De eenheidscirkel y α P x O (1, 0) De eenheidscirkel is de cirkel met middelpunt O (0, 0) en straal 1. Het punt P draait tegen de wijzers van de klok in over de cirkel P begint in (1, 0). De hoek waarover gedraaid is geven we aan met de Griekse letter α. α P x O (1, 0) 6.1

Sinus, cosinus en tangens y Sinus, cosinus en tangens Het punt P beweegt over de eenheidscirkel en begint in het punt A(1, 0). Het eerste been van α is altijd de positieve x-as, het tweede been van α gaat door het punt P op de eenheidscirkel. De draaiingshoek α neemt allerlei waarden aan, hij kan groter dan 360° zijn of negatief, Draait P tegen de wijzers van de klok in, dan is α positief. Draait P met de wijzers van de klok mee, dan is α negatief. P(xP, yP) 1 1 yP α x ∟ O xP Q A (1, 0) PQ OP yP 1 sin α = = = yP cos α = = = xP tan α = = sos cas toa OQ OP xP 1 yp xp PQ OQ 6.1

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ y B C α α α A (2, 0) x α O D E opgave 5 360° : 5 = 72° B(2 cos 72°, 2 sin 72°) ≈ B(0,62 ; 1,90) C(2 cos 144° , 2 sin 144°) ≈ C(-1,62 ; 1,18) D(2 cos 216° , 2 sin 216°) ≈ D(-1,62 ; -1,18) E(2 cos 288° , 2 sin 288°) ≈ E(0,62 ; -1,90) B ∙ C ∙ α α α ∙ A (2, 0) α x O ∙ D ∙ E

Radiaal y Er is een hoekmaat waarbij de lengte van de boog van de eenheidscirkel gelijk is aan de draaiingshoek α. booglengte PQ = hoek α De ontstane hoekmaat heet radiaal afgekort rad. booglengte = 1  α = 1 rad booglengte = 2  α = 2 rad booglengte = π  α = π rad Q α P O (1, 0) 6.1

Verband tussen radialen en graden omtrek(cirkel) = 2πr omtrek(eenheidscirkel) = 2·π·1 = 2π booglengte = 2π  α = 2π rad 2π rad = 360° dus π rad = 180° booglengte = π  α = π rad = 180° booglengte = ½π  α = ½π rad = 90° booglengte = ¼π  α = ¼π rad = 45° 6.1

exact afgerond 1 rad = 180° ≈ 57,3° π 1° = 1 ≈ 0,017 rad π rad 180 voorbeelden exact afgerond 1 rad = 180° ≈ 57,3° π 1° = 1 ≈ 0,017 rad π rad 180 1¼π rad = 1¼ · 180° ≈ 71,6° π 90° = 90 ≈ 1,57 rad π rad 180

De exacte-waarden-cirkel 6.1

y 1 ½ π π α x -1 O 1 -1 opgave 21a 2 sin (½x) = 1 sin (½x) = ½ ½x = π + k · 2π v ½x = π + k · 2π x = π + k · 4π v x = π + k · 4π sinα = yP 1 ½ π π α x -1 O 1 -1 6.2

y 1 π π α x -1 -½√2 O ½√2 1 π π -1 opgave 24a 2 cos2 (½x) = 1 cos (½x) = √½ v cos (½x) = -√½ cos (½x) = ½√2 v cos (½x) = -½√2 ½x = ¼π + k · ½π x = ½π + k · π cosα = xP 1 + ½π π π α x + ½π -1 -½√2 O ½√2 1 π + ½π π -1 6.2

Grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) 1 periode = 2π f(x) = sin(x) evenwichtsstand = 0 -¾π 1¼π amplitude = 1 -π O π -2π -1¾π ¼π amplitude = 1 2π g(x) = cos(x) ½π periode = 2π -1 α = ¼π, dan is het bijbehorende punt P op de eenheidscirkel xP = yP, dus sinα = cosα De x-coördinaten van de andere snijpunten zijn -1¾π, -¾π en 1¼π. 6.3

opgave 36

opgave 38a evenwichts stand amplitude periode beginpunt y = cos(x) verm. t.o.v. x-as met 1,2 1 2π (0, 1) y = 1,2cos(x) translatie (, 0) 1,2 2π (0; 1,2) y = 1,2cos(x - π) translatie (0, 5) 1,2 2π (π; 1,2) y = 5 + 1,2cos(x - π) 5 1,2 2π (π; 6,2)

∙ ∙ ∙ y 1 A B C x O π 2π 3π -½ -1 opgave 41 a Voer in y1 = -½ + sin(x - ¼π). b De evenwichtsstand is de lijn y = -½ voer in y2 = -½ optie intersect (¼π, -½) , (1¼π, -½) en (2¼π, -½) c optie max , min De toppen van f zijn (¾π, ½) , (1¾π, -1½) en (2¾π, ½). d f(x) = 0  xA = π en xB = π AB = xB – xA = π - π = π = π e f(x) ≥ -1  π ≤ x ≤ π v π ≤ x ≤ 3π

Kenmerken van sinusoïden Formules hebben de vorm : y = a + b (sin( c(x - d) ) en y = a + b (cos( c(x - d) ). amplitude = |b| en c > 0 6.4

Kenmerken van de grafiek van y = a + b (sin( c(x - d) ) evenwichtsstand y = a amplitude = b periode = beginpunt (d, a) 2π c 6.4

opgave 47 f(x) = 5 – 3 sin (¼πx) evenwichtsstand = 5 amplitude = 3 periode = = 8 -3 < 0 Dus grafiek is dalend door beginpunt (0, 5).

opgave 54 3 b Optie intersect geeft x ≈ 2,62 en x ≈ 4,05 aflezen f(x) > g(x) geeft 0 ≤ x < 2,62 v 4,05 < x ≤ 2π d Voer in y3 = y1 + y2 s(x) = a + b sin( c(x – d) ) optie max. en min.  toppen (2,21; 4,36) en (5,35; -4,36) a = evenwichtsstand = 0 b = amplitude = 4,36 halve periode = 5,35-2,21 = 3,14 periode = 2 · 3,14 = 6,28 c = (2π : 6,28) ≈ 1 optie zero (of ROOT) geeft x ≈ 0,64 , dus d ≈ 0,64 Dus s(x) = 4,36 sin(x – 0,64). f(x) = 1 + 2 sin(x) evenwichtsstand y = 1 amplitude = 2 periode = 2π beginpunt (0, 1) f 2 ∙ 1 g(x) = -1 + 3 sin(x - π) evenwichtsstand y = -1 amplitude = 3 periode = 2π beginpunt (π, -1) 4,05 O 2,62 π ∙ 2π -1 -2 -3 g -4