w 2 Voorbeeld Origineel probleem P1P1 P3P3 Finaal tableau (b.v. via duale simplexmethode) Huidig optimum: w 3 = x 2 =0 w 1 =18 x 1 =7  0 w 2 =6 B-variabelen: w 1, x 1, w 2 (-7+   ) (-8+   ) (4+   ) Sensitiviteit aan b 1, b 2, b 3 w1,x1,w2w1,x1,w2

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 26 …Voorbeeld Origineel probleem P1P1 (-7+   ) (-8+   ) (4+   ) Sensitiviteit aan b 1, b 2, b 3 Finaal duaal tableau D3D3 Eenvoudige redenering: bij voldoend kleine   en   verandert duaal optimum y * niet (primaal optimum misschien wel!) en finale primale winst= finale duale kost= b t y *  sensitiviteitsvector is y * D1D )7()8()4( max yyyz yyyz yyy   

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 27 Grafische controle x1x1 x2x b 1 =4 b 2 =-8 Sensitiviteit aan b 1, b 2, b 3 b 3 =-7 Nieuwe optimale winst: -1 * 5-1 * 0=-5 =oude winst+1 * (-5+7) b 3 =-5 3

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 28 Grenzen De sensitiviteitsformules blijven gelden zolang P1P1 P3P3 Finaal tableau (b.v. via duale simplexmethode) (-7+   ) (-8+   ) (4+   )

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 29 Opmerking Wat is B ?  zie definitie in begin presentatie: P1P1 P3P3 Finaal tableau (b.v. via duale simplexmethode) (-7+   ) (-8+   ) (4+   ) schrijf origineel stelsel als Ax=b B zijn de kolommen van de B-veranderlijken

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 30 Grenzen De sensitiviteitsformules blijven gelden zolang P1P1 P3P3 Finaal tableau (b.v. via duale simplexmethode) (-7+   ) (-8+   ) (4+   ) Bijzonder geval 1:  2 =0,  1 =0

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 31 Of de eenvoudige oplossing…. Probeer het zelf….

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 32 Samenvatting… Wijzigen van een winstcoëfficiënt c j bij voldoend kleine  c j : optimale variabelen veranderen niet optimale winst verandert lineair met c j (waarom?) bij een bepaalde kritische wijziging  c j =t max meerdere optima, waaronder het origineel optimum bij  c j >t max het origineel optimum is niet langer optimaal de optimale winst verandert weer lineair met c j maar niet meer op dezelfde manier als voorheen

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 33 …Samenvatting Wijzigen van een rechterlid b i bij voldoend kleine  b i : optimale variabelen veranderen lineair met b i optimale winst verandert lineair met b i (waarom?) bij een bepaalde kritische wijziging  b i =t max gedegeneerd optimum bij  b i >t max de optimale winst verandert weer lineair met b i maar niet meer op dezelfde manier als voorheen

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 34 Wijziging van de stelsel-parameters Wat gebeurt er als we in het trofeeën als we minder hout per trofee voorzien b.v. maar 3 dm 2 voor een voetbaltrofee i.p.v. 4 dm 2 Antwoord: gebruik de formules In het algemeen veel moeilijker Soms kan intuïtie gebruikt worden stel b.v. dat we in de optimale oplossing heel veel hout over hebben en dat we nog steeds hout overhebben mochten we in de optimale oplossing van 3 dm 2 overstappen naar 4 dm 2 dan …

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 35 Parametrische studies Bij een parametrische studie laat men één van de c j (of b i ) over een groot bereik variëren en men plot de winst als functie van die coëfficiënt cjcj winst (max.) cjcj kost (min.) men lost het probleem op voor één waarde van c j n.l. men bepaalt de sensitiviteit s 0 en het interval [    ] waarin deze geldig is vervolgens herhaalt men de berekeningen voor c j =  , berekent een sensitiviteit s 1 en het interval [    ] enz. Bij de berekeningen kan men best starten van het eindtableau uit de vorige stap (“warm start”)  doorgaans minder berekeningen (maak oef 7.11) s0s0 s1s1 s2s2

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 36 Vraag Waarom neemt de helling van de linkse grafiek op de vorige slide toe van links naar rechts?

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 37 Typisch gedrag i.f.v. rechterleden  -ongelijkheid minimalisatie bibi kost  -ongelijkheid minimalisatie bibi kost bibi winst  -ongelijkheid maximalisatie bibi winst  -ongelijkheid maximalisatie meer mogelijke oplossingen

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 38 Monotoon gedrag Belangrijk: we onderstellen nog steeds positieve variabelen Stijgende functies ontstaan bij verhogen van een winstcoëfficiënt in een maximalisatieprobleem verhogen van een kostcoëfficiënt in een minimalisatieprobleem relaxeren van een ongelijkheid (=meer mogelijke oplossingen toelaten) in een maximalisatieprobleem verstrengen van een ongelijkheid (=minder mogelijke oplossingen toelaten) in een minimalisatieprobleem Zoniet zijn de functies dalend Interpretatie: als de verkoopprijs van een product stijgt dan zullen we nooit minder verdienen in het slechtste geval zullen we evenveel verdienen (nl. als in de optimale oplossing het betreffende product niet wordt verkocht) als we meer voorraad hebben van een bepaald ruw materiaal dan zullen we zeker niet minder producten kunnen maken in het slechtste geval maken we geen extra producten, omdat het bijkomend ruw materiaal niet wordt gebruikt in de optimale oplossing

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 39 Convex/concaaf gedrag De functies winst( ) en kost( ) zijn altijd convex of concaaf: convexe functie: sensitiviteit (afgeleide van de curve) neemt toe (of blijft constant) met stijgende c j of b i concave functie: sensitiviteit (afgeleide van de curve) neemt af (of blijft constant) met stijgende c j of b i Interpretatie convexiteit/concaviteit naarmate een ongelijkheid minder streng wordt, krijgt ze minder invloed en wordt het optimum meer en meer door andere ongelijkheden bepaald naarmate een winstcoëfficiënt groter wordt, krijgt hij meer invloed en beïnvloedt hij de winst niet alleen rechtreeks, maar ook meer en meer onrechtstreeks door het optimum te doen verschuiven

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 6/3/ c. 40 Opmerkingen De sensitiviteit is de afgeleide van de parametrische winst/kost curve cjcj winst (max.) s0s0 s1s1 s2s2 bibi kost  -ongelijkheid maximalisatie Interpretatie: meerdere optima  afhankelijk van het optimum waarin we eindigen krijgen we een andere x * en dus een andere sensitiviteit voor c j of: gedegenereerd optimum  afhankelijk van de keuze van de NB- variabelen krijgen we een andere B en dus een andere sensitiviteit voor b i In de “knikpunten” verschillen de linker- en rechterafgeleiden