Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar.

Slides:



Advertisements
Verwante presentaties
H3 Tweedegraads Verbanden
Advertisements

havo A Samenvatting Hoofdstuk 2
havo B Samenvatting Hoofdstuk 6
havo A Samenvatting Hoofdstuk 10
dy dx De afgeleide is de snelheid waarmee y verandert voor x = xA
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 3
Stijgen en dalen constante stijging toenemende stijging
y is evenredig met x voorbeeld a N x 5 x 3
havo B Samenvatting Hoofdstuk 12
vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 2
vwo D Samenvatting Hoofdstuk 9
vwo C Samenvatting Hoofdstuk 13
vwo C Samenvatting Hoofdstuk 11
horizontale lijn a = 0  y = getal
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 2
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 1
vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 5
vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 7
vwo A Samenvatting Hoofdstuk10
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 7
vwo A Samenvatting Hoofdstuk 12
vwo C Samenvatting Hoofdstuk 14
vwo A Samenvatting Hoofdstuk 16
vwo A Samenvatting Hoofdstuk 14
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 13
Regels voor het vermenigvuldigen
De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn.
De grafiek van een machtsfunctie
Rekenregels van machten
Kwadratische vergelijkingen
∙ ∙ f(x) = axn is een machtsfunctie O n even n oneven y y y y a > 0
De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a =hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar.
Machten en logaritmen Een stukje geschiedenis
Lineaire functies Lineaire functie
De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn.
Formules en de GR Met de GR kun je bijzonderheden van formules te weten komen. Eerst plot je de grafiek. Gebruik eventueel de optie ZoomFit (TI) of Auto.
Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar.
Interval a-8 ≤ x < 3 [ -8, 3 › b4 < x ≤ 4½ ‹ 4, 4½ ] c5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d3 < x ≤ π ‹ 3, π ] -83 l l ○● 44½4½ l l ○● 5,17,3 l l ● 3π l l ○● ≤
De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn.
Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar.
Intervallen a-8 ≤ x < 3 [ -8, 3 › b4 < x ≤ 4½ ‹ 4, 4½ ] c5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d3 < x ≤ π ‹ 3, π ] -83 l l ○● 44½4½ l l ○● 5,17,3 l l ● 3π l l ○●
Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt.
Lineaire vergelijkingen
Buigpunt en buigraaklijn
1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule
havo B Samenvatting Hoofdstuk 5
WIS21.
ribwis1 Toegepaste wiskunde – Differentieren Lesweek 7
ribWBK11t Toegepaste wiskunde Lesweek 02
Havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 11. x 2 y is (recht) evenredig met x De formule heeft de vorm y = ax De tabel is een verhoudingstabel. Bij een k.
Havo B Samenvatting Hoofdstuk 4. Interval a-8 ≤ x < 3 [ -8, 3 › b4 < x ≤ 4½ ‹ 4, 4½ ] c5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d3 < x ≤ π ‹ 3, π ] -83 l l ○● 44½4½.
havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 12
havo A Samenvatting Hoofdstuk 3
Vwo C Samenvatting Hoofdstuk 15. Formules en de GR Met de GR kun je bijzonderheden van formules te weten komen. Eerst plot je de grafiek. Gebruik eventueel.
AFGELEIDEN.
havo B 5.1 Stelsels vergelijkingen
H4 Differentiëren.
H2 Lineaire Verbanden.
havo B Samenvatting Hoofdstuk 1
Vergelijkingen oplossen
Regels voor het vermenigvuldigen
Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar.
havo B Samenvatting Hoofdstuk 3
Snijpunt bepalen. Lijn p en lijn q snijden elkaar. Wat zijn de coördinaten van het snijpunt ?
Vwo6 WiskA Toepassing van differentiaalrekenen Extra opgaven.
Grafiek van lineaire formule
3 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 6
De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn.
havo B Samenvatting Hoofdstuk 1
Transcript van de presentatie:

Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x) = c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie. I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt. notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.1

voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x eerst haakjes wegwerken voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x f(x) = 2x² + 9x – 56 f’(x) = 2 · 2x + 9 f’(x) = 4x + 9 dezelfde termen optellen somregel van differentiëren

Andere regels ?!? De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2. Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x. Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn. Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) =  f(x) g(x)  niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

De productregel De quotiëntregel 7.1

De productregel: Als p(x) = f(x) · g(x)) dan is p'(x) = f'(x) · g(x)) + f(x) · g'(x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

v.b. productregel

De quotiëntregel: Bewijs (1) :

v.b. quotiëntregel

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen : f’(a) is de rc. van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 7.1

De afgeleide van f(x) = axn oude exponent ervoor zetten f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 nieuwe exponent 1 minder (4 – 1 = 3) 7.2

∙ ∙ opgave 22 a f(x) = x√x – 3x = x1½ - 3x f’(x) = 1½x½ - 3 = 1½√x – 3 stel k : y = ax met a = f’(0) = -3 dus k : y = -3x b f’(x) = 3 1½√x – 3 = 3 1½√x = 6 √x = 4 x = 16 l : y = 3x + b f(16) = 16  (16, 16) l : y = 3x - 32 ∙ 16 = 3 · 16 + b 16 = 48 + b -32 = b 7.2

De kettingregel: Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide: Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus: Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.) En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x))⋅g'(x) .

v.b. kettingregel

Differentieerregel voor de quotiëntregel: Bewijs (2) :

b raaklijn horizontaal  f’(x) = 0 y = (½x2 – 2x)3 = u3 opgave 29 a grafiek b raaklijn horizontaal  f’(x) = 0 y = (½x2 – 2x)3 = u3 met u = ½x2 - 2x = 3u2 en = x - 2 f’(x) = 3u2 · (x – 2) = 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) f’(x) = 0  3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0 ½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x2 – 4x = 0 v x – 2 = 0 x(x – 4) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2 c stel l : y = ax + b a = f’(6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2 · (6 – 2) = 432 l : y = 432x + b f(6) = 216 dus A(6, 216) dus l: y = 432x - 2376 dy du du dx 216 = 432 · 6 + b b = -2376 7.3

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient Teken f(x) = x² - 3x + 1. Teken enkele lijnen met rc = 2. Eén van de lijnen raakt de grafiek het raakpunt is B. Bereken de coördinaten van B. rc = 2 dus f’(xB) = 2 xB berekenen f’(x) = 2 oplossen f’(x) = 2x – 3 f’(x) = 2 xB = 2,5 yB = f(2,5) = -0,25 B(2,5; -0,25) y 4 3 2 2x – 3 = 2 2x = 5 x = 2,5 1 x -1 1 2 3 4 ● B -1 7.4

Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide werkschema : het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1) Bereken f’(x). 2) Los algebraïsch op f’(x) = 0. 3) Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4) Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … Raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0. 7.4

[ ] N O t opgave 43 a N = 90t – 40t√t + 20 N = 90t – 40t1½ + 20 = 90 – 60 · 1 = 30 Om 8 uur ’s morgens neemt het aantal auto’s dat per minuut passeert toe met 30 per uur. b = 0 geeft 90 - 60√t = 0 -60√t = -90 √t = 1½ t = 2¼  dus om 9.15 uur c 1 per twee minuten betekent 30 per uur = -30 90 - 60√t = -30 -60√t = -120 √t = 2  t = 4  dus om 11.00 uur dN dt [ ] dN dt N t=1 dN dt O t 2¼ dN dt

Krommen door toppen Opgave 46 m.b.v. geogebra

y x -4 O 2 opgave 51 a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10 50 opgave 51 a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10 f’(x) = -3x² - 6x + 24 f’(x) = 0 geeft -3x² - 6x + 24 = 0 x² + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 x = -4 v x = 2 voer f in op je GR optie minimum min. is f(-4) = -70 optie maximum max. is f(2) = 38 b f(x) = -50  3 oplossingen y = -50  snijdt de grafiek van f 3 keer f(x) = 50  1 oplossing y = 50  snijdt de grafiek van f 1 keer 38 ● x -4 O 2 -50 ● -70 c f(x) = p  3 oplossingen -70 < p < 38 d f(x) = p  1 oplossing p < -70 v p > 38 7.5

Differentiëren met quotiëntregel en kettingregel : (1/3) V.b. :

Vervolg: (2/3)

Vervolg: (3/3) Grafiek

Opgave 57 opgave 58 a f(x) = f’(x) = = = f’(x) = 0  -6x2 + 30 = 0 x = √5 v x = -√5 min. is f(-√5) = = max. is f(√5) = = Bf = -√5 √5 7.5

b f’(0) = = f(x) = ax heeft precies één oplossing voor a ≥ v a ≤ 0 c f’(x) =  = -18x2 + 90 = 2(x4 + 10x2 + 25) -18x2 + 90 = 2x4 + 20x2 + 50 -2x4 - 38x2 + 40 = 0 x4 + 19x2 – 20 = 0 (x2 + 20)(x2 – 1) = 0 x2 + 20 = 0 v x2 – 1 = 0 geen opl. x2 = 1 x = -1 v x = 1 vold. vold. vervolg 7.5

opgave 65 a fp(x) = x3 + x2 + px + 7 f’p(x) = ¼x2 + 2x + p f’p(1) = 0  ¼ + 2 + p = 0 p = -2¼ f’-2¼ (x) = 0 ¼x2 + 2x - 2¼ = 0 x2 + 8x – 9 = 0 (x + 9)(x – 1) = 0 x = -9 v x = 1 -9 1

b f’p(x) = ¼x2 + 2x + p f’p heeft twee extreme waarden dus f’p(x) = 0 heeft twee oplossingen D > 0 D = 22 – 4 · ¼ · p D = 4 – p 4 – p > 0 -p > -4 p < 4