vwo A Samenvatting Hoofdstuk 12

Herhaling richtingscoëfficiënt of helling van de lijn AB y rechts ∆x · B omhoog ∆y yB yB – yA = ∆y dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x xA xB x xB – xA = ∆x 12.1

Differentiequotiënt en differentiaalquotiënt . Differentiequotiënt en differentiaalquotiënt y . B f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x x xA a ∆x b xB differentiequotiënt is ∆y : ∆x is de gemiddelde verandering van y op [xA, xB] is r.c. of helling van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 12.1

Snelheid en richtingscoëfficiënt . Snelheid en richtingscoëfficiënt . Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . . . tijd-afstand grafiek v.b. : s = -t² + 10t De gemiddelde snelheid op [2,5] ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. s 25 B2 B1 B3 20 B4 = = 3 m/s A 15 = = 4 m/s Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. = = 5 m/s 5 = = 5,5 m/s t 1 2 3 4 5 12.1

De GR bezit een optie om dydx te berekenen. dydx voor x is xA Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : De GR bezit een optie om dydx te berekenen. [ ] y k dy dx x = xA A rc. van de raaklijn van de grafiek in A. Helling van de grafiek in A. Snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 12.1

Differentiëren Regels voor het differentiëren : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = axn geeft f’(x) = n · axn-1 voor n = 2,3,… f(x) = c · g(x) geeft f’(x) = c · g’(x) f(x) = g(x) + h(x) geeft f’(x) = g’(x) + h’(x) somregel 12.1

Raaklijn en afgeleide y f Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f’(x) is de rc. van de raaklijn in het bijbehorende punt. Algemeen : f’(a) is de rc. van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)). k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 12.1

Snelheid en afgeleide y De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc. van de raaklijn in het punt (a, f(a)). rc. = snelheid = f’(a) Je berekent de snelheid dus met de afgeleide. f’(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a. A f(a) rc. = f’(a) x O a 12.1

De afgeleide van y = axn f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 Oude exponent ervoor zetten. f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 Algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn - 1 Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3). 12.2

Extreme waarden berekenen met de afgeleide Werkschema : het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1) Bereken f’(x) 2) Los algebraïsch op f’(x) = 0 3) Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4) Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … Raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0. 12.2

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum. Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn : Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.3

Optimaliseringsproblemen Werkschema: het algebraïsch oplossen van optimaliseringsproblemen Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen. Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 1. Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele. Schrijf G als functie van één variabele door 2 en 3 te combineren. Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden. 12.3

Marginale kosten De marginale kosten MK is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1 benader je door de afgeleide . dK dq 12.4

Gemiddelde kosten De gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product, dus GK = De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt. Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor. GW = en GR = GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt. K q W q R q 12.4

De kettingregel Kettingregel : De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels. Kettingregel : Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie y = f (x) als volgt te werk. Schrijf f als een ketting van twee functies. Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. Druk het product van de afgeleide functies uit in x. 12.5