vwo B Samenvatting Hoofdstuk 8 Bewerkt door P. G. v.d. Veen

Gelijkvormige driehoeken Bij gelijkvormige figuren geldt : 1 De overeenkomstige hoeken zijn gelijk. 2 De zijden van de figuren passen in een verhoudingstabel . * □ ad 1) A = D , B = E , C = F dus gelijkvormig ∆ABC ∾ ∆DEF * □ ∾ betekent gelijkvormig 2 driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee paar gelijke hoeken hebben ad 2) AB 2 BC 3 1,8 AC x 1,5 3 DE EF 4,5 2,7 DF 8.1

Hoe herken je gelijke hoeken ? Bij snijdende lijnen zijn overstaande hoeken gelijk. Bij evenwijdige lijnen horen gelijke Z-hoeken. Bij evenwijdige lijnen horen gelijke F-hoeken. * □ □ □ □ * □ □ 8.1

Snavel- en zandloperfiguren snavelfiguur zandloperfiguur ∆ABC ∾ ∆DBE ∆KLM ∾ ∆ONM A = D B = B C = E K = O L = N M = M C K L E B M D A N O AB BC AC KL LM KM DB BE DE ON NM OM 8.1

KL LM KM ON NM OM Zandloperfiguren K L M N O zandloperfiguur ∆KLM ∾ ∆ONM K 5 L KL LM KM ON NM OM M N O 3 Gegeven KO=9 8.1

KL LM KM ON NM OM 5 LM 9-p 3 NM p Zandloperfiguren K L M N O zandloperfiguur ∆KLM ∾ ∆ONM K 5 L KL LM KM 9-p ON NM OM M p 5 LM 9-p N O 3 3 NM p Gegeven KO=9 8.1

KL LM KM ON NM OM 5 LM 9-p 3 NM p Zandloperfiguren K L M N O zandloperfiguur ∆KLM ∾ ∆ONM K 5 L KL LM KM 9-p ON NM OM M p 5 LM 9-p N O 3 3 NM p Gegeven KO=9 Hieruit volgt: 8.1

Oppervlakte methode C D Basis x ½ Hoogte A B F AB=8, CF=6, BC=10 Gebruik: Opp. van een driehoek is: Basis x ½ Hoogte A B F AB=8, CF=6, BC=10 Dus: AB x CF = BC x AD Dus AD=4.8 8.1

Congruente driehoeken Als 2 driehoeken gelijkvormig EN even groot zijn dan zijn de driehoeken congruent. 8.1

Definities Een definitie is een afspraak. Definitie van gelijkbenige driehoek : Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met 2 gelijke zijden. Definitie van gestrekte hoek : Een gestrekte hoek is een hoek van 180°. Definitie van parallellogram : Een parallellogram is een vierhoek waarvan beide paren overstaande zijden evenwijdig zijn. Definitie van ruit : Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. 8.2

Stellingen Een stelling is een eigenschap of bewering die te bewijzen is. Stelling gelijkbenige driehoek : Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende hoeken ook gelijk. Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden ook gelijk. Stelling van overstaande hoeken : De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk. Stelling van hoekensom driehoek : De som van de hoeken van een driehoek is 180°. 8.2

Werkschema : het bewijzen van een stelling 1 Formuleer wat gegeven is voor een concrete situatie. 2 Noteer wat bewezen moet worden voor de gekozen situatie. 3 Geef het bewijs. Vermeld hierbij de definities en stellingen die je gebruikt. 8.2

= = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Definitie van middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. ∙ = = ∙ B Definitie van bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ A 8.2

= = Definitie van hoogtelijn: Definitie van zwaartelijn: C D A B C M A Een hoogtelijn in een driehoek is de loodlijn vanuit een hoekpunt op de overstaande zijde. A B Definitie van zwaartelijn: C = Een zwaartelijn in een driehoek is de lijn die gaat door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. M = A B 8.2

Middelloodlijnen in een driehoek In een driehoek gaan de 3 middelloodlijnen door één punt. Dat punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek. C = v M = v A | | B 8.3

Bissectrices in een driehoek In een driehoek gaan de drie bissectrices door één punt. Dat punt is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek. C x x M ∙ ° ∙ ° A B 8.3

Zwaartelijnen in een driehoek De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt, het zwaartepunt. En verdelen elkaar in stukken die zich verhouden als 2 : 1. C = v E D (1) Z = v (2) A | | B F 8.3

Hoogtelijnen in een driehoek De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt. C D E A B F 8.3

Hoogtelijnen door H Zwaartelijnen door Z Middellloodlijnen door M Bissectrices door B: M,Z,H liggen op één lijn. HZ=2 x ZM

Stelling van Thales: De omtrekshoek in een cirkel is 90°

Stelling van Thales: De omtrekshoek op een cirkel is altijd de helft van de basis hoek.

Stelling van Thales: De omtrekshoek op een cirkel is altijd de helft van de basis hoek.

∙ Koordenvierhoeken D C M B A Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op één cirkel liggen. Koordenvierhoekstelling : Als ABCD een koordenvierhoek is, dan is de som van elk paar overstaande hoeken 180°. Omgekeerde koordenvierhoekstelling : Als in een vierhoek de som van een paar overstaande hoeken 180° is, dan is de vierhoek een koordenvierhoek. D C M ∙ B A 8.3