Kaleidoscoop Aad Goddijn 1 Cirkels en Hoeken Van Hoeken naar Draaien Liggende Sneeuwman Sneeuwman in de hangmat Oneindig veel stellingen in 2 regels bewijzen.

Kaleidoscoop Aad Goddijn 2 Bekende Stellingen Koordenvierhoek:  X +  Y = 180  Hoeken op vaste boog:  X =  Y Wat een zooitje!

Kaleidoscoop Aad Goddijn 3 S: snijpunt van A- en B-cirkel.  A +  RSP = 180  ;  B +  PSQ = 180   (A + B + C) +  (RSP +PSQ+QSR) = 540    C +  QSR = 180   Cirkel (CRQ) gaat ook door S. ………………………………Maar.. Miquellijn.figMiquellijn.fig Stelling van Miquel ABC, P, Q, R, >>> S !!

Kaleidoscoop Aad Goddijn 4 Op zoek naar een beter soort hoeken!! Experiment: Stelling geldt veel ruimer dan het bewijs suggereert. Gevalsonderscheiding is hopeloze zaak. Unificeer koordenvierhoek en constante hoek op constante boog.

Kaleidoscoop Aad Goddijn 5 A, B vast; X draait linksom AX draait half zo snel als MX AX draait dus even snel als BX draaiAMX.fig

Kaleidoscoop Aad Goddijn 6 Draai-achterstand AX op BX is constant

Kaleidoscoop Aad Goddijn 7 Georiënteerde hoeken (1) De georiënteerde hoek van lijnen l en m is: draaiingshoek (tegenkloks) die l moet maken om evenwijdig aan m te worden. Notatie:  (l, m) (op deze computer) Kenmerken: 1.Rekenen module  2.  (AB, CD ) =  (XB, YD ) voor alle X (  B) op AB en Y (  D) op CD 3.  (l, m) = -  (m, l); Antisymmetrisch! 4.  (l, m) +  (m, n) =  (l, n) (hoekensom) 5.  (l, m) +  (m, n) +  (n, l) = 0 (driehoek!)

Kaleidoscoop Aad Goddijn 8 Georiënteerde hoeken (2) Hoofdstelling: Vier punten A, B, X, Y liggen d.e.s.d. op een ‘cirkel’, als  (XA, XB ) =  (YA, YB ) Praktisch: Vertaal bewijzen die koordenvierhoek of constante hoek gebruiken in  -taal. Resultaat: Kortere bewijzen, algemenere bewijzen zonder gevalsonderscheidingen.

Kaleidoscoop Aad Goddijn 9 S: snijpunt van A- en B-cirkel.  (CR, CQ ) =  (CA, CB ) = =  (CA, AB ) +  (AB, CB ) = =  (AR, AP ) +  (BP, BQ ) = =  (SR, SP ) +  (SP, SQ ) = =  (SR, SQ )  Cirkel (CRQ) gaat ook door S. QED. Waar P, Q, R ook liggen !! Stelling van Miquel (nieuw bewijs) ABC, P, Q, R, >>> S !!

Kaleidoscoop Aad Goddijn 10 Oefening!

Kaleidoscoop Aad Goddijn 11 Idem: Sneeuwman in hangmat

Kaleidoscoop Aad Goddijn 12 Idem: Sneeuwman in hangmat

Kaleidoscoop Aad Goddijn 13 Als in deze configuratie in 7 van de 8 punten drie cirkels elkaar ontmoeten, dan is dat ook zo bij het 8 ste punt. ‘Kubische ligging’ 4 punten op elke cirkel 6 cirkel-lemma

Kaleidoscoop Aad Goddijn 14 Sleep W ver weg Een oude bekende: Miquel

Kaleidoscoop Aad Goddijn 15 Informeel ….. Het 6 cirkellemma geldt ook als een van de acht punten oneindig ver ligt. Lijn = cirkel door oneindig ver Vier punten A, B, X, Y liggen d.e.s.d. op een ‘cirkel’ liggen, als  (XA, XB ) =  (YA, YB ) Werkt ook bij lijnen, eventueel Y oneindig ver.

Kaleidoscoop Aad Goddijn 16 AFSPRAKEN We nemen ÉÉN oneindig ver punt aan boord: W. CIRKEL = gewone cirkel of lijn + W. Hoofdstelling blijft gelden 6 cirkellemma blijft gelden en is de Stelling van Miquel Hoe zien twee CIRKELs eruit die elkaar in W raken?

Kaleidoscoop Aad Goddijn 17 Stereografische projectie Verband tussen vlak (kaart) en bol (globe). De afbeelding P P’ is cirkeltrouw. N correspondeert met het oneindige verre punt van het vlak. Onderbouwt de informele constructie

Kaleidoscoop Aad Goddijn 18 4 lijnen, 4 cirkels, 1 punt extra Miquel4lijn.fig

Kaleidoscoop Aad Goddijn 19 Hetzelfde met cirkels door W (dichtbij)

Kaleidoscoop Aad Goddijn 20 Redt ons, Notatie! Start met één punt W (eventueel oneindig) Vier cirkels C 1, C 2, C 3, C 4 door W. Nieuwe snijpunten S 12, S 13, S 14, S 23, S 24, S 34. C 123 is de cirkel door S 12, S 23, S 31. Evenzo C 124, C 134, C 234. Stelling (4): Deze vier cirkels gaan door één punt: S 1234.

Kaleidoscoop Aad Goddijn 21 Stelling 5 Start met één punt W (eventueel oneindig) Vijf cirkels C 1, C 2, C 3, C 4, C 5 door W. …….. Vijf punten S 1234, S 1235, S 1245, S 1345, S 2345 Stelling (5): Deze vijf punten liggen op een cirkel: C

Kaleidoscoop Aad Goddijn 22

Kaleidoscoop Aad Goddijn 23 Stelling 6 Start met één punt W (eventueel oneindig) Zes cirkels C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 5 door W. …….. Zes cirkels C 12345, C 12346, C 12356, C 12456, C 13456, C Stelling (6): Deze zes cirkels gaan door een punt S

Kaleidoscoop Aad Goddijn 24 Stelling 7 Stelling 8 Stelling 9 …….. …….. …….. ……..

Kaleidoscoop Aad Goddijn 25 Notatieregel S  ligt op C  desd als het index rijtje  precies een element meer of minder heeft als het indexrijtje . Volgorde van indices is irrelevant.

Kaleidoscoop Aad Goddijn 26 Bewijs van stelling 5: 6 cirkel lemma, schematisch, om S 1234, S 1235, S 1245, S 1345 op één cirkel te krijgen Verwissel 1 en 2. Nu ligt S 2345 op de zelfde cirkel!

Kaleidoscoop Aad Goddijn 27 Bewijs van stelling 6: 6 cirkel lemma, schematisch, om C 12456, C 23456, C 13456, door één punt te krijgen Verwissel 3 en 4. Nu gaat C door het zelfde punt. Enzovoort

Kaleidoscoop Aad Goddijn 28 Bewijs van stelling 7 tot  Voeg steeds overal twee nieuwe indices in de bewijzen van 5 en 6 etc. in. Permuteer wat meer. Aldus: Oneindig veel stellingen in 2 regels bewezen !

Kaleidoscoop Aad Goddijn 29 Informatie De stellingserie is afkomstig van William Clifford, Clifford stelde ook dat energie en materie verschillende vormen van kromming van de ruimte zijn. 48 jaar voor de algemene relativiteitstheorie. Andere bewijzen (zelfde notatie!) : Yaglom, I.M.: Complex numbers in geometry. (Vertaling uit het Russisch van E.J.F. Primrose). Academic Press, Nw York and London (1968) Coxeter, H. S. M.: Introduction to geometry. New York (1961).