vwo A Samenvatting Hoofdstuk 9

De recursieve formule van een getallenrij Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke term uit één of meer voorafgaande termen volgt. Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde. vb. un = un – 1 + 160 met u0 = 25 9.1

opgave 15 a) u0 = 1 u1 = 1 + 1 + 1 = 3 u2 = 3 + 2 + 1 = 6 u3 = 6 + 3 + 1 = 10 u4 = 10 + 4 + 1 = 15 u5 = 15 + 5 + 1 = 21 Totaal = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 10e laag is u9 = 55 15e laag is u14 = 120 d) v9 = 220, dus uit 220 sinaasappels. Voer in y1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3). De tabel geeft : bij x = 14 hoort y = 680. De stapel bestaat uit 15 lagen. 9.1

Rekenkundige rijen Een rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is de directe formule un = u0 + vn de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0. Voor de rekenkundige rij un geldt som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term) 9.2

opgave 22 un = un – 1 – 4 met u0 = 251 rr met u0 = 251 en v = -4 dus un = 251 – 4n b) u18 = 251 – 4 · 18 = 179 c) 21e term is u20 = 251 – 4 · 20 = 171 d) Los op 251 – 4n = 0 -4n = -251 n = 62,75 Dus u62 > 0 en u63 < 0. Vanaf de 64e term is un negatief. 9.2

Meetkundige rijen Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is de directe formule un = u0 · rn de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0. Voor een meetkundige rij un geldt som meetkundige rij = eerste term(1 – factoraantal termen) 1 - factor 9.3

opgave 43 a) un = 5,2 · 0,8n 8e week u7 = 5,2 · 0,87 u7 ≈ 1,1 De toename in de 8e week is 11 mm. 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,87 = ≈ 21,6 De plant is 216 mm gegroeid. c) 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,89 ≈ 23,2 De hoogte na 10 weken is 18 + 23,2 = 41,2 cm. 9.3

Radiaal Er is een hoekmaat waarbij de lengte van de boog van de eenheidscirkel gelijk is aan de draaiingshoek α. booglengte PQ = hoek α booglengte = 1  α = 1 rad booglengte = 2  α = 2 rad booglengte = π  α = π rad 1 rad ≈ 57,3° y Q α P x O (1,0) 9.4

Sinus en cosinus y Het punt P beweegt over de eenheidscirkel en begint in het punt A(1,0). P(xP , yP) 1 1 yP PQ OP yP 1 sin α = = = yP cos α = = = xP α x ∟ O xP Q A (1,0) sos cas OQ OP xP 1 9.4

Grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) 1 periode = 2π f(x) = sin(x) evenwichtsstand = 0 amplitude = 1 -π O π -2π amplitude = 1 2π g(x) = cos(x) ½π periode = 2π -1 9.4

Bijzonderheden aflezen uit een formule met een sinus 9.4

Kenmerken van sinusoïden Formules hebben de vorm : y = a + b sin(c(x - d)) en y = a + b cos(c(x - d)) amplitude = |b| en c > 0 9.5

Kenmerken van de grafiek van y = a + b sin(c(x - d)) evenwichtsstand y = a amplitude = b periode = beginpunt (d, a) 2π c 9.5

voorbeeld f(x) = 5 – 3 sin (¼πx) evenwichtsstand = 5 amplitude = 3 periode = = 8 -3 < 0 dus grafiek dalend door beginpunt (0,5) 9.5