Formules en de GR Met de GR kun je bijzonderheden van formules te weten komen. Eerst plot je de grafiek. Gebruik eventueel de optie ZoomFit (TI) of Auto (casio) om een geschikt venster te vinden. Coördinaten van toppen van grafieken krijg je met de opties minimum en maximum. Snijpunten van grafieken vind je met de optie intersect. Bij een x-waarde krijg je de bijbehorende y-waarde op het basisscherm door de optie VARS te gebruiken. 15.1

opgave 6 a t = 10 geeft N ≈ t = 20 geeft N ≈ t = 30 geeft N ≈ Dus G = De derde week is van t = 2 tot t = 3. t = 2 geeft N ≈ 6919 t = 3 geeft N ≈ Er zijn – 6919 = 5474 ziektegevallen bij gekomen. De vierde week is van t = 3 tot t = 4. Toename = ≈ 31,1%. Voer in y 1 = en y 2 = De optie intersect geeft x ≈ 3,6. Dus voor t ≈ 3,6. b c d

opgave 13 a x = 2 en y = 0,75 geeft x = 4 geeft ≈ 413 euro Los op Voer in en y 2 = 524 Intersect geeft x ≈ 0,27 en x = 1,25. De breedte van de bak is 0,27 m of 1,25 m. b c

opgave 13 d x = 3 en K < 500 geeft Voer in en y 2 = 500. Intersect geeft x ≈ 0,34 en x ≈ 1,56. De breedte van de bak ligt tussen 0,34 m en 1,56 m.

Evenredig De grootheden P en Q zijn evenredig als er een getal a bestaat zo, dat P = aQ. Het getal a heet de evenredigheidsconstante. Zo volgt uit y is evenredig met x 0,38, dat y = a · x 0,38 y is evenredig met x n betekent dat er een getal a bestaat met y = ax n. 15.1

opgave 18 a K = a · P 0,68 Bij P = hoort K = 15 · 10 6 De formule is K = · P 0,68. K = · P 0,68 K = 18,6 · 10 6 Voer in y 1 = x 0,68 en y 2 = 18,6 · 10 6 De optie intersect geeft x ≈ De productie was ongeveer ton · P 0,68 = 18,6 · 10 6 b

Formules in de economie Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K een lineaire functie te zijn van het aantal geproduceerde artikelen q. De opbrengst R = p · q is dan een kwadratische functie van q. Ook de winst W = R – K is in dat geval een kwadratische functie van q. 15.2

opgave 22 a h = 0 geeft –0,0018x = 0 –0,0018x 2 = –96 x 2 ≈ x ≈ 231 ⋁ x ≈ –231 De afstand is = 462 feet Afstand ≈ 145 meter. PQ = 380 feet, dus x = = 190 x = 190 geeft h ≈ 31. Het punt T ligt op een hoogte van 96 feet. Dus het water staat 96 – 31 = 65 feet onder T. Water 70 feet onder T, dus h = 96 – 70 = 26. Los op –0,0018x = 26 –0,0018x 2 = –70 x 2 ≈ x ≈ 197 ⋁ x ≈ –197 De breedte is = 394 feet Breedte ≈ 123,8 meter b c

Vergelijkingen van de vorm A · B = 0 A · B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0. opgave 27 a 0,01x(8 – 0,2x) = 0 0,01x = 0 ⋁ 8 – 0,2x = 0 x = 0 ⋁ –0,2x = –8 x = 0 ⋁ x = 40 opgave 27 b 3x(10 – x) + 5 = 5 3x(10 – x) = 0 3x = 0 ⋁ 10 – x = 0 x = 0 ⋁ –x = –10 x = 0 ⋁ x =

Wortelformules Uit volgt A = B 2. Je hebt links en rechts gekwadrateerd. opgave 33 a Dus a = 0,07 en b =

opgave 36 a p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid dus p = 30 Het werkelijke percentage ligt tussen 20,5 – 4,0 = 16,5% en 20,5 + 4,0 = 24,5%. Dus maximaal 0,245 · = 6983 mensen. b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft Voer in en y 2 = 4. Intersect geeft x ≈ 576. De steekproef moet een omvang hebben van 576. a = 6 en n = 200 geeft Voer in y 1 = en y 2 = 6. Intersect geeft x ≈ 25,0 en x ≈ 75,0. Dit percentage is 25,0% of 75,0%. d

opgave 36 e Dus d ≈ –3,84 en e ≈ 384.

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen 15.3

opgave 39 a

Herleiden van breuken 15.3

opgave 42 a b

opgave 44 a b c

opgave 46 a b c d

opgave 50 a b c d e

Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram. 1. Kies een stapgrootte. 2. Bereken voor elke stap de toename of afname. 3. Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname. 4. Teken het staafje bij de rechtergrens. (bv. toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 15.4

. voorbeeld 2-0,50,524 ∆y∆y [3, 4][2, 3][1, 2][0, 1][-1, 0]∆x = x y.... Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval.

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen N2N2 N1 N1 O N t ∆t∆t ∆N∆N ∆N∆Nomhoog ∆t∆trechts dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N : ∆t t1t1 t2t2 N 2 – N 1 = ∆N t 2 – t 1 = ∆t · ·

xAxA a xBxB b Het differentiequotiënt van y op het interval [x A, x B ] is x y A B ∆x∆x ∆y∆y∆y∆y ∆x∆x ∆y y B – y A f(b) – f(a) ∆x x B – x A b – a differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [x A, x B ] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ==.. yAyA yByB f(b)f(b) f(a)f(a) O 15.4

opgave 59 a Op [4, 6] is Op [2, 5] is Op [3,6; 6,1] is De gemiddelde toename is 10 euro per stuk. De gemiddelde snelheid is € 26,93 per stuk. b c

Snelheid en afgeleide O x y a rc = f’(a) De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a, f(a)). rc = snelheid = f’(a) Je berekent de snelheid dus met de afgeleide. f’(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a. f(a)f(a) A 15.4

dydx voor x is x A Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : [ ] dydxdydx x = x A y O x k A xAxA rc. van de raaklijn van de grafiek in A helling van de grafiek in A snelheid waarmee y verandert voor x = x A De GR bezit een optie om dydx te berekenen. 15.4

Hellinggrafieken x x y helling O O Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend stijgend deel v.d. grafiek  positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as dalend deel v.d. grafiek  negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as top top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as 0 0 laagste punt overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt pos.

opgave 62 a Voer in y 1 = 200/( · 0,95 x ) ≈ 11,0 De gevraagde snelheid is 11 vissen per week. ≈ 22,0 Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per week. Dus Arjen heeft gelijk. ≈ 6,35 Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33, dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter. [ ] dydxdydx x = 10 [ ] dydxdydx x = 33 [ ] dydxdydx x = 100 b c