vwo A Samenvatting Hoofdstuk 16
dy dx De afgeleide is de snelheid waarmee y verandert voor x = xA de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A de helling van de grafiek van f in het punt A. Werkschema: het algebraïsch berekenen van maxima en minima Bereken de afgeleide Los de vergelijking = 0 algebraïsch op. Schets de grafiek van y en kijk in de schets of je met een maximum of met een minimum te maken hebt. Vul de gevonden x-waarde in de formule van y in. Je weet dan ymax of ymin. dy dx dy dx 16.1
Minimale snelheid waarmee K verandert In het punt B waar de grafiek van K van afnemend stijgend overgaat in toenemend stijgend, is de snelheid waarmee K verandert minimaal. De bijbehorende q-waarde volgt uit 16.1
Het verband tussen de grafieken van y en dy dx Het verband tussen de grafieken van y en Ligt de grafiek van boven de x-as, dan is y stijgend. Ligt de grafiek van onder de x-as en is de grafiek van bovendien afnemend stijgend, dan is de grafiek van y dalend, waarbij de daling minder snel verloopt naarmate x toeneemt. Hieronder zie je nog een voorbeeld van het verband tussen de grafieken van en y. dy dx dy dx dy dx dy dx 16.1
Regels voor het differentiëren f(x) = axn geeft f’(x) = n · axn – 1 g(x) = a · f(x) geeft g’(x) = a · f’(x) s(x) = f(x) + g(x) geeft s’(x) = f’(x) + g’(x) somregel p(x) = f(x) · g(x) geeft p’(x) = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x) productregel geeft quotiëntregel kettingregel 16.2
= [(x + 3)]’· (2x – 5)2 + (x + 3) · [(2x – 5)]’ opgave 19 a y = (x + 3)(2x – 5)2 = [(x + 3)]’· (2x – 5)2 + (x + 3) · [(2x – 5)]’ Apart de afgeleide van y = (2x – 5)2 = u2 met u = 2x – 5. = · = 2u · 2 = 4(2x – 5) = 1 · (2x – 5)2 + (x + 3) · 4(2x – 5) = (2x – 5)2 + 4(x + 3)(2x – 5) dy dx dy dx dy du du dx dy dx dy dx dy dx dy dx 16.2
y is maximaal voor x = 0 en ymax = y(0) = 0 dy dx opgave 35 a dy dx = 0 geeft Uit de schets volgt y is maximaal voor x = 0 en ymax = y(0) = 0 y is minimaal voor x = 4 en ymin = y(4) = 8. 16.3
opgave 35 b y = ax + b met a = y = –3x + b yA = = 9, dus A(3, 9) Dus y = –3x + 18. –3 · 3 + b = 9 –9 + b = 9 b =18 16.3