De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a = hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as 3.1

Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig 1) gebruik het snijpunt met de verticale as en de r.c. y 2 teken de rechte lijn · 1 1 2 3 4 5 snijpunt (0,-2) x 3 -1 r.c. = ¾ · -2 4 -3 noemer altijd naar rechts teller naar boven of beneden 3.1

· · x 4 y -2 1 Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 y 2 1 1 2 3 4 5 x -1 voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig 2) maak een tabel met twee coordinaten y 2 · x 4 1 y -2 1 1 2 3 4 5 x teken de grafiek m.b.v. de tabel -1 · -2 -3 3.1

Formules van lijnen Bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen : 1 de formule volgt uit de tekst 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen 3 een punt en de r.c. zijn gegeven 4 twee punten zijn gegeven 3.1

1 De formule volgt uit de tekst Een zwembad wordt gevuld met water op t = 0 is de waterhoogte 5 cm. iedere minuut stijgt het water met 7 cm. in de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minuten de formule wordt dan: h = 5 + 7t of h = 7t + 5

delen door hetzelfde getal 2 Uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen delen door hetzelfde getal altijd 1 naar rechts y 2 : 2 · 2 1 rechts 2 1 omhoog -3 -1,5 1 2 3 4 5 x -3 -1 : 2 · dus r.c. = -1,5 snijpunt met de verticale as is (0, 1) de formule wordt dan y = -1,5x + 1 -2 -3

3 Een punt en de r.c. zijn gegeven De lijn m gaat door het punt A(2, 6) en r.c.m = -4 y alg. verg. : y = ax + b r.c.m = a = -4 y = -4 x + b de lijn gaat door het punt (2, 6) 6 = -4 × 2 + b 6 = -8 + b 6 + 8 = b 14 = b b = 14 dus m : y = -4 x + 14 8 · A 1 6 -4 4 · 2 1 2 3 4 5 x -2

4 Twee punten zijn gegeven : 20 · N 80 rechts 20 1 60 omhoog 60 3 60 40 : 20 · 20 dus r.c. = 3 snijpunt met de verticale as is (0, 20) de formule wordt dan N = 3t + 20 20 5 10 15 20 25 t

 K  q opgave 6 K = 0,25q + 200 a de vaste kosten zijn € 200,- de variabele kosten zijn € 0,25 per balpen b de variabele kosten worden 0,30 euro per balpen K = 0,30q + 200 c de vaste kosten worden 400 euro per balpen K = 0,30q + 400 d stijging van de variabele kosten de grafiek gaat steiler lopen stijging van de vaste kosten de grafiek loopt evenwijdig en ligt hoger  K  q

opgave 12 de lijn n gaat door het punt C(18, 30) en rcn = -0,5 a rcn = -0,5 dus y = -0,5x + b door (18, 30) m : y = -0,5x + 39 b xD = 50 yD = -0,5 × 50 + 39 yD = -25 + 39 = 14 c xE = 30 yE = -0,5 × 30 + 39 yE = -15 + 39 = 24 30 = -0,5 x 18 + b 30 = -9 + b 30 + 9 = b b = 39 40 ∙ 30  y ∙ 24 20 ∙ 14 10 10 20 30 40 50  x

Evenredige grootheden y is evenredig met x y als je x met k vermenigvuldigt, moet je y ook met k vermenigvuldigen de bijbehorende tabel is een verhoudingstabel de bijbehorende grafiek is een rechte lijn door de oorsprong de bijbehorende formule is van de vorm y = ax y = ax x 3.1

opgave 18 aantal karaat k is evenredig met het percentage p aan goud waaruit het voorwerp bestaat ring van 18 karaat bestaat voor 75% uit goud a k is evenredig met p  k = ap bij p = 75  k = 18 k = 0,24p b p = 58,3 k = 0,24 × 58,3 k ≈ 14 dus 14 karaat c p = 100 k = 0,24 × 100 k = 24 dus 24 karaat 18 = a × 75 75a = 18 a = 18/75 a = 0,24

Richtingscoëfficiënt berekenen y rechts ∆x · B omhoog ∆y yB yB – yA = ∆y dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x xA xB x xB – xA = ∆x 3.2

· · rechts ∆x 4 omhoog ∆y -3 voorbeeld y A 4 B 1 1 5 x Gegeven zijn de punten A(1, 4) en B(5, 1). Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B. y · 4 A 4 yB – yA = 1 - 4 xB – xA = 5 - 1 rechts ∆x 4 -3 omhoog ∆y -3 · r.c. = ∆y : ∆x rc = -3/4 = -¾ y = ax + b y = -¾x + b door A(1, 4) 4 = -¾ × 1 + b 4 = -¾ + b 4¾ = b  b = 4¾ m : y = -¾x + 4¾ B 1 1 5 x Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule, de manier blijft hetzelfde. 3.2

· · rechts ∆t 25 omhoog ∆R 25 R 35 10 35 60 t opgave 27 R is een lineaire functie van t en de punten (35, 10) en (60, 35). R · rechts ∆t 25 ∆R = 35 - 10 35 omhoog ∆R 25 25 r.c. = ∆R : ∆t rc = 25/25 = 1 R = at + b R = 1t + b door (35, 10) 10 = 1 × 35 + b 10 = 35 + b -25 = b  b = -25 R = t - 25 · 10 25 35 60 t ∆t = 60 - 35

opgave 32 ∆A ∆D a A = aD + b met a = D = 1800  A = 3,1 D = 600  A = 2,2 A = 0,00075D + b D = 1800 en A = 3,1 dus A = 0,00075D + 1,75 b A = 0,00075 × 800 + 1,75 = 2,35 dus 2,35 nieuwe bedrijven per 1000 inwoners c aantal inwoners = 1300 × 800 = 1.040.000 aantal nieuwe bedrijven = 1040 × 2,35 = 2444 ∆A ∆D 3,1 - 2,2 1800 - 600 a = = = 0,00075 3,1 = 0,00075 × 1800 + b 3,1 = 1,35 + b 1,75 = b

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming praktisch probleem met gegevens en tabellen wiskundig model pas het model toe stel het model bij voorspellingen en conclusies gegevens en tabellen controle 3.2

opgave 36 a gedeelte I (0, 500) en (1000, 1200) a = 700 : 1000 = 0,7 K = 0,7q + b door (0, 500) K = 0,7q + 500 b gedeelte II (1000, 1200) en (3000, 1600) a = 400 : 2000 = 0,2 K = 0,2q + b door (1000, 1200) K = 0,2q + 1000 b = 500 ∆K = 1600 – 1200 = 400 b = 1000 ∆q = 3000 – 1000 = 2000 ∆K = 1200 – 500 = 700 ∆q = 1000 – 0 = 1000 3.2

opgave 36 b gedeelte III (3000, 1600) en (5000, 2800) K = 0,6q + b door (3000, 1600) K = 0,6q – 200 c K = 0,7q + 500  0 en 1000 K = 0,2q + 1000  1000 en 3000 K = 0,6q – 200  groter 3000 d q = 1500  K = 1300 q = 3500  K = 1900 = (1900-1300) : 1300 × 100% ≈ 46,2% meer e opbrengst = 2600 × 2,60 = 6760 K = 0,2 x 2600 + 1000 = 1520 euro winst = 6760 – 1520 = 5240 euro ∆K = 2800 – 1600 = 1200 b = -200 ∆q = 5000 – 3000 = 2000

Grafisch-numeriek oplossen Los de vergelijking 4a + 5 = 5a – 2 grafisch-numeriek op. stap 1 : voer in y1 = 4x + 5 en y2 = 5x – 2 stap 2 : plot de grafieken stap 3 : bereken de x-coördinaat van het snijpunt met de optie intersect je vindt x = 7 stap 4 : de oplossing is a = 7 · · 20 10 · · 2 4 7 3.3

als 5a naar links gaat krijg je -5a Algebraïsch oplossen werkschema : lineaire vergelijkingen algebraïsch oplossen 1 staan er haakjes ? werk ze weg. 2 breng alle termen met x naar het linkerlid, de rest naar het rechterlid 3 herleid beide leden en deel door het getal dat voor de x staat 4a + 5 = 5a - 2 4a – 5a = -2 - 5 -a = -7 a = 7 5a naar links brengen en 5 naar rechts herleid linker- en rechterlid deel door het getal dat voor a staat als 5a naar links gaat krijg je -5a 3.3

· · · · · Ongelijkheden oplossen 20 10 2 4 7 Los de vergelijking 4a + 5 < 5a – 2 grafisch-numeriek op. stap 1: voer in y1 = 4x + 5 en y2 = 5x – 2 stap 2: plot de grafieken stap 3: bereken de x-coördinaat van het snijpunt met de optie intersect je vindt x = 7 stap 4: kijk waar de grafiek van y1 onder de grafiek van y2 ligt stap 5: de oplossing is a > 7 · Lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g. · · 20 10 · · 2 4 7 3.3

opgave 48 K 800 a KA = 12n + 435 KB = 17,5n + 350 b voer in y1 = 12x + 435 en y2 = 17,5x + 350 optie intersect x = 15,5 A  bij 16 of meer keer golfen c het snijpunt is bij (15,5 ; 620) maximaal 600euro kosten per jaar  Bastion · · 600 · 400 · 200 n 5 10 15 15,5 20

· · Interpoleren en extrapoleren 800 K 600 400 200 n 5 10 15 20 interpoleren : schatten van een tussenliggende waarde extrapoleren : schatten van een waarde die buiten de gegevens ligt grafisch interpoleren of extrapoleren : schatting aan de hand van een grafiek 800 · 700 K grafisch extrapoleren 600 · 480 400 grafisch interpoleren 200 n 5 10 12,5 15 20 25 3.4

· · · Lineair interpoleren y 16 12 8 4 x 2 4 6 8 vb. Geef door lineair interpoleren een schatting van y bij x = 6. y x 2 8 y 4 12 16 · 12 · ∆x 6 4 ∆y 8 9,3 ∆y = 8 8 ∆y = ? · ∆x = 4 4 ∆y = 4 × 8 : 6 ∆y = 5,3 de schatting van y is y = 4 + 5,3 = 9,3 ∆x = 6 x 2 4 6 8 3.4

opgave 54 7.00 uur  -4,5°C 11.00 uur  2,3°C ∆t = 4  ∆T = 6,8 a 7.00 uur  9.30 uur t = 2,5  ∆T = ? ∆T = 2,5 × 6,8 : 4 ∆T ≈ 4,3 T = -4,5 + 4,3 T = -0,2 de temperatuur is -0,2°C 7.00 uur  -4,5°C 11.00 uur  2,3°C ∆t = 4  ∆T = 6,8 b 11.00 uur  14.00 uur t = 3  ∆T = ? ∆T = 3 × 6,8 : 4 ∆T = 5,1 T = 2,3 + 5,1 T = 7,4 de temperatuur is 7,4°C c de temperatuur neemt ’s avonds weer af en 20.00 uur ligt veel te ver van 11.00 uur af ∆t 4 2,5 ∆T 6,8 ∆t 4 3 ∆T 6,8

· · · · Horizontale en verticale lijnen y 4 3 2 1 1 2 3 4 x de lijn y = 3 is de horizontale lijn door het punt (0, 3) alle punten op deze lijn hebben de y-coördinaat 3 de lijn x = 4 is de verticale lijn door het punt (4, 0) alle punten op deze lijn hebben de x-coördinaat 4 4 · · 3 · 2 1 · 1 2 3 4 x 3.4

Formules van de vorm ax + by = c opgave 61 y a 6x + 8y = 1764 b x + y = 250 c 6x + 8y = 1764 8y = -6x + 1764 y = -0,75x + 220,5 x + y = 250 y = -x + 250 voer in y1 = -0,75x + 220,5 en y2 = -x + 250 optie intersect x = 118 en y = 132 Er waren dus 118 kinderen aanwezig. om de lijn te plotten moet je y vrijmaken 250 · · 200 · · 150 132 100 50 x 50 100 118 150 200

Formules van twee of meer variabelen opgave 65 M = 0,4( W + P ) a W = 18 en P = 38 M = 0,4(18 + 38) M = 22,4 b P = 60 en M = 28 28 = 0,4(W + 60) 0,4(W + 60) = 28 W + 60 = 70 W = 10 c Bij een moeilijk leesbaar boek zullen zowel W als P groot zijn, dus M ook. Bij een moeilijk leesbaar boek zal M groter zijn dan bij een eenvoudig leesbaar boek. d W = 5 en P = 10 geeft M = 6 W = 20 en P = 90 geeft M = 44 dus M tussen 6 en 44 De grafiek bestaat uit verschillende grafieken, al die grafieken samen vormen een grafiekenbundel.