Lineaire vergelijking met twee variabelen Algemene vorm ax + by = c de grafiek is een rechte lijn. vb.1 2y + 3x = 8 Om de grafiek te plotten moet je eerst y vrijmaken 2y = -3x + 8 y = -1½x + 4 voer in y1 = -1½x + 4 Je kunt de grafiek ook tekenen zonder de formule in te voeren in de GR. snijpunt met de y-as is (0, 4) rc = -1½ of je gebruikt de formule 2y + 3x = 8 je maakt een tabel met 2 punten vul bijv. x = 0 en x = 2 in dan krijg je de punten (0, 4) en (2, 1) Teken de punten en de lijn. y 4 ● ● : 2 -1½ 3 ● 2 1 ● -1 1 2 3 4 x -1 5.1

● Stelsels vergelijkingen y vb.2 Gegeven zijn de lijnen f : 2y + x = 4 en g : y – 3x = -5 het punt (2, 1) is het snijpunt van de lijnen of (2, 1) is de oplossing van 2y + x = 4 als van y – 3x = -5 we zeggen dat (2, 1) de oplossing is van het stelsel 2y + x = 4 y – 3x = -5 4 g 3 f 2 ● 1 -1 1 2 3 4 x -1 5.1

Algebraïsch oplossen van een stelsel vergelijkingen stap 1 : Kan elimineren door optellen ? 2y + x = 4 y – 3x = -5 3 1 stap 2 : Kan elimineren door aftrekken ? - + stap 3 : Kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen en dan optellen of aftrekken ? 3y – 2x = -1 y + 4x = 9 nee nee x geëlimineerd Maakt niet uit welke vergelijking. invullen 6y + 3x = 12 y – 3x = -5 y = 1 2y + x = 4 2 · 1 + x = 4 2 + x = 4 x = 2 + 7y = 7 y = 1 - 2 : 7 de oplossing is (2, 1) 5.1

stap 1 : kan elimineren door optellen ? 5x + 2y = 69 x + 3y = -7 3 2 opgave 14a stap 1 : kan elimineren door optellen ? 5x + 2y = 69 x + 3y = -7 3 2 stap 2 : kan elimineren door aftrekken ? + - stap 3 : kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen en dan optellen of aftrekken ? 6x + 5y = 62 4x - y = 76 nee nee x geëlimineerd Maakt niet uit welke vergelijking invullen 15x + 6y = 207 2x + 6y = -14 x = 17 x + 3y = -7 17 + 3y = -7 3y = -24 y = -8 - -17 13x = 221 x = 17 : 3 : 13 de oplossing is (17, -8)

Hoe noteer je een uitwerking van een opgave bij gebruik van de GR? a Noteer de formules die je invoert. b Noteer Xmin, Xmax, Ymin, Ymax van je venster c Noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat. d Beantwoord de gestelde vraag. 5.2

N t 12 opgave 16 N = 480t² - 40t³ t = 0 om 9.00 uur De dierentuin sluit om 21.00 uur. a voer in y1 = 480x² - 40x³ 12.50 uur  3.50 uur later t = 3⅚  N = 4800,2 dus 4800 mensen b het drukst  maximum optie maximum  top (8, 10240) 8 uur later dus om 17.00 uur dan zijn er 10240 bezoekers. (8, 10240) 8000 t 12 5,58 10 Xmin=0 Xmax= 12 Ymin= -1000 Ymax= 12000 c voer in y2 = 8000 optie intersect x ≈ 5,58 v x = 10 0,58 uur = 0,58 × 60 ≈ 35 minuten 5 uur en 35 min. later  14.35 uur 10 uur later  19.00 uur dus om 14.35 uur of 19.00 uur Je moet de uitkomsten van een model ‘terugvertalen’ naar de gegeven situatie.

opgave 18a 2x + 2y = 9 y = 4x - 3 Is x of y al vrijgemaakt dan kun je een stelsel oplossen m.b.v. elimineren door substitutie. 2x + 2(4x – 3) = 9 2x + 8x – 6 = 9 10x – 6 = 9 10x = 15 x = 1½ invullen + 6 :10 x = 1½ y = 4x - 3 y = 4 · 1½ - 3 y = 6 - 3 y = 3 de oplossing is (1½, 3)

Periodieke verschijnselen Een grafiek die zich steeds herhaalt noem je periodiek. De grafiek is een periodieke grafiek. Als iets iedere 2 uur herhaalt dan zeg je dat de periode 2 uur is. De evenwichtsstand is de horizontale lijn die precies door de grafiek loopt. Amplitude is het verschil tussen de evenwichtsstand en het hoogste punt of laagste punt. 5.2

voorbeeld hoogte in m. 6 periodiek verschijnsel 5 4 amplitude = 2 uur 3 evenwichtsstand = 3 m. amplitude = 2 uur 2 1 periode = 4 uur periode = 4 uur 1 2 3 4 5 6 7 8 t in uur 5.2 9

c periode = 5 seconden  48 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 = 18 seconden opgave 20 1 -1 a periode = 5 seconden b per minuut 60 : 5 = 12 keer c periode = 5 seconden  48 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 = 18 seconden 18 seconden  drukverschil = 1 mm kwikdruk na 4 minuten en 26 seconden = 266 seconden  16 seconden 16 seconden  drukverschil = -1 mm kwikdruk d ½ × 12 × 60 × 24 = 8640 liter e de periode = 5 : 2 = 2,5 seconden per kwartier  3 × 24 × 15 = 1080 liter

Trend Een lange-termijnontwikkeling heet een trend. De grafiek schommelt om een kromme die de trend weergeeft. Een trend kan zowel stijgend als dalend zijn. Schommelt de grafiek om een rechte lijn, dan heet die lijn de trendlijn.

b 1e kwartaal 2000  verkoop 115 scooters opgave 23 200 185 ● 165 ● 140 ● ● 130 115 a N = at + b bij t = 0  N = 140 bij t = 3  N = 200 dus N = 20t + 140 b 1e kwartaal 2000  verkoop 115 scooters 1e kwartaal 2006  115 + 6 × 20 = 235 scooters c 2000  totale verkoop = 115 + 185 + 165 + 130 = 595 scooters 2007  595 + 7 × 4 × 20 = 1155 scooters ∆N ∆t 200 - 140 a = = = 20 3 - 0

Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram 1. kies een stapgrootte 2. bereken voor elke stap de toename of afname 3. teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4. teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 5.3

. . . . . voorbeeld ∆x = 1 [-1,0] [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] ∆y 4 2 0,5 -0,5 2 . . y 4 . 3 . 2 1 x Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. -1 1 2 3 4 -1 5.3

. . . y . . voorbeeld Er zijn meerdere grafieken mogelijk. . . . x

voorbeeld +3 +2,5 +1 -0,5 -1,5 -2 -2 -2,5

. . T . . 23 . Om 0.00 uur is het 20,5°C. -0,5 22 +2,5 -1,5 . . 21 20 . -2 -2 19 . +3 18 -2,5 17 +1 16 t 3 6 9 12 15 18 21 24 17

opgave 29 5.3 constant dalend afnemend stijgend afnemend dalend toenemend dalend 5.3

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● y y y y x x x x O O O O opgave 30 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● y y y y x x x x O O O O

opgave 35a interval ∆A [0,1] 0,4 [1,2] 1,8 [2,3] 4,6 [3,4] 2,1 [4,5] 1,5 [5,6] 1,0 [6,7] 0,8 [7,8] 0,5 [8,9] 0,3 [9,10] 0,2 13,0 12,2 11,2 9,7 7,6 3,0 1,2 0,8

∆A 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t opgave 35a interval ∆A [0,1] 0,4 [1,2] 1,8 [2,3] 4,6 [3,4] 2,1 [4,5] 1,5 [5,6] 1,0 [6,7] 0,8 [7,8] 0,5 [8,9] 0,3 [9,10] 0,2 ● 4 3 2 ● ● ● 1 ● ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

na het kappen is er nog 3000 – 2000 = 1000 m3 b op t = 2 is er 3000 m3 na het kappen is er nog 3000 – 2000 = 1000 m3 dat is precies de hoeveelheid op t = 0,5 op t = 1,5 is er 1600 m3 dat is niet voldoende om opnieuw 2000 m3 te kappen c zie toenamediagram advies : 3 jaar wachten en dan jaarlijks 4600 m3 kappen d 7,6 3,0

Gemiddelde veranderingen rechts ∆t N omhoog ∆N · N2 N2 – N1 = ∆N dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N : ∆t ∆N · N1 ∆t t1 t2 t t2 – t1 = ∆t 5.4

a gemiddelde toename op [0,10] ∆N = 2766 – 200 = 2566 ∆t = 10 - 0 = 10 opgave 38 a gemiddelde toename op [0,10] ∆N = 2766 – 200 = 2566 ∆t = 10 - 0 = 10 ∆N : ∆t = 2566 : 10 = 256,6 b op het interval [2,8] is de grafiek steiler dan op het interval [10,14] c op het interval [4,8] het grootst daar is de grafiek het steilst op het interval [10,20] het kleinst daar is de grafiek het minst steil t N 200 200 2 497 4 1066 256,6 6 1815 8 2429 10 10 2766 2766 12 2911 14 2967 16 2988 18 2996 20 2998

. . Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is y B yB ∆y f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x x xA a ∆x b xB differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA,xB] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 5.4

voorbeeld ∆K K(b) – K(a) ∆P P(b) – P(a) = a gemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = -4 - -6 = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = 2 - -2 = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 b differentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = 0 - -5 = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = 2 - -5 = 7 ∆K : ∆P = 2/7 12 6 6 6 4 4 -6 -5 -5 -4 -2 2 2

c ∆N : ∆t geeft de beste indruk opgave 43 a Bij de VS is op [1980,2040] ∆N = 340 – 240 = 100 ∆t = 2040 – 1980 = 60 ∆N : ∆t = 100 : 60 ≈ 1,67 b bij Brazilië is op [1980,2020] ∆N = 220 – 130 = 90 ∆t = 2020 – 1980 = 40 ∆N : ∆t = 90 : 40 = 2,25 c ∆N : ∆t geeft de beste indruk Omdat dit de gemiddelde verandering per jaar geeft. 340 240 220 130

voorbeeld differentiequotiënten en formules a voer in y1 = x³ - 3x + 5 b gemiddelde toename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 c differentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = 4 - -2 = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 d hellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16 ∆x = 1 - -3 = 4 ∆y : ∆x = 16 : 4 = 4 y f x 5.4