vwo A Samenvatting Hoofdstuk 13

Regels bij kansrekeningen Somregel Hebben de gebeurtenissen G1 en G2 geen gemeenschappelijke uitkomsten, dan is P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complementregel-gebeurtenis) Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2). 13.1

Soorten kansberekeningen Gunstige uitkomsten tellen Maak een rooster of noteer systematisch de gunstige uitkomsten. Vaasmodel gebruiken Bij trekken zonder terugleggen bereken je kansen met combinaties. Productregel gebruiken Bij twee of meer onafhankelijke experimenten bereken je kansen met de productregel. Vuistregel Bij het nemen van een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. Je gebruikt de productregel. Binomiale verdeling De binomiale verdeling is een speciaal geval van de productregel. Bij een binomiaal kansexperiment voer je hetzelfde kansexperiment een aantal keren uit, waarbij je alleen op de gebeurtenissen ‘succes’ en ‘mislukking’ let. Hierbij is X het aantal keer succes, n het aantal keer dat het kansexperiment wordt uitgevoerd en p de kans op succes per keer. Notaties: P(X = k) = binompdf(n, p, k) P(X ≤ k) = binomcdf(n, p, k) 13.1

P(Anton pakt zwarte knikker) = P(mz) = = 0,2 opgave 16 a b P(Anton pakt zwarte knikker) = P(mz) = = 0,2 P(Anton pakt rode knikker) = P(krI) + P(mrII) = ≈ 0,586 P(Anton pakt twee keer wit) = P(kwkw) = ≈ 0,036 P(Anton pakt twee keer rood) = P(krIkrI) + P(krImrII) + P(mrIIkrI) + P(mrIImrII) = ≈ 0,318 c d e 13.2

P(Nederlander heeft spierpijnklachten) = P(ps) + P(ps) opgave 18 a - b P(Nederlander heeft spierpijnklachten) = P(ps) + P(ps) = 0,01 · 0,7 + 0,99 · 0,2 = 0,205 Aantal = 10 000 · 0,01 · 0,7 = 70 Aantal = 10 000 · 0,205 = 2050 Er zijn 2050 personen die spierpijnlachten hebben, waarvan er 70 Parkinson hebben. P(een persoon met spierpijnklachten heeft Parkinson) = ≈ 0,034 Van de personen die spierpijnklachten hebben, heeft maar een klein deel de ziekte van Parkinson, zie vraag e. c d e f 13.2

Oppervlakte berekenen opp = normalcdf(a, b, µ, σ) Neem a = –1099 als er geen linkergrens is. Grens berekenen a = invNorm(opp links, µ, σ) 13.3

Normale verdeling Werkschema: aanpak bij opgaven over de normale verdeling Schets een normaalkromme en verwerk hierin µ, σ, l, r en opp. Kleur het gebied dat bij de vraag hoort. Bereken met de GR het ontbrekende getal. Beantwoord de gestelde vraag. 13.3

Som en verschil van toevalsvariabelen De som en het verschil van de normaal verdeelde toevalsvariabelen X en Y zijn weer normaal verdeeld. De verwachtingswaarde en de standaardafwijking van S = X + Y en V = X – Y bereken je met µS = µX + µY en respectievelijk µV = µX – µY en De formules voor σS en σV mag je alleen gebruiken als X en Y onafhankelijk zijn. Voor de som S = X1 + X2 + X3 + … + Xn van n onafhankelijke toevalsvariabelen X1, X2, …, Xn geldt en 13.3

Steekproef van lengte n Gegeven is een populatie met een normaal verdeelde toevalsvariabele X. Bij een steekproef van lengte n uit deze populatie is Xsom = X + X + X + … + X (in termen) normaal verdeeld met en 13.4

Het steekproefgemiddelde - wet: Bij een normaal verdeelde toevalsvariabele X met gemiddelde µX en standaardafwijking σX is bij steekproeflengte n het steekproefgemiddelde normaal verdeeld met en Bij een grote steekproef, bijvoorbeeld een steekproef met n > 1000, zal de spreiding heel klein worden. Het steekproefgemiddelde zal dan heel dicht bij het theoretische gemiddelde µX liggen. Je krijgt dus een goede schatting van µX door te berekenen voor grote waarden van n. 13.4

Discrete en continu verdelingen Bij een continu toevalsvariabele kan elke waarde tussen twee uitkomsten aangenomen worden. Bij een discrete toevalsvariabele worden alleen een aantal ‘losse’ waarden aangenomen. Bij het overstappen van een discrete toevalsvariabele X op een continu toevalsvariabele Y moet je een continuïteitscorrectie van 0,5 toepassen: P(X ≤ k) = P(Y ≤ k + 0,5). 13.5

Van binomiale verdeling naar normale verdeling verwachtingswaarde standaardafwijking Voor grote n mag je de binomiale verdeling benaderen door een normale verdeling. De binomiaal verdeelde toevalsvariabele X kan voor grote n benaderd worden door de normaal verdeelde toevalsvariabele Y met µY = np en Voorwaarde is dat np > 5 en n(1 – p) > 5. 13.5