Overzicht van de leerstof INTEGRALEN VAN VEELTERMFUNCTIES Overzicht van de leerstof oppervlaktefuncties primitieve functies bepalen onbepaalde integraal bepaalde integraal oppervlakte bepalen

D A(x) = f(x) OPPERVLAKTEFUNCTIES stelling: als we de afgeleide bepalen van de oppervlaktefunctie, bekomen we de functie zelf. D A(x) = f(x) A(x)= oppervlaktefunctie van f(x) f(x)= functie DUS: als we de oppervlakte onder een veeltermfunctie willen berekenen, moeten we ‘het omgekeerde van afleiden’ toepassen op de functie Het omgekeerde van afleiden is: INTEGREREN

PRIMITIEVE FUNCTIES BEPALEN INTEGREREN = primitieve functie F(x) bepalen 1 functie heeft oneindig veel primitieve functies VOORBEELD: f(x)=2x+1 heeft als primitieve functies: F(x) = x²+x F(x) = x²+x +3 F(x) = x²+x – 7 …. want D(x²+x)= 2x+1 want D(x²+x +3) = 2x+1 want D(x²+x – 7) = 2x+1

PRIMITIEVE FUNCTIES BEPALEN xn+1 f(x) = a.xn  F(x) = a. n+1 f(x)= 0,5x7  F(x) = 0,5. x8 8 1 (bx+c)n+1 f(x) = (bx+c)n  F(x) = b n+1 f(x)= (3x+2)5  F(x) = 1 3 (3x+2)6 6 f(x) = g(x)+h(x)  F(x) = G(x)+H(x) f(x)= 3x²+(2x-5)3  F(x) = 3. + x3 1 3 2 (2x-5)4 4

ONBEPAALDE INTEGRAAL f(x).dx = F(x) + c als F(x) een primitieve functie is van f(x), dan vormen ALLE primitieve functies de onbepaalde integraal van f(x). f(x).dx = F(x) + c c = integratieconstante

BEPAALDE INTEGRAAL A =  f(xi).x met x  0 A = f(x).dx SOMMEREN=optellen van een EINDIG aantal oppervlakten. INTEGREREN=optellen van een ONEINDIG aantal oppervlakten A =  f(xi).x met x  0 n i=1 we noteren: A = f(x).dx b a

A = f(x).dx = [F(x)] = F(b) – F(a) BEPAALDE INTEGRAAL Hoe berekenen we de bepaalde integraal van f(x)? A = f(x).dx = [F(x)] = F(b) – F(a) b a b a = hoofdstelling van de integraalrekening DUS: we zoeken een primitieve functie F(x) van f(x) en berekenen het verschil van de waarden F(b)-F(a)

f(x).dx + g(x).dx = [f(x)+g(x)].dx BEPAALDE INTEGRAAL SOM- & VEELVOUDREGEL: b a f(x).dx + g(x).dx = [f(x)+g(x)].dx b a b a  (x³-x²).dx + (2-x²).dx = (x³-x²+2-x²).dx 1 r.f(x).dx = r.f(x).dx b a b a  5(x³-1).dx = 5.(x³-1).dx 1

OPPERVLAKTE BEREKENEN we kunnen de oppervlakte tussen de veeltermfunctie en de x-as bepalen door de bepaalde integraal te berekenen, 14,9 MAAR: wanneer de functiewaarden NEGATIEF zijn, is de bepaalde integraal ook NEGATIEF. -14,9

OPPERVLAKTE BEREKENEN er bestaan 2 manieren om de oppervlakte tussen de veeltermfunctie en de x-as te bepalen: we bepalen de nulpunten van de functie en berekenen de bepaalde integraal voor elk interval: A = f(x).dx 4 1 2,41 1 -1,89 = -f(x).dx 4 2,41 4,89 + f(x).dx

OPPERVLAKTE BEREKENEN OF: 2. we gebruiken de a bsolute waarde van de functie: A=  f(x).dx 4 1 4,89 1,89

OPPERVLAKTE BEREKENEN oppervlakte tussen grafieken berekenen: A=  f(x) - g(x).dx b a