vwo B Samenvatting Hoofdstuk 5

De standaardfunctie f(x) = gx f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie g > 1 0 < g < 1 y y ℝ is de verzameling van alle getallen asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur bijna mee samenvalt 1 1 x x O O grafiek is stijgend op ℝ domein ℝ bereik < 0, > de x-as is asymptoot grafiek is dalend op ℝ domein ℝ bereik < 0, > de x-as is asymptoot 5.1

Het effect van transformaties op y = gx verm. t.o.v. de x-as met a y = a · gx vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a asymptoot  y = 0 y = gx verm. t.o.v. de y-as met b y = g vervang in de formule x door asymptoot  y = 0 1 b 1b y = gx translatie (c, 0) y = gx – c vervang in de formule x door x – c asymptoot  y = 0 y = gx translatie (0, d) y = gx + d tel in de formule d op bij de functiewaarde asymptoot  y = d 5.1

Rekenregels van machten a4 = a · a · a · a a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5 = = a2 (a2)3 = a2 · a2 · a2 = a6 (ab)3 = ab · ab · ab = a3b3 bij vermenigvuldigen de exponenten optellen a5 a · a · a · a · a a3 a · a · a bij delen trek je de exponenten van elkaar af bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten bij de macht van een product krijg je een product van machten 5.1

Algemeen ap · aq = ap + q = ap – q (ap)q = apq (ab)p = apbp ap aq 5.1

Negatieve exponenten 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ a-n = (a ≠ 0) De rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten. 1 an 5.1

Machten met gebroken exponenten x½ = √x x = √x 4½ = √4 = 2 64 = √64 = 4 algemeen : a = n√a ook geldt : a = √a (a > 0) 3 3 p q q p 5.1

Lineaire groei en exponentiële groei 5.2

Bij de formule N = b ∙ gt onderscheiden we 2 gevallen Groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis. g > 1 0 < g < 1 y y stijgend dalend 1 1 x x O O 5.2

Groeifactor en groeipercentage Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken. v.b. Een bedrag van 250 euro neemt per jaar met 4,5% toe 100% + 4,5% = 104,5%  : 100  ×1,045 dan is de groeifactor 1,045 formule : B = 250 ×1,045t dus bij een groeifactor van 0,956 is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4% We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is. Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100. Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een verandering van p = (g – 1) × 100%. 5.2

Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid, is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn Bij een groeifactor van 1,5 per uur hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag, en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier. 1,11  111%  toename per kwartier is 11% Het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren. 5.2

Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen : glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y x > 0 , g > 0 en g ≠ 0 5.3

De standaardgrafiek y = glog(x) Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies. g > 1 0 < g < 1 y y y = x y = x y = 2x 1 y = (½)x 1 x x O O 1 1 y = 2log(x) y = ½log(x) 5.3

y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O opgave 54 5.3 opgave 54 y = a · glog(x + b) a > 0 a < 0 b > 0 b < 0 0 < g < 1 g > 1 y y y y x x x x O O O O x = -b x = -b x = -b x = -b y y y y x x x x O O O O x = -b x = -b x = -b x = -b

Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. paard = 600 kg. log(600) ≈ 2,8 Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4 log(104) = 4 5.4

Exponentiële groei en logaritmisch papier Bij een rechte lijn op logaritmisch papier hoort exponentiële groei, dus een formule van de vorm N = b · gt De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt. Bij groeifactor g bereken je de verdubbelingstijd T door de vergelijking gT = 2 op te lossen. De verdubbelingstijd is onafhankelijk van b. 5.4

opgave 72 jaar 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2003 aantal N 155 200 441 494 553 619 870 a Teken b vanaf 1997 c Lijn door (2, 441) en (8, 870) g6 jaar = 870/441 ≈ 1,97 gjaar = 1,97⅙ ≈ 1,12 N = b · 1,12t t = 2  N = 441 N = 352 · 1,12t ∙ ∙ ∙ 441 = b · 1,122 b = 441/1,122 b ≈ 352 ∙ ∙ ∙ ∙ 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5.4