havo B Samenvatting Hoofdstuk 12

Voorkennis f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 oude exponent ervoor zetten f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 12.1

Voorkennis werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1 bereken f’(x). 2 los algebraïsch op f’(x) = 0. 3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0 12.1

De productregel 12.1

De ABC-formule ax2 + bx + c = 0 De discriminant D = b2 – 4ac D < 0 geeft geen oplossingen. D = 0 geeft 1 oplossing. D > 0 geeft 2 oplossingen. 12.2

opgave 19 a Stel k : y = ax + b dus Dus 12.2

De kettingregel Kettingregel: De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels De kettingregel Kettingregel: Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie y = f (x) als volgt te werk. Schrijf f als een ketting van twee functies. Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. Druk het product van de afgeleide functies uit in x. 12.3

Sinus, cosinus en tangens y sos cas toa P (xP,yP) PQ OP yP 1 1 1 sin α = = = yP cos α = = = xP tan α = = yP α OQ OP xP 1 x ∟ O xP Q A (1,0) yp xp PQ OQ 12.4

De exacte-waarden-cirkel 12.4

De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x) f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x) g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x) opgave 52a f (x) = cos(2x) Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2x f’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2 f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x) 12.5

j’ opgave 57d j (x) = x + 3 sin2(x) j’ (x) = [x + 3 (sin(x))2]’ j’ (x) = 1 + 3 · 2 sin(x) · cos(x) j’ (x) = 1 + 6 sin(x) · cos(x) j’ 12.5

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum. Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn: Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.6

K r opgave 70 a De inhoud is I = πr2h , dus 500 = πr2h. dus h = De materiaalkosten zijn K = πr2 · 1 + πr2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh . K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr + Voer in y1 = 3πx2 + 4πx + De optie minimum geeft x ≈ 3,5. De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingen r ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm. 500 πr2 onderkant bovenkant rand van deksel mantel 500 πr2 1000 r K b 1000 x 445,1 r 3,5 12.6