vwo C Samenvatting Hoofdstuk 13

Lineaire functies y is een lineaire functie van x betekent y = ax + b met a = de grafiek is een lijn door het punt (0, b) met richtingscoëfficiënt (helling) a richtingscoëfficiënt a betekent 1 naar rechts en a omhoog. ∆y yB – yA ∆x xB – xA y ∆y = yB – yA = · B yB ∆y · A yA ∆x O xA xB x ∆x = xB – xA 13.1

Vergelijkingen van de vorm ax + by = c Lineaire vergelijkingen met twee variabelen De algemene vorm van een lineaire vergelijking met de variabelen x en y is ax + by = c. De grafiek van ax + by = c is een rechte lijn. Verticale lijn De lijn l: x = 5 is de vericale lijn door het punt (5, 0). Horizontale lijn De lijn m: y = –3 is de horizontale lijn door het punt (0, –3). 13.1

Rekenregels voor machten 13.2

Exponentiële groei Bij exponentiële groei wordt de hoeveelheid telkens met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Het getal waarmee je per tijdseenheid vermenigvuldigt, heet de groeifactor per tijdseenheid. Bij exponentiële groei hoort de formule N = b · gt . Hierin is b de beginwaarde en g de groeifactor per tijdseenheid. 13.2

Groeifactoren omzetten naar andere tijdseenheden Is de groeifactor per tijdseenheid g, dan is de groeifactor per 3 tijdseenheden g3. Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn. Is de groeifactor 4 per uur dan is per kwartier de groeifactor 40,25 ≈ 1,414 per dag de groeifactor 424 ≈ 2,814 × 1014 13.3

Lineaire en exponentiële groei Bij lineaire groei hoort de formule N = at + b Om a te berekenen gebruik je het verschil van de twee gegeven N-waarden. Bij exponentiële groei hoort de formule N = b · gt Om g te berekenen gebruik je het quotiënt van de twee gegeven N-waarden. 13.3

Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen: glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y x > 0 , g > 0 en g ≠ 0 13.4

De standaardgrafiek y = glog(x) functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies g > 1 0 < g < 1 y y y = x y = x y = 2x 1 y = (½)x 1 x x O O 1 1 y = 2log(x) y = ½log(x) 13.4

voorbeeld          x = 4 y 4 a y = 3log(x) 4 naar rechts 2 omhoog y = 3log(x – 4) + 2 b 3 2  x   1 3 9 1   3log(x) -2 -1 1 2    O 1 2 3 4 5 -1 2 omhoog   4 naar rechts -2   13.4

Rekenregels voor logaritmen Uit gy = x en glog(x) = y volgt gglog(x) = x. glog(a) + glog(b) = glog(ab) glog(a) – glog(b) = glog( ) n · glog(a) = glog(an) glog(a) = a = glog(ga) a = log(10a) Werkschema: het oplossen van logaritmische vergelijkingen Kijk of je kunt toepassen log(x) = y geeft x = 10y. Lukt dat niet, dan Herleid het linker- en rechterlid tot de vorm log(A) = log(B). Gebruik daarna log(A) = log(B) geeft A = B. 13.5

opgave 72 a c b d 13.5

Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. paard = 600 kg. log(600) ≈ 2,8 Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4 log(104) = 4. 13.6

Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · gt. t = 1 en N = 30 voorbeeld Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · gt. t = 1 en N = 30 t = 7 en N = 400 N = b · 1,540t Dus N = 19,5 · 1,540t. 400 g6 dagen = gdag = ≈ 1,540 30 b · 1,5401 = 30 b = 19,5 13.6