Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x) = c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

Voorkennis f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 oude exponent ervoor zetten f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 12.1

Voorkennis werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1 bereken f’(x). 2 los algebraïsch op f’(x) = 0. 3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0 12.1

De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie. I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt. notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.1

voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x eerst haakjes wegwerken voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x f(x) = 2x² + 9x – 56 f’(x) = 2 · 2x + 9 f’(x) = 4x + 9 dezelfde termen optellen somregel van differentiëren

Andere regels ?!? De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2. Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x. Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn. Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) =  f(x) / g(x)  niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

De productregel De quotiëntregel 7.1

De productregel: Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

v.b. productregel

f (x) = (4x2 – 1)(3x + 2) f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x2 – 1) · 3 opgave 5a f (x) = (4x2 – 1)(3x + 2) f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x2 – 1) · 3 Stel k : y = ax + b a = f’ (-1) = 17 k : y = 17x + b yA = f (-1) = -3 dus A(-1, -3). Dus k : y = 17x + 14. y = 17x + b -3 = 17 · -1 + b 14 = b

Opgave 7

Opgave 8

O(∆ABC) = ½ · AC · AB AC = OC – OA = 4 – p opgave 9a O(∆ABC) = ½ · AC · AB AC = OC – OA = 4 – p AB = yB = f (p) = p2 – 2p + 3 Dus O = ½(4 – p)(p2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p2 – 2p + 3)

opgave 9b In de schets van de grafiek van O als functie van p is te zien dat O maximaal is voor p =

De ABC-formule ax2 + bx + c = 0 De discriminant D = b2 – 4ac D < 0 geeft geen oplossingen. D = 0 geeft 1 oplossing. D > 0 geeft 2 oplossingen. 12.2

Opgave 17

opgave 19 a Stel k : y = ax + b dus Dus 12.2

opgave 19 b rcraaklijn = -3, dus f’ (x) = -3 x2 = 1 x = -1 v x = 1 f(-1) = -5 en f(1) = 5 De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5)

opgave 19 c f’ (x) = 0 geeft x2 = 4 x = -2 v x = 2 max. is f(-2) = -4 en min. is f(2) = 4

opgave 19 d f’ (x) = 2 geeft x2 = -4 Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, heeft de vergelijking x2 = -4 geen oplossingen. Dus er is geen raaklijn met rc = 2.

Opgave 23

opgave 24 a geeft f’ (x) = 0 geeft x = 4 f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4 Min. is f(4) = -4. b rcraaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3 Raaklijn y = -3x c rcraaklijn = 3 dus f’ (x) = 3 1½√x – 3 = 3 1½√x = 6 √x = 4  x = 16 f (16) = 16 dus A(16, 16) raaklijn l : y = 3x + b 16 = 3 · 16 + b -32 = b l : y = 3x - 32

De kettingregel: Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide: Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus: Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.) En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x))⋅g'(x) .

v.b. kettingregel

De kettingregel Kettingregel: De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels De kettingregel Kettingregel: Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie y = f (x) als volgt te werk. Schrijf f als een ketting van twee functies. Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. Druk het product van de afgeleide functies uit in x. 12.3

Opgave 29

y opgave 31 a f (x) = (½x2 - 2x)3 b Stel y = (½x2 – 2x)3 = u3 met u = ½x2 – 2x en f’ (x) = 3u2 · (x – 2) = 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) f’ (x) = 0 geeft 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0 ½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2 c Stel l : y = ax + b a = f’ (6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2(6 – 2) = 432 dus l : y = 432x + b yA = f(6) = (½ · 62 – 2 · 6)3 = 216 dus A(6, 216) f x O 216 = 432 · 6 + b 216 = 2592 + b -2376 = b l : y = 432x - 2376

Opgave 35

Opgave 32

Opgave 38

Sinus, cosinus en tangens y sos cas toa P (xP,yP) PQ OP yP 1 1 1 sin α = = = yP cos α = = = xP tan α = = yP α OQ OP xP 1 x ∟ O xP Q A (1,0) yp xp PQ OQ 12.4

De exacte-waarden-cirkel 12.4

∙ ∙ ∙ ∙ opgave 43 Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π]. sin2(x) + sin(x) = 0 sin(x)(sin(x) + 1) = 0 sin(x) = 0 v sin(x) = -1 x = k · π v x = 1½π + k · 2π Op domein [0, 2π] geeft dat de nulpunten x = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π. y f ∙ ∙ ∙ ∙ x O ½π π 1½π 2π

opgave 46a 2 sin (½x) = 1 sin (½x) = ½ ½x = π + k · 2π v ½x = π + k · 2π x = π + k · 4π v x = π + k · 4π y 1 π ½ π sinα = yP α x -1 O 1 -1

De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x) f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x) g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x) opgave 52a f (x) = cos(2x) Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2x f’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2 f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x) 12.5

opgave 52b g (x) = x cos(x) g’ (x) = [x · cos(x)]’ g’ (x) = [x]’ · cos(x) + x · [cos(x)]’ g’ (x) = 1 · cos(x) + x · - sin(x) g’ (x) = cos(x) – x sin(x) g’

opgave 55b g (x) = x2 sin(3x) g’ (x) = [x2 · sin(3x)]’ g’ (x) = [x2]’ · sin(3x) + x2 · [sin(3x)]’ g’ (x) = 2x · sin(3x) + x2 · 3 cos(3x) g’ (x) = 2x sin(3x) + 3x2 cos(3x) g’

j’ opgave 57d j (x) = x + 3 sin2(x) j’ (x) = [x + 3 (sin(x))2]’ j’ (x) = 1 + 3 · 2 sin(x) · cos(x) j’ (x) = 1 + 6 sin(x) · cos(x) j’ 12.5

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum. Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn: Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.6

opgave 65a 72 dm3 Stel de hoogte is h dm. K = kosten bodem + kosten zijkanten

opgave 65b geeft geeft geeft Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm. De minimale kosten zijn = 21,6 euro

opgave 67 €10 De oppervlakte is x · y = 75 dus y = De kosten van de afrastering zijn K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y K = 30x + 40 · = 30x + = [30x + 3000x-1]’ = 30 – 3000x-2 = 30 – = 0 geeft 30 = 30x2 = 3000 x2 = 100 x = 10 v x = -10 De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m. 75 x €20 €20 y €20 75 x 3000 x x dK dx y 3000 x2 dK dx dK dx 3000 x2 x 10

opgave 68a K = kosten langs het bos + kosten in het weiland K = y · 60 + (x + y) · 15 K = 60y + 15x + 15y K = 15x + 75y O = xy O =1200

opgave 68b geeft geeft geeft Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m. De minimale kosten zijn ≈ 2324 euro

opgave 68c geeft Voer in De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1 geeft geeft Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezen voor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.

K r opgave 70 a De inhoud is I = πr2h , dus 500 = πr2h. dus h = De materiaalkosten zijn K = πr2 · 1 + πr2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh . K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr + Voer in y1 = 3πx2 + 4πx + De optie minimum geeft x ≈ 3,5. De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingen r ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm. 500 πr2 onderkant bovenkant rand van deksel mantel 500 πr2 1000 r K b 1000 x 445,1 r 3,5

г l l opgave 72 a AC + BC = 12 – x Omdat AC = BC is AC = = 6 - ½x b Pythagoras in ∆ADC : CD 2 + AD 2 = AC 2 CD 2 = AC 2 – AD 2 CD 2 = (6 - ½x)2 – (½x)2 CD 2 = 36 – 6x + ¼x2 - ¼x2 = 36 – 6x CD = √(36 – 6x) c O = ½ · AB · CD O = ½x √(36 – 6x) 12 - x 2 г l l D x

Opgave 73 200-x

Opgave 75a&b

Opgave 75c&d

Opgave 75c&d

Opgave 76

Opgave 77

Opgave 79