Optimaliseren van oppervlakten en lengten Bij het aantonen dat een formule juist is moet je stap voor stap de formule afleiden. Je mag je niet beperken tot het geven van een aantal getallenvoorbeelden. 15.1

opgave 4 a en b geeft dus De maximale oppervlakte

opgave 4 c met geeft De minimale lengte van OP is

opgave 9 a b geeft kwadrateren geeft voldoet De maximale waarde van L is 15.1

opgave 17a Stel de hoogte is h dm. K = kosten bodem + kosten zijkanten

opgave 17b geeft geeft geeft Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm. De minimale kosten zijn = 21,6 euro

opgave 20a K = kosten langs het bos + kosten in het weiland K = y · 60 + (x + y) · 15 K = 60y + 15x + 15y K = 15x + 75y O = xy O =1200

opgave 20b geeft geeft geeft Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m. De minimale kosten zijn ≈ 2324 euro

opgave 20c geeft Voer in De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1 geeft geeft Aangezien Soede de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezen voor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.

K r opgave 21 a De inhoud is I = πr2h , dus 500 = πr2h. dus h = De materiaalkosten zijn K = πr2 · 1 + πr2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh . K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr + Voer in y1 = 3πx2 + 4πx + De optie minimum geeft x ≈ 3,5. De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingen r ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm. 500 πr2 onderkant bovenkant rand van deksel mantel 500 πr2 1000 r K b 1000 x 445,1 r 3,5

г l l opgave 23abc a AC + BC = 12 – x Omdat AC = BC is AC = = 6 - ½x b Pythagoras in ∆ADC : CD 2 + AD 2 = AC 2 CD 2 = AC 2 – AD 2 CD 2 = (6 - ½x)2 – (½x)2 CD 2 = 36 – 6x + ¼x2 - ¼x2 = 36 – 6x CD = √(36 – 6x) c O = ½ · AB · CD O = ½x √(36 – 6x) 12 - x 2 г l l D x

Opgave 24 200-x

K = kosten AB’+ kosten BB’ opgave 25 a K = kosten AB’+ kosten BB’ ≈ 68 852 euro b AC : BC = 2 : 1 AC + BC = AB K = kosten AC + kosten BC ≈ 68 028 euro 15.2

De optie minimum geeft x ≈ 424 en y = 65 721 opgave 25 c K = kosten AP + kosten BP Voer in De optie minimum geeft x ≈ 424 en y = 65 721 De minimale kosten zijn 65 721 euro. 15.2

Opgave 26

Opgave 27

Opgave 28

Harmonische trillingen Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een harmonische trilling van de projectie P’ van P op de y-as. Omlooptijd is trillingstijd bij trillingen Frequentie in hertz is het aantal trillingen per seconde. Amplitude is maximale uitwijking bij trillingen Bij een harmonische trilling met amplitude b en frequentie f hoort een formule van de vorm u = b sin(c(t – t0)) met c = 2πf en t de tijd in seconden. Op t = t0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd. De trillingstijd is seconde. 15.3

opgave 31 a amplitude 10 geeft b = 10 frequentie 3 geeft c = 3 · 2π = 6π uP = 10sin(6πt) met t in seconden en uP in cm. faseachterstand en trillingstijd geeft met t in seconden en uQ in cm. b geen opl. t op geeft

opgave 31 c

Trillingen met gelijke frequentie Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer trillingen. De formule van de samengestelde trilling u = u1 + u2 met u1 en u2 harmonische trillingen met gelijke frequentie en gelijke amplitude is te herleiden tot de vorm u = b sin(c(t – d)). 15.3

opgave 38 a b De maximale snelheid is mm/s ≈ 24 km/uur

opgave 42 a b c d

Parametervoorstellingen van Lissajous-figuren Een lissajous-figuur is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen. We bekijken Lissajous-figuren beschreven door een parametervoorstelling van de vorm Deze parametervoorstelling hoort bij een punt dat gelijktijdig een harmonische trilling uitvoert in de richting van de x-as en van de y-as. 15.4

In de x-richting 2 periodes, dus a = 2. opgave 50 a In de x-richting 2 periodes, dus a = 2. In de y-richting 3 periodes, dus b = 3. x = sin(2t) x is maximaal voor x is minimaal voor x = 0 voor y = sin(3t) y is maximaal voor y is minimaal voor y = 0 voor b 15.4

opgave 54 In de x-richting 3 periodes, dus a = 3. Voor en is y = 0 dus hoort de kromme van figuur 15.38 hoort de kromme die het spiegelbeeld van de kromme van figuur 15.38 is bij spiegelen in de x-as.

opgave 59 a De keerpunten zijn (2, -1) en (2, 1).

opgave 59 b y = ax2 + b door (0, –1) y = ax2 – 1 door (2, 1) Vermoedelijk hoort bij K de formule met Substitutie van x = 2 sin(t) en in geeft –1 = a · 02 + b b = –1 dus y = ax2 – 1 1 = a · 22 – 1 2 = 4a a = Dit klopt voor elke t. Bij K hoort de formule met

opgave 66 a 15.5

opgave 66 b 15.5

Voor is ABCD een rechthoek en is opgave 66 c geeft Voor is ABCD een rechthoek en is Dus de formule klopt ook voor d Voer in De optie intersect geeft x ≈ 64 en x ≈ 138. geeft e De optie maximum en y1 geeft x ≈ 103 en x ≈ 51,5. De oppervlakte is maximaal voor 15.5

opgave 70 a

opgave 70 b Stel cos(x) = p 8p2 + 5p – 4 = 0 D = 52 – 4 · 8 · –4 = 153 geen opl.

opgave 70 b x op geeft x ≈ 1,092 De oppervlakte is maximaal bij een hoek van

Snelheid en integraal Bij een tijd-afstandformule is de formule van de snelheid v de afgeleide van s. Dus s’ = v. Hieruit volgt dat s een primitieve is van v en dat de afgelegde afstand gedurende een tijdsinterval gelijk is aan de bijbehorende oppervlakte onder de grafiek van v. Algemeen geldt bij een functie f dat Voor elke functie f met afgeleide f’ geldt dan 15.6

opgave 79 a geeft geeft De minimale hoeveelheid geleverd drinkwater is De maximale hoeveelheid is = 132 m3 per uur = 900 m3 per uur

opgave 79 b De totale hoeveelheid drinkwater die op één dag geleverd wordt is Voer in De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft ≈ 13 200 m3

opgave 79 c De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft geleverde hoeveelheid = 8000 geeft Voer in De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x ≈ 14,92 Dus om 14.55 uur is er 8000 m3 water geleverd.

Zwaartepunt en integraal Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is de x-coördinaat van het zwaartepunt In figuur 15.62 wordt het vlakdeel V ingesloten door de grafieken van f en g. In dit geval is opp. van V

opgave 82 x3 = 8 geeft x = 2 Dit geeft

opgave 87