vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 7

Intervallen ≤  [  ● <  ‹  ○ ● ○ l l -8 3 ○ ● l l 4 4½ ● ● l l ≤  [  ● <  ‹  ○ Intervallen a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x ≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d 3 < x ≤ π ‹ 3 , π ] ● ○ l l -8 3 ○ ● l l 4 4½ ● ● l l 5,1 7,3 ○ ● l l 3 π 7.1

Oneindige intervallen a x ≤ 4½ ● l ‹  , 4½ ] 4½ b x > -8 ○ ‹ -8 ,  › l -8 7.1

Stijgen en dalen constante stijging toenemende stijging afnemende stijging constante daling toenemende daling afnemende daling 7.1

Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram : 1 kies een stapgrootte 2 bereken voor elke stap de toename of afname 3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv. toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 7.1

. . . y . . voorbeeld . . . x 7.1

· · Gemiddelde veranderingen N N2 N2 – N1 = ∆N N1 t1 t2 t t2 – t1 = ∆t rechts ∆t · omhoog ∆N N2 N2 – N1 = ∆N dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N : ∆t ∆N · N1 ∆t t1 t2 t t2 – t1 = ∆t 7.2

. . Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is y B f(b) f(a) yA ∆x x a xA ∆x xB b differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA,xB] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 7.2

∆s ∆t Gemiddelde snelheid In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd t Bij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotiënt op [a,b] de gemiddelde snelheid op [a,b] de gemiddelde snelheid is ∆s ∆t 7.2

voorbeeld ∆K K(b) – K(a) ∆P P(b) – P(a) = 12 6 6 6 4 4 -6 -5 -5 -4 -2 a gemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = -4 - -6 = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = 2 - -2 = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 b differentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = 0 - -5 = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = 2 - -5 = 7 ∆K : ∆P = 2/7 12 6 6 6 4 4 -6 -5 -5 -4 -2 2 2 7.2

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval [a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 7.3

. . . . . Snelheid, raaklijn en helling s 25 B2 B1 B3 20 B4 = = 3 m/s Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . . . Snelheid, raaklijn en helling s tijd-afstand grafiek v.b. : s = -t² + 10t Bereken de gemiddelde snelheid op [2,5],[2,4], [2,3] en [2,2½]. ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. 25 B2 B1 B3 20 B4 = = 3 m/s A 15 = = 4 m/s Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k = = 5 m/s De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. = = 5,5 m/s 5 t 1 2 3 4 5 7.3

[ ] dydx voor x is xA y k dy dx A x O xA voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : [ ] y k dy dx de GR bezit een optie om dydx te berekenen x=xA A rc. van de raaklijn van de grafiek in A helling van de grafiek in A snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 7.3

7.3

[ ] Het opstellen van de formule van een raaklijn voer in y1 = x² + x – 2 stel k : y = ax + b met a = = -1 dus k : y = -x + b f(-1) = -2 dus A(-1, -2) -2 = - -1 + b -2 = 1 + b -3 = b k : y = -x - 3 [ ] dy dx x = -1 7.3

Hellinggrafieken schetsen top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as y Hellinggrafieken schetsen top Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend x O top stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as helling dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as pos. pos. overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt x O laagste punt 7.3

Hellinggrafiek plotten m.b.v. GR TI  MATH – MATH - menu optie nDeriv Casio  OPTN – CALC – menu optie d/dx vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) 7.3

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctie i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.4

de afgeleide van f(x) = axn g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 somregel van het differentiëren f(x) = g(x) + h(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) oude exponent ervoor zetten nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3) 7.4

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a,f(a)). y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 7.4

Notaties voor de afgeleide notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn : f’(x) (f(x)) dy dx d dx df(x) dx 7.5

Het algebraïsch berekenen van maxima en minima y f’(x) = 0 top f’(x) < 0 f’(x) < 0 stijgend dalend dalend x O f’(x) > 0 top werkschema : het algebraïsch berekenen van maxima en minima 1 bereken de afgeleide 2 los algebraïsch op = 0 3 schets de grafiek kijk in de schets of je met een max. of een min. te maken hebt 4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de formule van y in te vullen dy dx dy dx 7.5