Buigpunt en buigraaklijn 1. zie fig.a ‘De grafiek heeft de bolle kant naar beneden’ elke raaklijn ligt onder de grafiek (uitgezonderd in het raakpunt) de afgeleide is stijgend. 2. zie fig.b ‘De grafiek heeft de bolle kant naar boven’ elke raaklijn ligt boven de grafiek (uitgezonderd in het raakpunt) de afgeleide is dalend. 3. zie fig.c In het punt A geldt de raaklijn ligt links van het punt A onder de grafiek en rechts van het punt A boven de grafiek de afgeleide heeft een maximum voor x = xA Het punt A heet een buigpunt. In fig.c gaat de grafiek over van toenemend stijgend in afnemend stijgend. 13.1

De vier mogelijkheden voor een buigpunt van afnemend stijgend naar toenemend stijgend van toenemend dalend naar afnemend dalend van toenemend stijgend naar afnemend stijgend van afnemend dalend naar toenemend dalend 13.1

De grafiek van f heeft een buigpunt als de afgeleide f’ een extreme waarde heeft. Werkschema: berekenen coördinaten buigpunten Bereken f’(x) en f”(x). Los op f”(x) = 0 Schets de grafiek van f. Kijk of de oplossingen van f”(x) = 0 buigpunten opleveren. 13.1

opgave 4 geeft f”(x) = –x2 – 2x f”(x) = 0 geeft –x2 – 2x = 0 x(–x – 2) = 0 x = 0 ∨ x = –2 f(0) = 0 en f(–2) = De buigpunten zijn (0, 0) en (–2, ). f’(0) = dus de raaklijn in (0, 0) is horizontaal. a b

opgave 8a

opgave 8b is het buigpunt

Soorten van stijgen en dalen 13.2

opgave 14 geeft T is afnemend dalend Het afkoelingsproces verloopt dus steeds langzamer.

Afgelegde afstand, snelheid en versnelling Bij de tijd-afstandformule s(t) met s in meters en t in seconden is de snelheid v(t) = s’(t) met v in m/s en de versnelling a(t) = s”(t) met a in m/s2. 13.2

opgave 22 a gemiddelde snelheid = b geeft Voor t < 300 neemt de snelheid toe c d geeft Voor t ≈ 217 is de versnelling minder dan 0,02 m/s2

opgave 25 a De versnelling is gemiddeld 0,5 · 5 m/s2 en duurt 10 seconden, dus de snelheid neemt toe van 0 tot 0,5 · 5 · 10 = 25 m/s. Ook geldt O(W) = 0,5 · 5 · 10. Dus O(W) = v(10). b O(W) = v(10) = c Nee, nu is O(W) nog steeds 25, maar v(10) = 27. O(W) geeft de toename van de snelheid tussen t = 0 en t = 10. Als v(0) = 0 dan is O(W) = v(10). Dus O(W) = v(10)

opgave 29 a O(V) = remweg = 0,75 O(V) = De botsing duurt 0,1 seconde. b De versnelling is = 150 m/s2. Dit is 15 keer zo groot als de versnelling van de zwaartekracht. 54 km/uur = 15 m/s 15 0,1

Raaklijn door punt niet op grafiek Een lijn door O(0, 0) raakt de grafiek van f in P als de x-coördinaat van P voldoet aan f’(x) = Een lijn door A(xA, yA) raakt de grafiek van f in P als de f(x) x f(x) – yA p – xA 13.3

opgave 34a f(x) = x2 + 1 geeft f’(x) = 2x Raaklijnen door O, dus de x-coördinaten van de raakpunten volgen uit Dit geeft 2x2 = x2 + 1 x2 = 1 x = 1 ∨ x = –1 rck = f’(1) = 2, dus k: y = 2x rcl = f’(–1) = –2, dus l: y = –2x.

opgave 34b f(x) = x2 + 1 geeft f’(x) = 2x Raaklijnen door A(1, 0), dus de x-coördinaten van de raakpunten volgen uit Dit geeft 2x2 – 2x = x2 + 1 x2 – 2x – 1 = 0 De raakpunten zijn en

Rakende grafieken De grafieken van f en g raken elkaar in het punt A als de raaklijn in A aan de grafiek van f samenvalt met de raaklijn in A aan de grafiek van g. De grafieken van f en g raken elkaar in het punt A als de x-coördinaat van A voldoet aan f(x) = g(x) ∧ f’(x) = g’(x). 13.4

opgave 43 geeft geeft Voor raken moet gelden Uit de schets blijkt dat de grafieken elkaar zouden kunnen raken voor x = –1 Substitutie van x = –1 geeft 2 = 2 klopt klopt Dus de grafieken van f en g raken elkaar.

Elkaar loodrecht snijdende grafieken De lijnen k en l staan loodrecht op elkaar als geldt rck · rcl = –1. De grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht in het punt A als de x-coördinaat van A voldoet aan f(x) = g(x) ∧ f’(x) = g’(x) = –1. 13.4

opgave 54 geeft geeft geeft Substitutie van x = 4 in geeft klopt, dus de grafieken snijden elkaar loodrecht.