Stijgen en dalen constante stijging toenemende stijging afnemende stijging constante daling toenemende daling afnemende daling 3.1

Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram 1 kies een stapgrootte 2 bereken voor elke stap de toename of afname 3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4 teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 3.1

. . . . . voorbeeld ∆x = 1 [-1,0] [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] ∆y 4 2 0,5 Teken het toenamendiagram van onderstaand figuur met ∆x = 1. ∆y 4 2 0,5 -0,5 2 . . y 4 . 3 . 2 1 x Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. -1 1 2 3 4 -1 3.1

· · rechts ∆x omhoog ∆y Richtingscoëfficiënt of helling van de lijn AB yB yB – yA = ∆y dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x xA xB x xB – xA = ∆x 3.2

. . Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is y B yB ∆y f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x x xA a ∆x b xB differentiequotiënt is ∆y : ∆x is de gemiddelde toename van y op [xA,xB] is r.c. of hellingsgetal van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 3.2

Gemiddelde snelheid In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t. Bij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotiënt van s op [a,b] de gemiddelde snelheid op [a,b]. De gemiddelde snelheid is ∆s : ∆t. 3.2

y x opgave 19 a voer in y1 = x³ - 3x + 5 b gemiddelde toename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 c differentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = 4 - -2 = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 d hellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) = 3 - -13 = 16 ∆x = 1 - -3 = 4 r.c. = ∆y : ∆x = 16 : 4 = 4 B(1,3) en r.c = 4 invullen geeft y = 4x - 1 f x y = ax + b xB = 1 , yB = 3 en a = 4 invullen 3 = 4 · 1 + b 3 = 4 + b b = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval. [a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 De gemiddelde snelheid = ∆s : ∆t. 3.3

. . . . . Snelheid en richtingscoëfficiënt s 25 B2 B1 B3 20 B4 A 15 10 Hoe dichter Bn bij A komt te liggen, hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . Snelheid en richtingscoëfficiënt . . tijd-afstand grafiek s = -t² + 10t a de gemiddelde snelheid op [2,5] ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. s 25 B2 B1 B3 = = 3 m/s 20 B4 = = 4 m/s A 15 = = 5 m/s Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. = = 5,5 m/s 10 k De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. 5 t 1 2 3 4 5 3.3

opgave 24 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 3 op [3 ; 3,01] ∆s 0,4 . 3,01² - 0,4 . 3² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 3 is 2,40 m/s = = 2,404 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden

de GR bezit een optie om dydx te berekenen dydx voor x is xA y Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : k [ ] dy dx de GR bezit een optie om dydx te berekenen A x=xA rc. van de raaklijn van de grafiek in A helling van de grafiek in A snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 3.3

· [ ] [ ] B opgave 29 a voer in y1 = -x2 – 2x + 8 = 2 dy dx dus de r.c. = 2 b B(0, 8)  xB = 0 = -2 l : y = -2x + b B(0, 8) y = -2x + 8 [ ] dy dx x=-2 [ ] dy dx x=0 8 = -2 · 0 + b b = 8

· · [ ] [ ] P Q opgave 29 c f snijdt de x-as in P en Q lijn m raakt de grafiek in P = 6 y = 6x + b P(-4, 0) y = 6x + 24 lijn n raakt de grafiek in Q = -6 y = -6x + b Q(2, 0) y = -6x + 12 6x + 24 = -6x + 12 6x + 6x = -24 + 12 12x = -12  x = -1 [ ] dy dx x=-4 0 = 6 · -4 + b b = 24 [ ] dy dx x=2 · Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen. 0 = 2 · -6 + b b = 12 · P Q x = -1 invullen y = 6 · -1 + 24 = 18 snijpunt (-1, 18)

· · R T opgave 29 d ∆x = 6 ∆y = -12 r.c. = ∆y : ∆x r.c. = -12 : 6

Hellinggrafieken y top stijgend dalend stijgend x O top helling x O top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as Hellinggrafieken top Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend x O top stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as helling overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt pos. pos. x O laagste punt 3.4

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie. voorbeeld Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie. top y top x O top top

Hellinggrafiek plotten m.b.v. GR TI  MATH – MATH - menu optie nDeriv Casio  OPTN – CALC – menu optie d/dx vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) 3.4

De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie. i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt notatie : f’ (f-accent) De afgeleide van een functie f geeft voor elke x : - de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt - de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt 3.4

y y f(x+h) f(x+h) f(x) f(x) x x x x+h x x+h O O Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het differentiecoëfficiënt van f(x) op het interval [ x, x + h ] , dus naar ∆y ∆x f(x + h) – f(x) f(x + h) – f(x) = = x + h - x h Neem je op het interval [ x,x + h ] de waarde van h heel klein, dan geeft f(x + h) – f(x) een goede benadering van de r.c. van de raaklijn van de grafiek van f in het bijbehorende punt. h y y f(x+h) f(x+h) – f(x) f(x+h) f(x+h) – f(x) f(x) h klein f(x) h h x x x x+h x x+h O O f(x + h) – f(x) de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide f’(x) h de definitie van de afgeleide f’ van een functie f is f(x + h) – f(x) f’(x) = lim h h  0 3.4

Voorbeeld limietstelling. Neem de functie :

Differentiëren regels voor het differentiëren: f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = axn geeft f’(x) = n · axn-1 voor n = 2,3,… f(x) = c · g(x) geeft f’(x) = c · g’(x) f(x) = g(x) + h(x) geeft f’(x) = g’(x) + h’(x) somregel 3.4

De afgeleide van f(x) = axn oude exponent ervoor zetten f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 3.4

opgave 47c h(x) = 5(x – 3)² + 5(2x – 1) h(x) = 5(x – 3)(x – 3) + 10x – 5 h(x) = 5(x² - 6x + 9) + 10x - 5 h(x) = 5x² - 30x + 45 + 10x - 5 h(x) = 5x² - 20x + 40 h’(x) = 2 · 5x – 20 h’(x) = 10x - 20

opgave 47d k(x) = -3(x – 1)(5 – 9x) – 8(x – 7) k(x) = -3(5x – 9x² - 5 + 9x) – 8x + 56 k(x) = -15x + 27x² + 15 – 27x – 8x + 56 k(x) = 27x² - 50x + 71 k’(x) = 2 · 27x – 50 k’(x) = 54x - 50

opgave 48a f(x) = (3x – 1)(x2 + 5x) f(x) = 3x3 + 15x2 – 1x2 – 5x f(x) = 3x3 + 14x2 – 5x f’(x) = 3 · 3x2 + 2 · 14x – 5 f’(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48d f(x) = 5 - 3(x4 – x)(x + 1) f(x) = 5 – 3(x5 + x4 - x2 – x) f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x f’(x) = 5 · -3x4 - 4 · 3x3 + 2 · 3x + 3 f’(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleide y f k A x O Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)). y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 3.5

opgave 50 a f(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2 f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x f’(x) = 1,5x2 – 4x stel k : y = ax + b xA = 4 a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8 dit geeft k : y = 8x + b y = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2 dus k : y = 8x - 30 2 = 8 · 4 + b 2 = 32 + b b = -30

opgave 50 b stel m : y = ax + b xB = -2 a = f’(-2) = 1,5 · (-2)2 – 4 · -2 = 14 dit geeft m : y = 14x + b y = f(-2) = 0,5 · (-2)3 – 2 · (-2)2 + 2 = -10 dus m : y = 14x + 6 -10 = 8 · -2 + b -10 = -16 + b b = 6

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient Teken f(x) = x² - 3x + 1 Teken enkele lijnen met rc = 2 Eén van de lijnen raakt de grafiek het raakpunt is B. Bereken de coördinaten van B. rc = 2 dus f’(xB) = 2 xB berekenen f’(x) = 2 oplossen f’(x) = 2x – 3 f’(x) = 2 xB = 2,5 yB = f(2,5) = -0,25 B(2,5; -0,25) y 4 3 2 2x – 3 = 2 2x = 5 x = 2,5 1 x ● -1 1 2 3 4 B -1 3.5

y 4 3 2 1 A x -1 1 2 3 4 -1 opgave 54 f(x) = -x² + 2x + 3 a rcraaklijn = 4 dus f’(x) = 4 f’(x) = -2x + 2 xA = -1 yA = f(-1) = 0 A(-1, 0) b l : y = -6x + 8 rcraaklijn = -6 dus f’(xB) = -6 xB = 4 yB = f(4) = -5 B(4, -5) y 4 f -2x + 2 = 4 -2x = 2 x = -1 3 Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde r.c. k 2 l 1 -2x + 2 = -6 -2x = -8 x = 4 A x ● -1 1 2 3 4 -1

Snelheid en afgeleide y A x O De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a, f(a)). rc = snelheid = f’(a) Je berekent de snelheid dus met de afgeleide f’(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a. y A f(a) rc = f’(a) x O a 3.5