Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x) = c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie. I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt. notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.1

voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x eerst haakjes wegwerken voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x f(x) = 2x² + 9x – 56 f’(x) = 2 · 2x + 9 f’(x) = 4x + 9 dezelfde termen optellen somregel van differentiëren

Andere regels ?!? De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2. Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x. Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn. Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) =  f(x) g(x)  niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

De productregel De quotiëntregel 7.1

De productregel: Als p(x) = f(x) · g(x)) dan is p'(x) = f'(x) · g(x)) + f(x) · g'(x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

v.b. productregel

De quotiëntregel: Bewijs (1) :

v.b. quotiëntregel

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen : f’(a) is de rc. van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 7.1

De afgeleide van f(x) = axn oude exponent ervoor zetten f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 nieuwe exponent 1 minder (4 – 1 = 3) 7.2

∙ ∙ opgave 22 a f(x) = x√x – 3x = x1½ - 3x f’(x) = 1½x½ - 3 = 1½√x – 3 stel k : y = ax met a = f’(0) = -3 dus k : y = -3x b f’(x) = 3 1½√x – 3 = 3 1½√x = 6 √x = 4 x = 16 l : y = 3x + b f(16) = 16  (16, 16) l : y = 3x - 32 ∙ 16 = 3 · 16 + b 16 = 48 + b -32 = b 7.2

De kettingregel: Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide: Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus: Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.) En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x))⋅g'(x) .

v.b. kettingregel

Differentieerregel voor de quotiëntregel: Bewijs (2) :

b raaklijn horizontaal  f’(x) = 0 y = (½x2 – 2x)3 = u3 opgave 29 a grafiek b raaklijn horizontaal  f’(x) = 0 y = (½x2 – 2x)3 = u3 met u = ½x2 - 2x = 3u2 en = x - 2 f’(x) = 3u2 · (x – 2) = 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) f’(x) = 0  3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0 ½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x2 – 4x = 0 v x – 2 = 0 x(x – 4) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2 c stel l : y = ax + b a = f’(6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2 · (6 – 2) = 432 l : y = 432x + b f(6) = 216 dus A(6, 216) dus l: y = 432x - 2376 dy du du dx 216 = 432 · 6 + b b = -2376 7.3

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient Teken f(x) = x² - 3x + 1. Teken enkele lijnen met rc = 2. Eén van de lijnen raakt de grafiek het raakpunt is B. Bereken de coördinaten van B. rc = 2 dus f’(xB) = 2 xB berekenen f’(x) = 2 oplossen f’(x) = 2x – 3 f’(x) = 2 xB = 2,5 yB = f(2,5) = -0,25 B(2,5; -0,25) y 4 3 2 2x – 3 = 2 2x = 5 x = 2,5 1 x -1 1 2 3 4 ● B -1 7.4

Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide werkschema : het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1) Bereken f’(x). 2) Los algebraïsch op f’(x) = 0. 3) Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4) Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … Raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0. 7.4

[ ] N O t opgave 43 a N = 90t – 40t√t + 20 N = 90t – 40t1½ + 20 = 90 – 60 · 1 = 30 Om 8 uur ’s morgens neemt het aantal auto’s dat per minuut passeert toe met 30 per uur. b = 0 geeft 90 - 60√t = 0 -60√t = -90 √t = 1½ t = 2¼  dus om 9.15 uur c 1 per twee minuten betekent 30 per uur = -30 90 - 60√t = -30 -60√t = -120 √t = 2  t = 4  dus om 11.00 uur dN dt [ ] dN dt N t=1 dN dt O t 2¼ dN dt

Krommen door toppen Opgave 46 m.b.v. geogebra

y x -4 O 2 opgave 51 a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10 50 opgave 51 a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10 f’(x) = -3x² - 6x + 24 f’(x) = 0 geeft -3x² - 6x + 24 = 0 x² + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 x = -4 v x = 2 voer f in op je GR optie minimum min. is f(-4) = -70 optie maximum max. is f(2) = 38 b f(x) = -50  3 oplossingen y = -50  snijdt de grafiek van f 3 keer f(x) = 50  1 oplossing y = 50  snijdt de grafiek van f 1 keer 38 ● x -4 O 2 -50 ● -70 c f(x) = p  3 oplossingen -70 < p < 38 d f(x) = p  1 oplossing p < -70 v p > 38 7.5

Differentiëren met quotiëntregel en kettingregel : (1/3) V.b. :

Vervolg: (2/3)

Vervolg: (3/3) Grafiek

Opgave 57 opgave 58 a f(x) = f’(x) = = = f’(x) = 0  -6x2 + 30 = 0 x = √5 v x = -√5 min. is f(-√5) = = max. is f(√5) = = Bf = -√5 √5 7.5

b f’(0) = = f(x) = ax heeft precies één oplossing voor a ≥ v a ≤ 0 c f’(x) =  = -18x2 + 90 = 2(x4 + 10x2 + 25) -18x2 + 90 = 2x4 + 20x2 + 50 -2x4 - 38x2 + 40 = 0 x4 + 19x2 – 20 = 0 (x2 + 20)(x2 – 1) = 0 x2 + 20 = 0 v x2 – 1 = 0 geen opl. x2 = 1 x = -1 v x = 1 vold. vold. vervolg 7.5

opgave 65 a fp(x) = x3 + x2 + px + 7 f’p(x) = ¼x2 + 2x + p f’p(1) = 0  ¼ + 2 + p = 0 p = -2¼ f’-2¼ (x) = 0 ¼x2 + 2x - 2¼ = 0 x2 + 8x – 9 = 0 (x + 9)(x – 1) = 0 x = -9 v x = 1 -9 1

b f’p(x) = ¼x2 + 2x + p f’p heeft twee extreme waarden dus f’p(x) = 0 heeft twee oplossingen D > 0 D = 22 – 4 · ¼ · p D = 4 – p 4 – p > 0 -p > -4 p < 4