vwo A Samenvatting Hoofdstuk11

Regels bij kansrekeningen aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansdefinitie van Laplace P(G) = Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2). Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 11.1

Voorbeeld somregel 4 2 6 1 4 3 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 6 3 In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. a) P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood) b) P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen) 4 2 6 1 4 3 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 6 3 4 1 6 2 . . = + ≈ 0,667 10 3 10 3 11.1

De complementregel P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 11.1

Het vaasmodel Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren. 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 . . 8+4+3=15 15 5 11.1

Berekeningen met breuken 11.2

Bernoulli-experimenten Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten. De complement-gebeurtenis van succes is mislukking. De kans op succes geven we aan met p. 11.3

Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd X het aantal keer succes p de kans op succes per keer de kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k. n k 11.3

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 11.3

11.3

Werkschema: binomiale kansen berekenen Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 11.4

De binomiale verdeling met onbekende n opgave 63 X = het aantal treffers. Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0,9, oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ? TI 1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9 Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4). Maak een tabel en lees af voor n = 17 is y1 ≈ 0,874 voor n = 18 is y1 ≈ 0,906. Dus minstens 18 vrije worpen. Casio 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,1 ? Proberen geeft voor n = 17 is P(X ≤ 4) ≈ 0,126 voor n = 18 is P(X ≤ 4) ≈ 0,094. Dus minstens 18 vrije worpen. 11.4

De verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X Stel de kansverdeling van X op. Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. Tel de uitkomsten op. De som is E(X). Dus E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn). 11.5

De standaardafwijking van een toevalsvariabele 11.5

De somregel voor de standaardafwijking Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt de somregel voor de standaardafwijking σx+ y = √ σ2x + σ2y VAR(X) = σ2x (de variantie van X) σ2x+ y = σ2x + σ2y dus VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) 11.5