Regels bij kansrekeningen aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansdefinitie van Laplace P(G) = Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2). Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 10.1

Voorbeeld somregel 4 2 6 1 4 3 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 6 3 In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood) b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen) 4 2 6 1 4 3 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 6 3 4 1 6 2 . . = + ≈ 0,667 10 3 10 3

De complementregel P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 10.1

Het vaasmodel Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren. 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 . . 8+4+3=15 15 5 10.1

opgave 6 a P(minstens één prijs) = 1 – P(geen prijs) = b P(100 euro) = P(1 × 100) + P(2 × 50) c P(minstens 30 euro) = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – (P(niets) + P(10 euro) + P(20 euro)) ≈ 0,370 ≈ 0,048 ≈ 0,173

Berekeningen met breuken 10.2

opgave 21 a P(minstens 2) = 1 – P(geen of 1) = 1 – P(geen) – P(1) = 1 – 0,788 - · 0,22 · 0,787 ≈ 0,554 b P(zes of zeven) = P(zes) + P(zeven) = · 0,536 · 0,476 + · 0,537 · 0,475 ≈ 0,434 c P(hoogstens 2 zakken) = P(minstens 8 slagen) = P(8) + P(9) + P(10) = · 0,718 · 0,292 + · 0,719 · 0,29 + 0,7110 ≈ 0,410 8 1 12 6 12 7 10 8 10 9

opgave 31 a Als er van de 10 knikkers a rood zijn en de rest zwart, zijn er 10 – a zwarte knikkers. b P(zwarte knikker) = c P(2 zwarte knikkers) =

opgave 32 a P(rr) = b P(zwarte en rode) = P(zr) + P(rz) c Voer in y1 = (17x - 2x2)/66 en maak een tabel. Je ziet dat y1 maximaal 0,545 is voor x = 4. In vaas I zitten dan 4 rode en 7 zwarte knikkers en in vaas II 4 rode en 2 zwarte knikkers.

Er zijn 50 – p witte knikkers opgave 37 In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. a P(rr) = b P(rode en witte) = 2 · P(rw) = c Voer in y1 = (50x – x2)/1225 en maak een tabel. Je ziet dat y1 > 0,5 voor x = 22 tot en met x = 28. Bij x = 22 horen 50 – 22 = 28 witte knikkers en bij x = 28 horen 50 – 28 = 22 witte knikkers. Dus er zitten 22 of 23 of 24 of … of 28 witte knikkers in de vaas. De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. Er zijn 50 – p witte knikkers

Bernoulli-experimenten Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten. De complement-gebeurtenis van succes is mislukking. De kans op succes geven we aan met p. 10.3

Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd X het aantal keer succes p de kans op succes per keer de kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k. n k 10.3

opgave 45 a n = 6 en p = = 0,4 P(X = 4) = · 0,44 · 0,62 ≈ 0,138 b n = 12 en p = = 0,9 P(Y = 10) = · 0,910 · 0,12 ≈ 0,230 6 4 12 10

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 10.3

10.3

voorbeeld a X = het aantal keer minstens vijf ogen. p = P(minstens 5 ogen) = P(X ≤ 10) = binomcdf(15, , 10) ≈ 0,998 b X = het aantal keer meer dan zeven ogen. p = P(meer dan 7 ogen) = p = P(X = 5) = binompdf(18, , 5) ≈ 0,097 som van de ogen 6 7 8 9 10 11 12 5 4 3 2 1

opgave 49 a X = het aantal keer banaan. P(X = 5) = binompdf(10, 0.2, 5) ≈ 0,026 b X = het aantal keer appel. P(X = 3) = binompdf(18, 0.4, 3) ≈ 0,025 c X = het aantal keer appel. P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.4, 2) ≈ 0,004 d X = het aantal keer banaan P(X = 4) = binompdf(5, 0.2, 4) ≈ 0,006

a X = het aantal keer oost. P(in B uitkomen) opgave 53 a X = het aantal keer oost. P(in B uitkomen) = P(X = 2) = binompdf(8, , 2) ≈ 0,260 b P(in C uitkomen) = P(X = 4) = binompdf(8, , 4) ≈ 0,026 c P(via A in B) = P(X = 1) · P(X = 1) = binompdf(5, , 1) · binompdf(3, , 1) ≈ 0,140 d P(ten noorden van de lijn AC) = P(X ≤ 3) = binomcdf(8, , 3) ≈ 0,969 2 1 4 6 4 1 2 4

Werkschema: het maken van opgaven over binomiale kans- experimenten Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 10.4

opgave 60 a X = het aantal keer even. P(X > 10) = 1 – P(X ≤ 10) = 1 – binomcdf(16, ½, 10) ≈ 0,105 b X = het aantal keer 3 ogen. P(X < 2) = P(X ≤ 1) = binomcdf(16, ⅙, 1) ≈ 0,227 c X = het aantal keer 6 ogen P(X = 5) = binompdf(16, ⅙, 5) ≈ 0,076

⅓ haakt voortijdig af dus ⅔ voltooit de studie. opgave 63 ⅓ haakt voortijdig af dus ⅔ voltooit de studie. p = 0,40 a 60% van 120 is 72 X = het aantal dat studie met succes voltooit. P(X > 72) = 1 – P(X ≤ 72) = 1 – binomcdf(120, ⅔, 72) ≈ 0,925 b X = het aantal dat de studie voortijdig staakt. P(X ≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – binomcdf(6, 0.40, 2) ≈ 0,456

Het berekenen van n bij een binomiale verdeling opgave 70 X = het aantal treffers. Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0,9, oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ? TI 1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9 Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4). Maak een tabel en lees af voor n = 17 is y1 ≈ 0,874 voor n = 18 is y1 ≈ 0,906. Dus minstens 18 vrije worpen. Casio 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,1 ? Proberen geeft voor n = 17 is P(X ≤ 4) ≈ 0,126 voor n = 18 is P(X ≤ 4) ≈ 0,094. Dus minstens 18 vrije worpen. 10.4

De binomiale en de normale verdeling combineren opgave 76 a X = het aantal optredens dat langer dan 2 uur duurt. X is binomiaal verdeeld met n = 22 en p = normalcdf(120, 1099, 112, 5) = 0,054… P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – binomcdf(22, 0.054…, 3) ≈ 0,030 b X = het aantal optredens dat korter duurt dan 105 minuten. X is binomiaal verdeeld met n = 120 en p = normalcdf(-1099, 105, 112, 5) = 0,080… Je verwacht dat er 120 · 0,080… ≈ 10 optredens korter duren dan een uur en drie kwartier.

Stel de kansverdeling van X op. Werkschema: het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X Stel de kansverdeling van X op. Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. Tel de uitkomsten op. De som is E(X). Dus E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn). 10.5

De winstverwachting is - € 1,20 per lot. opgave 79 a W = uitbetaling - 2 E(W) = -2 · 0,96 + 8 · 0,03 + 48 · 0,01 = -1,20 De winstverwachting is - € 1,20 per lot. b Een lot moet dan 2 – 1,20 = € 0,80 kosten. w -2 8 48 P(W = w) 0,96 0,03 0,01 1 keer eerste prijs van de 100 4 prijzen, 96 keer niet prijs van de 100 3 keer tweede prijs van de 100

opgave 85 a P(13 euro terugbetalen) = P(twee van de drie dagen slecht weer) = 3 · 0,42 · 0,6 = 0,288 b P(niets terugbetalen) = 0,63 = 0,216 P(6,50 euro terugbetalen) = 3 · 0,4 · 0,62 = 0,432 P(19,50 euro terugbetalen) = 0,43 = 0,064 V = de verdienste per kaart = 20 - terugbetaling E(V) = 20 · 0,216 + 13,50 · 0,432 + 7 · 0,288 + 0,50 · 0,064 = 12,20 De eigenaar verdient naar verwachting 228 · 12,20 = 2781,60 euro. v 20 13,50 7 0,50 P(V = v) 0,216 0,432 0,288 0,064

De standaardafwijking van een toevalsvariabele 10.5

De somregel voor de standaardafwijking Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt de somregel voor de standaardafwijking σx+ y = √ σ2x + σ2y VAR(X) = σ2x (de variantie van X) σ2x+ y = σ2x + σ2y dus VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) 10.5