Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar Tel: 09/ Fax: 09/ Prof. dr. ir. W. Philips Optimalisatietechnieken

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 2 Copyright notice This powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course “Optimisation Techniques” (Optimalisatietechnieken), taught at the University of Gent, Belgium as of This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and distributed free of charge by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical storage medium such as a CD-rom, provided that the following conditions are observed: 1.If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice “© W. Philips, Universiteit Gent, 1998” in a font size of at least 10 point on each slide; 2.You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction derived from such a file); 3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation; 4.You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or your organisation should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation; 5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author. In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the presentation, and can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections when you distribute them as separate works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the distribution of the whole must be on the terms of this License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also applies to the modified work (i.e., you may not charge for it). “Using and distributing the presentation” means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture, distributing it to students or employees for self-teaching purposes,... Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without the author’s consent. A fee may be charged for such use. Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic documents such as this one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software are also inherently unsafe and may contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer. If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by . I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover. Finally, if you have developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures. Prof. dr. ir. W. Philips Department of Telecommunications and Information ProcessingFax: University of GentTel: St.-Pietersnieuwstraat 41, B9000 Gent, Belgium

Zelfstudie: Enkele begrippen uit de graaftheorie

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 4 Grafen Graaf: een verzameling knopen (vertices) verbonden door takken (edges) Gerichte graaf (directed graph): een graaf met éénrichtingstakken: bestaat uit knopen (nodes) en pijlen (arcs) Bepaald door: V, de verzameling van alle knopen en E, de verzameling van alle takken Dezelfde graaf kan op veel manieren worden getekend! Elke knoop heeft nul of meer opvolgers (successors) en nul of meer voorgangers (predecessors) gewijzigd op: 6/10/2003

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 5 Definities en notaties a b Tak ( a,b ), ( b,a ) of w w Lus Pijl: ( a,b ) of w w a b Opmerking: soms is w niet de naam van de tak maar een waarde geassocieerd aan tak a b ( a,b ) 1 ( a,b ) 2 Pad: een aaneensluitende sequentie takken w i = ( x i, x i+1 ), i= 1,…n -1 Notatie ( x 1 …x n ) of w 1,w 2, …... x2x2 xnxn x1x1 w1w1 w2w2 w n-1

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 6 Paden en circuits Symbolische voorstelling: tak: rechte lijn of lijn met 1 bocht pad: kronkelende lijn b a Pad Circuit: gesloten pad (beginknoop=eindknoop) w1w1 w2w2 w3w3 w4w4 Enkelvoudig (“simple”) pad: aan elke knoop (behalve begin- en eindknoop) hangen juist twee takken w1w1 w2w2 w3w3 w5w5 w4w4 w6w6 gewijzigd op: 6/10/2003

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 7 Circuits en paden in gerichte graaf In een gerichte graaf moet men duidelijk afspreken of men in de definities van “pad” en “circuit” eist dat het pad of het circuit gericht is, d.w.z. de zin van de pijlen volgt In de literatuur zijn er verschillende strekkingen strekking 1: de zin van de pijlen heeft geen belang, tenzij men het expliciet heeft over gerichte paden en circuits strekking 2: paden moeten de zin van de pijlen volgen tenzij men het expliciet heeft over niet-gerichte paden -een gericht pad noemt men dus een pad -een niet gericht pad noemt men hier ook een ketting -circuits moeten hier wel de zin van de pijlen volgen (!) Wij zullen steeds veronderstellen dat paden en circuits de zin van de pijlen volgen; als dat niet zo is zullen we het expliciet hebben over niet-gerichte paden en circuits

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 8 Geconnecteerdheid (connectedness) Volledig geconnecteerde graaf: er ligt een tak tussen elke twee knopen geconnecteerd, niet volledig, 1 component niet-geconnecteerd, niet volledig 2 componenten geconnecteerd, volledig 1 component Hoeveel takken bevat een volledig geconn. graaf met v knopen? Een niet-geconnecteerde graaf bestaat uit componenten die zelf geconnecteerd zijn Geconnecteerde graaf: bevat een pad tussen elke twee knopen

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 9 Geconnecteerdheid in gerichte graaf Definities:een graaf met pijlen is geconnecteerd  de corresponderende graaf zonder pijlpunten is geconnecteerd s t geconnecteerde graaf, maar niet sterk geconnecteerd s t sterk-geconnecteerde graaf Als er geen pad van s naar t bestaat zijn er daarvoor twee mogelijke oorzaken: s en t behoren tot 2 verschillende componenten of er bestaat geen gericht pad van s naar t een gerichte graaf is sterk geconnecteerd  er bestaat een pad dat de pijlen respecteert van elke knoop naar elke andere knoop

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 10 Sub-graaf Subgraaf G’ van G : wordt verkregen door het verwijderen van een aantal takken en de corresponderende knopen:  E’  E en V’  V G G’ gegenereerd door rode knopen G’ gegenereerd door blauwe takken Subgraaf gegenereerd door verzameling V’ van knopen: bestaat uit deze knopen en uit enkel de takken die twee knopen uit V’ verbinden Subgraaf gegenereerd door verzameling E’ van takken: bestaat uit deze takken en uit enkel die knopen die uiteinden van takken uit E’ zijn

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a mazen 4 (!) mazen Planaire grafen Een graaf is planair als men hem kan tekenen zonder dat twee takken elkaar snijden (tenzij in een knoop) Planair Planair? Als een planaire graaf zo wordt getekend, dan verdeelt hij het vlak in mazen (=gebieden begrensd door de takken) Planair (!)

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 12 Duale van een planaire graaf Constructie van de duale graaf: 1. plaats één knoop in elke “maas” De duale graaf is ook planair duaal 2. voor elke tak in de gegeven graaf -noem de mazen aan weerszijden van die tak A en B (soms is A=B ; geef hier van een voorbeeld) -teken een tak tussen de knopen A en B in de duale graaf In dit voorbeeld is de duale graaf (toevallig) gelijk aan zichzelf! De duale van de duale graaf is dikwijls gelijk aan de originele graaf; wanneer wel en wanneer niet?

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 13 Het vierkleurenprobleem Men wenst de landen op een landkaart zo te kleuren dat landen die in meer dan één punt grenzen steeds een verschillende kleur hebben men zo weinig mogelijk kleuren nodig heeft Vierkleurenstelling: men heeft nooit meer dan 4 kleuren nodig een van de meest complexe bewijzen uit de wiskunde! Het vinden van een optimale kleuring is niet gemakkelijk Het vinden van een kleuring met 5 kleuren is wel een stuk gemakkelijker

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 14 Graad van een knoop… De graad van een knoop is het aantal takken aan deze knoop graad: 4 in-graad: 1 uit-graad:3 Bij een gerichte graaf kan men een onderscheid maken tussen het aantal takken dat uit een knoop vertrekt: de uit-graad het aantal takken dat in een knoop toekomt: de in-graad

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 15 … Graad van een knoop Opmerking: bij gerichte grafen tekent men soms ook takken zonder pijlen; men moet duidelijk definiëren wat men met dergelijke takken bedoelt graad: 4 graad: 3 in-graad: 1 uit-graad:3 men kan deze takken beschouwen als twee parallelle pijlen in tegengestelde zin  graad= in-graad + uit-graad men kan ze ook beschouwen als tweerichtingstakken  graad  in-graad + uit-graad Meest logische interpretatie

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 16 Bomen en bossen Een boom is een geconnecteerde graaf zonder (niet-gerichte) circuits Een boom Een bos Een bos is een niet-noodzakelijk geconnecteerde graaf zonder (niet-gerichte) circuits (een verzameling bomen) Eigenschappen (Bewijs dit zelf): In een boom is er een uniek pad tussen elke twee knopen Een boom met m knopen heeft m -1 takken Let op: een boom is een bijzonder geval van een bos

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 17 Opspannende boom: voorbeelden Opspannende bomen en bossen zijn dus deelgrafen van G en zijn niet uniek! Opspannende bomen Opspannend bos boom 1 boom 2 Een opspannende boom van een graaf G : een boom die alle knopen van G bevat (en waarvan de takken tot G behoren) Een opspannend bos van een graaf G : een bos dat alle knopen van G bevat (en waarvan de takken tot G behoren) Een koorde van een graaf G voor een bepaalde opspannende boom B : een tak van G die niet tot B behoort

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 18 Een snede Bij een verzameling knopen K hoort een snede S : de verzameling takken met 1 uiteinde in K en 1 uiteinde niet in K K : blauwe knopen S : blauwe takken De snede S is ook de minimale verzameling van takken die men moet doorsnijden om K volledig af te snijden van de “buitenwereld” De snede is enkelvoudig als het wegnemen van de snedetakken het aantal componenten van de graaf met niet meer dan 1 doet toenemen; zoniet is ze meervoudig 1 extra component  enkelvoudig

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 19 K Voorbeeld: snede in een boom... S is een meervoudige snede: 1 component voor het wegnemen van S en 5 componenten na het wegnemen van S Alternatieve definitie: een snede is meervoudig als ze als “echte” deelverzameling een andere snede bevat S “Echte” subsneden:

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a Voorbeeld: snede in een boom Een snede S verdeelt een graaf in minstens twee “eilanden” (gescheiden subgrafen)

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 21 Disconnecterende verzameling takken Een disconnecterende verzameling takken is een verzameling takken, die als men ze wegneemt de graaf doet uiteenvallen in meerdere componenten disconnecterende verzamelling takken en (enkelvoudige) snede disconnecterende verzameling takken maar geen snede Elke snede is een disconnecterende verzameling takken, maar het omgekeerde geldt niet

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 22 Bi-partite graaf Een graaf is bi-partite als men zijn knopen kan kleuren met twee kleuren zodat geen enkele tak knopen met dezelfde kleur verbindt bi-partite niet bi-partite d.w.z. als men zijn verzameling V van knopen kan partitioneren in gescheiden V 1 en V 2 zodat geen enkele tak twee knopen van V 1 verbindt noch twee knopen van V 2 bi-partite gelijk!

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 23 Een stroom... Een stroom beschrijft het transport van voorwerpen (elektronen, auto's, personen) in een netwerk Capaciteit van een tak: maximaal mogelijke stroom door die tak Bronknoop: genereert stroom Afvoerknoop: neemt stroom op Distributieknoop Een stroom is mogelijk als hij voldoet aan de capaciteitsbeperkingen in iedere tak de wet van het behoud van stroom in ieder knooppunt

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 24 Stroombehoud: voorbeeld Stroombehoud: Generatie van stroom+Inkomende stromen =Verbruik van stroom+Uitgaande stromen Voorbeeld stroombehoud: I 1 +I 2 =10I 2 =I 3 I 1 +I 4 =I Capaciteitsbeperkingen: I 1  6I 2  5 I 3  Bronkoop: genereert stroom Afvoerknoop: neemt stroom op Distributieknoop I1I1 Capaciteit I2I2 I3I3 I4I4 I5I5 4

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 21/2/ a. 25 Literatuur Evans, blzn N. Hartsfield and G. Ringel. Pearls in Graph Theory. A comprehensive introduction. Academic Press, ISBN: Peterson software windows-programma Mogelijkheden: -grafen tekenen, analyseren -Prim en Kruskal (optimale bomen) -Dijkstra (optimale paden) -...