De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a = hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as 1.1

Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 Voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig. Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 y 2 1) Gebruik het snijpunt met de verticale as en de r.c. Teken de rechte lijn. · 1 1 2 3 4 5 snijpunt (0, -2) x 3 -1 r.c. = ¾ · -2 4 -3 noemer altijd naar rechts teller naar boven of beneden 1.1

· · x 4 y -2 1 Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 y 2 1 x 1 2 3 4 5 -1 Voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig. 2) Maak een tabel met 2 coordinaten. y 2 · x 4 1 y -2 1 x 1 2 3 4 5 Teken de grafiek m.b.v. de tabel. -1 · -2 -3 1.1

Formules van lijnen Bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen: 1 de formule volgt uit de tekst 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen 3 een punt en de r.c. zijn gegeven 4 twee punten zijn gegeven 1.1

Snijpunt met de verticale as (0, -6) opgave 6 Gegeven zijn de lijnen y = ax - 6 snijpunt = (3, 0) a y b y = 3x – 1 Evenwijdige lijnen hebben dezelfde r.c.. y = ax – 6 dus a = 3 c y = ax – 6 Snijpunt met de y-as is altijd (0, -6) dus er is geen a waarvoor de lijn door (0, 0) gaat. · x 1 2 3 4 5 -1 1 naar rechts 2 omhoog dus r.c. = a = 2 -2 -3 -4 -5 Snijpunt met de verticale as (0, -6) · -6

dus snijpunt met de x-as is (-4, 0) l : y = ax + 1 door (-4, 0) opgave 11 a k en l evenwijdig dus rck = rcl dus a = -½ b m : y = 1½x + b door (2, -3) -3 = 1½ · 2 + b -3 = 3 + b -6 = b dus b = -6 c k snijden met de x-as 0 = -½x – 2 ½x = -2 x = -4 dus snijpunt met de x-as is (-4, 0) l : y = ax + 1 door (-4, 0) 0 = a · -4 + 1 4a = 1 a = ¼ d l : y = ax + 1 B(4, -4) op l -4 = a · 4 + 1 -4 = 4a + 1 -4a = 5 a = 5/-4 a = -1¼ m : y = 1½x + b B(4, -4) op m -4 = 1½ · 4 + b -4 = 6 + b -10 = b b = -10 snijpunt met de x-as  y = 0 snijpunt met de y-as  x = 0

3,6 km/u = 1 m/s km/u  m/s : 3,6 opgave 13a Eerste 10 seconden alleen snelheid van de band 3,6 km/u dus 3,6 : 3,6 = 1 m/s In de eerste 10 seconden legt Bram per seconde 1 meter af, dus op t = 10  A = 10 m. totale snelheid = 3,6 + 5,4 = 9 km/u 9 : 3,6 = 2,5 m/s daarna is elke seconde 2,5 m. dus op t = 20 A = 10 + 10 · 2,5 = 35 m. A 80 60 40 · (20, 35) 20 · (10, 10) t 10 20 30 40 7

· · A 80 60 40 20 t 10 20 30 40 opgave 13b 1e deel  rc = 1 A = 1t + b door (0, 0) 0 = 1 · 0 + b b = 0 dus A = t 2e deel  rc = 2,5 A = 2,5t + b door (10, 10) 10 = 2,5 · 10 + b 10 = 25 + b -15 = b  b = -15 dus A = 2,5t - 15 A 80 60 40 · (20, 35) 20 · (10, 10) t 10 20 30 40 8

· · A 80 60 40 20 t 10 20 30 40 opgave 13 c De band is 80 m lang. Na 38 sec is Bram aan het einde. d Als bram niet meeloopt dan 80 m  80 sec heeft hij 80 sec nodig Bram wint 80 – 38 = 42 sec. e 80 m  38 sec De snelheid is dan 80/38 m/s = 80/38 · 3,6 ≈ 7,6 km/u A 80 60 40 · (20, 35) 20 · (10, 10) t m/s  km/u x 3,6 10 20 30 40 9

· · rechts ∆x omhoog ∆y Algemeen y B yB A yA xA xB x dus r.c. = ∆y : ∆x y rechts ∆x · B yB – yA = ∆y omhoog ∆y yB ∆y A · yA ∆x xA xB x xB – xA = ∆x 1.2

· · rechts ∆x 4 omhoog ∆y -3 voorbeeld y A 4 B 1 1 5 x Gegeven zijn de punten A(1, 4) en B(5, 1). Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B. y · 4 A 4 yB – yA = 1 - 4 rechts ∆x 4 xB – xA = 5 - 1 -3 omhoog ∆y -3 · r.c. = ∆y : ∆x rc = -3/4 = -¾ y = ax + b y = -¾x + b door A(1 ,4) 4 = -¾ · 1 + b 4 = -¾ + b 4¾ = b  b = 4¾ m : y = -¾x + 4¾ B 1 1 5 x Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule, de manier blijft hetzelfde. 1.2

· · rechts ∆t 25 omhoog ∆R 25 R 35 10 35 60 t opgave 19 R is een lineaire functie van t dus de punten (35, 10) en (60, 35) R · rechts ∆t 25 ∆R = 35 - 10 35 omhoog ∆R 25 25 r.c. = ∆R : ∆t rc = 25/25 = 1 R = at + b R = 1t + b door (35, 10) 10 = 1 · 35 + b 10 = 35 + b -25 = b  b = -25 R = t - 25 · 10 25 35 60 t ∆t = 60 - 35

opgave 21 13.12 u.  18,2 km verwijderd 13.17 u.  7,2 km verwijderd afstand is x a x = at + b a = ∆x/∆t 13.00 u.  t = 0 13.12 u.  t = 12  x = 18,2 km. 13.17 u.  t = 17  x = 7,2 km. a = (7,2-18,2) / (17-12) a = -11/5 = -2,2 x = -2,2t + b door (17; 7,2) 7,2 = -2,2 · 17 + b 7,2 = -37,4 + b 44,6 = b  b = 44,6 x = -2,2t + 44,6 b 13.19 u.  t = 19  x = ? invullen in x = -2,2t + 44,6 x = -2,2 · 19 + 44,6 x = 2,8 km. c x = 0  t = ? x = -2,2t + 44,6 0 = -2,2t + 44,6 2,2t = 44,6 t = 44,6/2,2 t ≈ 20,27 min. 0,27 min. = 0,27 × 60 ≈ 16 seconden dus om 13.20 u. en 16 seconden 1 min. = 60 sec 0,1 min. = 6 sec

Algemene formule : y = ax² + bx + c a ≠ 0 de grafiek is een parabool a › 0  dalparabool a ‹ 0  bergparabool Om een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR. 1.3

laat de grafiek op het scherm van de GR tekenen De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn: PLOT DE GRAFIEK laat de grafiek op het scherm van de GR tekenen kies het venster zo, dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn SCHETS DE GRAFIEK teken in je schrift een schets van de grafiek het gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging t.o.v. de assen gebruik eventueel de GR TEKEN DE GRAFIEK teken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assen maak eerst een tabel gebruik daarbij de GR 1.3

Nulpunten Je kunt de coördinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halen. Dit kan wel makkelijk met de GR. Ook de coördinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn zijn snel met de GR te berekenen. Bijzonder geval  f(x) = 0 De x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 ). De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f. bij GR : welke formule(s) welke optie(s) 1.3

(3; 9,6) y f x opgave 35 f(x) = -0,4x² + 2,4x + 6 a Schets mbv GR. b optie maximum top (3; 9,6 ) c optie zero nulpunten -1,90 en 7,90 d optie tabel Voor welke x-waarden is de afstand 5 ? f(0,5) = f(5,5) = 7,1 dus c > 7,1 De kleinste gehele waarde van c = 8. (3; 9,6) y f x -1,90 7,90 x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 f(x) 7,1 8 8,7 9,2 9,5 9,6 7

(3, 45) h 35 20 t opgave 36 h = -5t² + 30t a Voer in y1 = -5x² + 30x optie zero nulpunten x = 0 en x = 6 Dus na 6 seconden is de bal op de grond. b optie maximum top (3, 45) De grootste hoogte is dus 45 m. c Voer in y2 = 35. optie intersect x ≈ 1,586 en x ≈ 4,414 Dus na 1,6 en 4,4 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m. h 35 20 0,764 1,586 4,414 5,236 6 t d Voer in y2 = 20. optie intersect x ≈ 0,764 en x ≈ 5,236 Dus 5,236 – 0,764 ≈ 4,5 seconde boven de 20 m.

y (-3, 4) x opgave 42 y = ax² + bx + c top (-3, 4) door (-1, 0) 0 = a ( -1 + 3 )² + 4 0 = a · 2² + 4 0 = 4a + 4 -4a = 4 a = 4/-4 a = -1 y = - ( x + 3 )² + 4 y = - ( x² + 6x + 9 ) + 4 y = -x² - 6x – 9 + 4 y = -x² - 6x - 5 (-3, 4) -5 -1 x

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporen. hoogste punt  maximum max.  grootste functiewaarde max. is een y-coördinaat laagste punt  minimum max. en min. heten uiterste waarden of extremen 1.5

Opg. 47

Opg. 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR 1 Voer de formule in bij y1 2 Schets de grafiek 3 Gebruik de opties maximum en/of minimum bij het berekenen van de extreme waarden. 4 Zet in je schets de coördinaten van de toppen. 5 Noteer de extreme waarden in de vorm: min. is f(…) = … of max. is f(…) = … 1.5

Er staat GEEN exact of algebraïsch dus je mag de GR gebruiken Voorbeeld Er staat GEEN exact of algebraïsch dus je mag de GR gebruiken

optie max. en min. geven de toppen opgave 44a y1 = -x³ - 1,5x² + 36x + 25 optie max. en min. geven de toppen max. is f(3) = 92,5 min. is f(-4) = -79 (3; 92,5) (-4, -79)

optie max. en min. geven de toppen opgave 44b y1 = 0,2x4 + x³ - 10x² - 50x + 75 optie max. en min. geven de toppen max. is g(-2,20) ≈ 130,64 (-2,20; 130,64) (-6,16; 57,77) min. is g(-6,16) ≈ 57,77 min. is g(4,61) ≈ -179,72 (4,61; -179,72)

Opg. 45 Gegeven h = - 0.005x2 + 4x a) Max => x- coördinaat bij –b / 2a x = 40 => y = 8 of optie maximum op GR b) y = 0 => -0.005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80 of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming. praktisch probleem met gegevens en tabellen wiskundig model pas het model toe stel het model bij voorspellingen en conclusies gegevens en tabellen controle 1.5

opgave 50 T = 80 · 0,97t + 20 In hoeveel minuten koelt het water af van 85 °C tot 55 °C ? voer in y1 = 80 · 0,97x + 20 y2 = 85 y3 = 55 optie intersect met y1 en y2 x ≈ 6,8 optie intersect met y1 en y3 x ≈ 27,1 De daling van 85 °C naar 55 °C duurt 27,1 – 6,8 ≈ 20 minuten T 85 55 t 6,8 27,1

Oud boek 35a Oefenopgave 1 y = 2x² + bx + 7 door (5, 17) Bereken b formule y = ax² + bx + c Oud boek 35a Oefenopgave 1 y = 2x² + bx + 7 door (5, 17) Bereken b 17 = 2 · 5² + b · 5 + 7 17 = 50 + 5b + 7 17 = 57 + 5b -40 = 5b 5b = -40 b = -40/5 b = -8

De bal komt 60 m. verder weer op de grond. a Bereken b. x = 60 opgave 37 h = -0,02x² + bx De bal komt 60 m. verder weer op de grond. a Bereken b. x = 60 -0,02 · 60² + b · 60 = 0 -72 + 60b = 0 60b = 72 b = 72/60 b = 1,2 b Vul x = 30 in. y = 18  maximale hoogte is 18 m. of voer in y1 = -0,02x² + 1,2x optie maximum top (30, 18)  maximale hoogte is 18 m. Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x = 60.

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken. Formule y = a ( x – p )² + q xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken. y y = x² top (0, 0) y = ( x – 4 )² 4 naar rechts top (4, 0) y = ( x – 4 )² + 3 3 omhoog top (4, 3) y = 2 ( x – 4 )² + 3 parabool smaller top hetzelfde y = a ( x - p )² + q top (p, q) O x 1.4

Opg. 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

h (15, 9) 9 x opgave 45 oud boek h = ax² + bx top (15, 9) door (0, 0) 0 = a ( 0 – 15 )² + 9 0 = a · (-15)² + 9 0 = 225a + 9 -225a = 9 a = 9/-225 a = -0,04 h = -0,04 ( x – 15 )² + 9 h = -0,04 ( x² - 30x + 225 ) + 9 h = -0,04x² + 1,2x – 9 + 9 h = -0,04x² + 1,2x a = -0,04 en b = 1,2 h (15, 9) 9 15 30 x

N t opgave 53 oud boek N = 480t² - 40t³ t = 0 om 9.00 uur Het pretpark sluit om 21.00 uur. a Voer in y1 = 480x² - 40x³ 12.50 uur  3.50 uur later t = 3⅚  N = 4800 dus 4800 mensen b het drukst  maximum optie maximum  top (8, 10240) 8 uur later dus om 17.00 uur dan zijn er 10240 bezoekers N (8, 10240) 8000 t 5,58 10 c voer in y2 = 8000 optie intersect x ≈ 5,58 v x = 10 0,58 uur = 0,58 × 60 ≈ 35 minuten 5 uur en 35 min. later  14.35 uur 10 uur later  19.00 uur dus om 14.35 uur of 19.00 uur Je moet de uitkomsten van een model ‘terugvertalen’ naar de gegeven situatie.