horizontale lijn a = 0  y = getal De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a = hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as horizontale lijn a = 0  y = getal 2.1

werkschema : het oplossen van lineaire vergelijkingen voorbeeld 4(2x – 3) = 6x – 8 1 staan er haakjes ? werk ze weg 8x – 12 = 6x – 8 2 termen met x naar links, de rest naar rechts 8x – 6x = -8 + 12 3 herleid beide leden 2x = 4 4 deel door het getal voor x x = 4/2 = 2 2.1

· · rechts ∆x 4 omhoog ∆y -3 voorbeeld y A 4 B 1 1 5 x Gegeven zijn de punten A(1, 4) en B(5, 1). Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B. y · 4 A 4 yB – yA = 1 - 4 rechts ∆x 4 xB – xA = 5 - 1 -3 omhoog ∆y -3 · r.c. = ∆y : ∆x rc = -3/4 = -¾ m: y = ax + b y = -¾x + b door A(1, 4) 4 = -¾ · 1 + b 4 = -¾ + b 4¾ = b  b = 4¾ m : y = -¾x + 4¾ B 1 1 5 x Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule, de manier blijft hetzelfde. 2.2

1 de formule volgt uit de tekst Een zwembad wordt gevuld met water op t = 0 is de waterhoogte 5 cm. iedere minuut stijgt het water met 7 cm. in de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minuten de formule wordt dan : h = 5 + 7t of h = 7t + 5 2.2

delen door hetzelfde getal 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen delen door hetzelfde getal altijd 1 naar rechts y : 2 2 · 2 1 rechts 2 1 omhoog -3 -1,5 1 2 3 4 5 x -3 : 2 -1 · dus r.c. = -1,5 snijpunt met de verticale as is (0, 1) de formule wordt dan y = -1,5x + 1 -2 -3 2.2

· · 3 een punt en de r.c. zijn gegeven y 8 A 6 4 2 1 2 3 4 5 x -2 de lijn m gaat door het punt A(2, 6) en r.c.m = -4 alg. verg. : y = ax + b r.c.m = a = -4 y = -4x + b de lijn gaat door het punt (2, 6) 6 = -4 · 2 + b 6 = -8 + b 6 + 8 = b 14 = b b = 14 dus m : y = -4 x + 14 y 8 · A 1 6 -4 4 · 2 1 2 3 4 5 x -2 2.2

· · rechts 20 1 omhoog 60 3 4 twee punten zijn gegeven N 80 60 40 20 5 : 20 N 80 rechts 20 1 60 omhoog 60 3 60 40 : 20 · 20 dus r.c. = 3 snijpunt met de verticale as is (0, 20) de formule wordt dan N = 3t + 20 20 5 10 15 20 25 t 2.2

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR ? 1 noteer de formules die je invoert, dus schrijf op y1 = … en y2 = … 2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat 3 beantwoord de gestelde vraag 2.3

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming. praktisch probleem met gegevens en tabellen wiskundig model pas het model toe stel het model bij voorspellingen en conclusies gegevens en tabellen controle 2.3

Algebraïsch oplossen van kwadratische vergelijkingen 1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule 2.4

1 x² = getal x = √getal v x = -√getal voorbeeld 1 x² = 7 x = √7 v x = -√7 voorbeeld 2 x² = -16 x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen voorbeeld 3 (x + 5)² = 16 x + 5 = √16 v x + 5 = -√16 x + 5 = 4 v x + 5 = -4 x = 4 – 5 v x = -4 – 5 x = -1 v x = -9 a x² = positief getal 2 oplossingen b x² = 0 x = 0  1 oplossing c x² = negatief getal k.n.  geen oplossing 2.4

2 Ontbind in factoren prod=+15 +1 +15 -1 -15 +3 +5 -3 -3 -5 -5 a maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen b vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk c ontbind het linkerlid in factoren d A · B = 0  A = 0 v B = 0 voorbeeld 1 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 prod=+15 ad a opgeteld = -8 +1 +15 ad b -1 -15 ad c product = +15 +3 +5 ad d -3 -3 -5 -5 ad d 2.4

3 De abc-formule bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 2.4

De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1 algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = 3 prod= -3 +1 +1 -3 -3 -1 +3 2.4

f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y1 = x² en y2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 2.4

Grafisch-numeriek y 10 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 3 4 x -2 -4 -6 x² = 2x + 3 y1 = x² y2 = 2x + 3 optie intersect x = -1 v x = 3 6 4 2 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 3 4 x -2 y2 -4 -6 16

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporen hoogste punt  maximum max.  grootste functiewaarde max. is een y-coördinaat laagste punt  minimum max. en min. heten uiterste waarden of extremen 2.5

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR 1 voer de formule in bij y1 2 schets de grafiek 3 gebruik de opties maximum en/of minimum bij het berekenen van de extreme waarden 4 zet in je schets de coördinaten van de toppen 5 noteer de extreme waarden in de vorm : min. is f(…) = … of max. is f(…) = … 2.5

Werkschema: het tekenen van de grafiek van een functie 1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster, waarbij het verloop van de grafiek goed zichtbaar is. 2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift. 3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen. 2.5

Wortels x² = 10 x = √10 v x = -√10 kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen √10 = 2√10 √10 = 10 √10 ≈ 3,16 (√10)² = 10 daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10 GR 1 y1 = x2 en y2 = 10 plotten  intersect coördinaten v/h snijpunt 2 optie x√ gebruiken 5.1

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden. 5.1

1 p is positief ( n = oneven ) er is één oplossing x³ = 3 x = 3 x ≈ 1,44 n = oneven grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) 1,44 5.1

-1,44 2 p is negatief ( n = oneven ) er is één oplossing x³ = -3 5.1

-1,32 1,32 3 p is positief ( n = even ) er zijn twee oplossingen grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as x4 = 3 x = 3¼ x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32 -1,32 1,32 5.1

4 p is negatief ( n = even ) er zijn geen oplossingen x4 = -3 x = -3¼ Er is geen oplossing 5.1

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden 1 schets de grafieken van f en g 2 los de vergelijking f(x) = g(x) op 3 lees uit de schets de oplossingen af los op (exact) x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 y f lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g -1 3 x g 5.1

y los op (2 decimalen) x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR) y los op (2 decimalen) x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² y2 = 3x - 4 optie intersect x ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56 aflezen uit de schets -1,56 < x < 1 v x > 2,56 y1 1 -1,56 2,56 x lees het antwoord af op de x-as f(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g y2 5.1

Lineaire groei en exponentiële groei 5.2

Bij de formule N = b · gt onderscheiden we 2 gevallen groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis g > 1 0 < g < 1 y y 1 1 x x O O 5.2

Groeifactor en groeipercentage Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken. Neemt een bedrag met 250 euro per jaar met 4,5% toe, dan is de groeifactor 1,045. 100% + 4,5% = 104,5%  × 1,045 formule : B = 250 × 1,045t Dus bij een groeifactor van 0,956 is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4%. We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is. Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100. Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g – 1 ) × 100%. 5.2

Rekenregels van machten a4 = a · a · a · a a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5 = = a2 (a2)3 = a2 · a2 · a2 = a6 (ab)3 = ab · ab · ab = a3b3 bij vermenigvuldigen de exponenten optellen a5 a · a · a · a · a a3 a · a · a bij delen trek je de exponenten van elkaar af bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten bij de macht van een product krijg je een product van machten 5.3

Algemeen ap · aq = ap + q = ap – q (ap)q = apq (ab)p = apbp ap aq 5.3

Negatieve exponenten 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ a-n = (a ≠ 0) de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten 1 an 5.3

Machten met gebroken exponenten x = √x x = √x 4 = √4 = 2 64 = √64 = 4 algemeen: a = n√a ook geldt: a = √a (a > 0) 3 3 p q q p 5.3

Evenredig als er een getal a bestaat zo, dat P = a · Q dan is P evenredig met Q het getal a heet de evenredigheidsconstante y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a · xn

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid is g de groeifactor per tijdseenheid, dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn bij een groeifactor van 1,5 per uur hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier 1,11  111%  toename per kwartier is 11% het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren 5.4

Werkschema: herkennen van exponentiële groei bij een tabel 1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiënt aantal aan het eind van het interval aantal aan het begin van het interval 2 verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijd de verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de vergelijking gT = 2 op te lossen de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking gT = ½ op te lossen

Werkschema: herkennen van exponentiële groei bij een tabel 1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiënt aantal aan het eind van het interval aantal aan het begin van het interval 2 verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei 5.4

Verdubbelings- en halveringstijd de verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de vergelijking gT = 2 op te lossen de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking gT = ½ op te lossen 5.4

Intervallen ≤  [  ● <  ‹  ○ ● ○ l l -8 3 ○ ● l l 4 4½ ● ● l l ≤  [  ● <  ‹  ○ Intervallen a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x ≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d 3 < x ≤ π ‹ 3 , π ] ● ○ l l -8 3 ○ ● l l 4 4½ ● ● l l 5,1 7,3 ○ ● l l 3 π 7.1

Oneindige intervallen a x ≤ 4½ ● l ‹  , 4½ ] 4½ b x > -8 ○ ‹ -8 ,  › l -8 7.1

Stijgen en dalen constante stijging toenemende stijging afnemende stijging constante daling toenemende daling afnemende daling 7.1

voorbeeld toenemend stijgend op < -4 , -2 > toenemend dalend op < 1 , 3 > afnemend dalend op < -6 , -4 > -6 -4 -2 5 toenemend stijgend op < 5 ,  > 1 3 afnemend dalend op < 3 , 5 > afnemend stijgend op < -2 , 1 >

Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram : 1 kies een stapgrootte 2 bereken voor elke stap de toename of afname 3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv. toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 7.1

. . • • . voorbeeld ∆ y 4 3 2 1 x -1 1 2 3 4 -1 ∆x = 1 [-1,0] [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] ∆y 4 2 0,5 -0,5 2 voorbeeld . . . ∆ y 4 3 • 2 • 1 x -1 1 2 3 4 Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. -1

. . . y . . voorbeeld . . . x

. . . . . y = -x² + 2x + 4 voorbeeld x y ∆y -1 1 4 3 1 5 1 2 4 -1 3 1 1 2 . 3 4 5 4 3 -1 1 5 1 2 4 -1 -2 . 3 1 -3 -3 4 -4 -5 5 -11 -7 -4 -5 -7

· · Gemiddelde veranderingen N N2 N2 – N1 = ∆N N1 t1 t2 t t2 – t1 = ∆t rechts ∆t · omhoog ∆N N2 N2 – N1 = ∆N dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N : ∆t ∆N · N1 ∆t t1 t2 t t2 – t1 = ∆t 7.2

. . Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is y B f(b) f(a) yA ∆x x a xA ∆x xB b differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA,xB] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 7.2

∆s ∆t Gemiddelde snelheid In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd t Bij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotiënt op [a,b] de gemiddelde snelheid op [a,b] de gemiddelde snelheid is ∆s ∆t 7.2

voorbeeld ∆K K(b) – K(a) ∆P P(b) – P(a) = 12 6 6 6 4 4 -6 -5 -5 -4 -2 a gemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = -4 - -6 = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = 2 - -2 = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 b differentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = 0 - -5 = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = 2 - -5 = 7 ∆K : ∆P = 2/7 12 6 6 6 4 4 -6 -5 -5 -4 -2 2 2

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval [a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 7.3

. . . . . Snelheid, raaklijn en helling s 25 B2 B1 B3 20 B4 = = 3 m/s Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . . . Snelheid, raaklijn en helling s tijd-afstand grafiek v.b. : s = -t² + 10t Bereken de gemiddelde snelheid op [2,5],[2,4], [2,3] en [2,2½]. ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. 25 B2 B1 B3 20 B4 = = 3 m/s A 15 = = 4 m/s Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k = = 5 m/s = = 5,5 m/s 5 De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. t 1 2 3 4 5 7.3

[ ] dydx voor x is xA y k dy dx A x O xA de GR bezit een optie om dydx te berekenen dydx voor x is xA voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : [ ] y k dy dx x=xA A rc. van de raaklijn van de grafiek in A helling van de grafiek in A snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 7.3

7.3

[ ] Het opstellen van de formule van een raaklijn voer in y1 = x² + x – 2 stel k : y = ax + b met a = = -1 dus k : y = -x + b f(-1) = -2 dus A(-1, -2) -2 = - -1 + b -2 = 1 + b -3 = b k : y = -x - 3 [ ] dy dx x = -1

Hellinggrafieken schetsen top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as y Hellinggrafieken schetsen top Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend x O top stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as helling dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as pos. pos. overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt x O laagste punt

Hellinggrafiek plotten m.b.v. GR TI  MATH – MATH - menu optie nDeriv vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)

voorbeeld y O x helling 3 O 0,458 2,354 x a voer in y1 = (5x² - 38)/(x² + 4) en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) kies Xmin = -5 , Xmax = 5 , Ymin = -10 , Ymax = 5 b voer in y3 = 3 optie intersect met y2 en y3 geeft x ≈ 0,458 en x ≈ 2,354 aflezen  helling > 3 voor 0,458 < x < 2,354 helling 3 O 0,458 2,354 x

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctie i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.4

de afgeleide van f(x) = axn g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 somregel van het differentiëren f(x) = g(x) + h(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) oude exponent ervoor zetten nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3) 7.4

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a,f(a)). y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 7.4

Notaties voor de afgeleide notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn : f’(x) (f(x)) dy dx d dx df(x) dx 7.5

Het algebraïsch berekenen van maxima en minima y f’(x) = 0 top f’(x) < 0 f’(x) < 0 stijgend dalend dalend x O f’(x) > 0 top werkschema : het algebraïsch berekenen van maxima en minima 1 bereken de afgeleide 2 los algebraïsch op = 0 3 schets de grafiek kijk in de schets of je met een max. of een min. te maken hebt 4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de formule van y in te vullen dy dx dy dx