Opfriscursus Wiskunde september 2011 C. Biront – A. Gheysen – A. Laeremans –R. Stevens

Data maandag 12/09/2011 dinsdag 13/09/2011 woensdag 14/09/2011 donderdag 15/09/2011 vrijdag 16/09/2011 Dinsdag 20/09/2011 test

Tijd telkens van 9u tot 13u (met pauze) per les +/- 2u thuis oefeningen maken ruime herhaling ter voorbereiding test

Cursusmateriaal handouts van PPT-presentatie - notities uit de les samenvatting onderwerp van de dag elke dag oefeningen + oplossingen volledige PPT-presentatie op www.hubrussel.net/opfriscursus verwijzingen naar handboeken Wiskundige Begrippen en Methoden deel 1 en 2 (C. Biront en J. Deprez) Supplement bij Wiskundige Begrippen en Methoden deel 1 (C. Biront en J. Deprez) VRIJBLIJVEND (niet strikt noodzakelijk)

Facultatief: bijkomend materiaal Basisboek Wiskunde (Jan van de Craats – Rob Bosch) http://www.mathcentre.ac.uk/ http://www.khanacademy.org/ http://wiskunde.starttips.com/ www.purplemath.com/modules/index.htm

Test Di 20/09/2011 mondeling met uitgebreide schriftelijke voorbereiding uitsluitend oefeningen: rekenen + interpretatie! formularium: 1A4-blad (langs beide zijden) inschrijven vierde les

Eerstegraadsfuncties

Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? (1) Vertrekgeld: 5 euro Kmprijs: 2 euro Kostprijs rit van 7 km? Dit is de meest eenvoudige situatie bij taxi’s. In de praktijk hangt de prijs soms ook nog af van andere factoren: aantal reizigers, wachtgeld (b.v. bij stilstaan in file), binnen of buiten een bepaalde zone, …

Kostprijs van een taxirittaxirit bij taxibedrijf A? (2) Vertrekgeld: 5 euro Kmprijs: 2 euro Kostprijs y van een rit van x km?

Benamingen x (lengte rit) en y (prijs rit): VERANDERLIJKEN y hangt af van x: y is FUNCTIE van x, notatie: y(x) y: AFHANKELIJKE VERANDERLIJKE x: ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE formule y = 5 + 2x: VERGELIJKING (VOORSCHRIFT) VAN DE FUNCTIE De uitdrukking “is functie van” is in de natuurlijke taal niet zo gebruikelijk. Misschien in een zin zoals “het loon is functie van het aantal dienstjaren”? Bij “vergelijking” hier NIET denken aan een onbekende die gezocht moet worden!

Vorm van de vergelijking y = 5 + 2x VAST GEDEELTE + VARIABEL GEDEELTE VAST GEDEELTE + VEELVOUD ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE VAST GEDEELTE + GEDEELTE EVENREDIG MET ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE Wijzen op begrippen vaste kosten, variabele kosten en marginale kosten. Betekenis evenredig benadrukken!

Kostprijs taxirit taxibedrijven B,C,..? y = 4.50 + 2.10x; y = 5.20 + 1.90x; enz. … Algemeen: y = vast vertrekgeld + kmprijs  x y = q + m x y = m x + q EERSTEGRAADSFUNCTIE! (toepassingen: lineaire functie genoemd) Parameters zijn in feite ook wel “veranderlijken” …! Let op: m en q VAST (per bedrijf): parameters! x en y: VERANDERLIJKEN!

ANDERE SITUATIES waarbij ook nog eerstegraadsfuncties ontstaan? Kostprijs y om auto van 20 000 euro aan te kopen en daarmee x km rijden als de kosten 0.8 euro per km bedragen? y = 20 000 + 0.8x m.a.w. … y = mx + q! Totale productiekosten TK om q eenheden te produceren als FK = 3 en de productiekost per eenheid 0.2 is? TK = 3 + 0.2q m.a.w. y = mx + q! FK zijn de vaste kosten, de kosten die er zijn als nog niets geproduceerd wordt.

Situaties waarbij functie GEEN EERSTEGRAADSFUNCTIE is? Crashen met de taxi aan 100 km/h is VEEL dodelijker dan bij 50 km/h omdat de energie E evenredig is met het KWADRAAT van de snelheid v. Voor taxi van 980 kg: E = 490v² d.i. NIET van de vorm y = mx + q en dus GEEN eerstegraadsfunctie!

Betekenis van de parameter q in de vergelijking Taxibedrijf A: y = 2x + 5. Hier is q = 5: de vertrekprijs. q kan opgevat worden als DE WAARDE VAN y ALS x = 0. Grafische betekenis q

Betekenis m in de vergelijking Taxibedrijf A: y = 2x + 5, m = 2: de kmprijs. m is DE VERANDERING VAN y ALS x TOENEEMT MET 1. Als x toeneemt met b.v. 3 (rit is 3 km langer) zal y toenemen met 2  3 = 6 (we moeten 6 euro meer betalen). In wiskundige notatie: als x = 3 dan y = 2  3 = m  x. Altijd geldt: y = mx (TOENAMEFORMULE). Grafische betekenis m Gevolg:

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (1) Eerste manier: Meest geconcentreerde vorm! Met de VERGELIJKING, b.v. y = 2x + 5.

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (2) Tweede manier: Meest concrete vorm! Met een TABEL, b.v. voor y = 2x + 5: x y 5 1 7 2 9 …

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (3) Derde manier: Meest visuele vorm! Met de GRAFIEK, b.v. voor y = 2x + 5: In wiskunde zetten we bij een grafiek altijd de onafhankelijke veranderlijke op de horizontale as en de afhankelijke op de verticale as. In economie is het soms anders. In het taxivoorbeeld zijn alleen de positieve waarden van x en y zinvol! Bij eerstegraadsfuncties is de grafiek altijd een rechte! De grafiek is EEN (deel van een) RECHTE!

Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (1) Bij de prijsberekening voor taxibedrijf A ontstond een eerstegraadsfunctie, nl. y = 2x + 5. Maar wat is nu PRECIES die eerstegraadsfunctie? … x? … y? … x en y? de vergelijking? …? Eén wiskundige opvatting is de volgende: DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5” FUNCTIE = “MACHINE”! http://www.ies.co.jp/math/java/geo/linf/linf.htm We kunnen het begrip functie op verschillende manieren definiëren. We houden het nu bij deze visie.

Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (2) DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5” Die “regel” (de eigenlijke eerstegraadsfunctie!) stellen we voor door nog een andere letter, b.v. f. Die “regel” (de eigenlijke eerstegraadsfunctie!) toepassen op x noteren we als f(x). In dit geval: f(x) = 2x + 5. We hadden eerst y = 2x + 5 en nu dus ook y = f(x).

Algemeen Eerstegraadsfunctie f: “regel” die een getal x omzet in het getal f(x) (dikwijls als y genoteerd) zo dat f(x) = mx + q (en dus ook y = mx + q) waarbij m  0 (!!) De grafiek is altijd een schuine (!!) rechte. Betekenis parameter q: q = f(0) Betekenis parameter m: Strikt genomen mag m niet nul zijn. Als m nul is hebben we een constante functie. In de praktijk zijn we daarin soms wat slordig.

Grafische betekenis parameter q q in het voorbeeld van taxibedrijf A Algemeen: q geeft aan waar de grafiek de Y-as snijdt: Y-INTERCEPT

Grafische betekenis parameter m (1) m in het voorbeeld van taxibedrijf A als x met 1 eenheid toeneemt, neemt y met m eenheden toe m is de HELLING of de RICHTINGSCOËFFICIËNT

Grafische betekenis parameter m (2) teken van m bepaalt of rechte naar onder/horizontaal/boven loopt of eerstegraadsfunctie dalend/constant(!!)/stijgend is grootte van m bepaalt hoe steil de rechte is Wijzen op de rol van de keuze van de eenheden op de assen!

Grafische betekenis parameter m (3) als x met x eenheden toeneemt, neemt y met mx eenheden toe Toenameformule:

Grafische betekenis van de parameters m en q We zien deze betekenis duidelijk hier … http://www.home.zonnet.nl/lauwen37/applets/Rechtelijn/RechteLijn.html Of hier… http://www.rfbarrow.btinternet.co.uk/htmks3/Linear1.htm http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap7/7.5/index.htm

Oefeningen oefening 1 oefening 2 (alleen aangeduide punten mogen gebruikt worden!) Figuur 2 voor E: evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt!

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (1) Kapitaal van 10 000 euro volledig beleggen in bepaald aandelenfonds en bepaald obligatiefonds aandelenfonds: 80 euro per deelbewijs obligatiefonds: 250 euro per deelbewijs Hoeveel van elk zijn mogelijk met het gegeven kapitaal? Noem het aantal deelbewijzen respectievelijk qA en qO. Dan moet gelden: 80qA + 250qO = 10 000

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (2) Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000 Er zijn oneindig veel mogelijkheden voor qA en qO b.v.: qA = 0, qO = 40; qA = 125, qO = 0; qA = 100, qO = 8 enz. … Niet alle combinaties zijn mogelijk! Er is een verband, EEN RELATIE, tussen qA en qO.

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (3) Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000 We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen qA en qO duidelijker, EXPLICIETER, uitdrukken: qA afhankelijke, qO onafhankelijke veranderlijke, verband is van de vorm y = mx + q dus EERSTEGRAADSFUNCTIE!

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (4) Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000 We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen qA en qO duidelijker, EXPLICIETER, ook als volgt uitdrukken: Nu is qO afhankelijke, qA onafhankelijke veranderlijke, verband is weer van de vorm y = mx + q dus ook EERSTEGRAADSFUNCTIE!

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (5) Verband, RELATIE, tussen qA en qO: 80qA + 250qO = 10 000: IMPLICIETE vergelijking beide veranderlijken in één lid, vorm ax + by + c = 0 qO = 40  0.32qA: EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q qA = 125  3.125qO: EXPLICIETE vergelijking

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (6) DE RELATIE tussen qA en qO komt in dit geval overeen met een EERSTEGRAADSFUNCTIE (twee keuzen!) en kan dus (op twee manieren!) grafisch voorgesteld worden door EEN DEEL VAN EEN RECHTE (LIJNSTUK):

Vergelijkingen van rechten (1) De grafiek van een eerstegraadsfunctie f met vergelijking y = mx + q is EEN RECHTE. Een vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 met b  0 bepaalt een eerstegraadsfunctie en is dus ook de vergelijking van een rechte. (Om y te kunnen isoleren moet GEDEELD worden door b, daarom moet b  0!) Elke vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 WAARBIJ a EN b NIET TEZAMEN NUL ZIJN bepaalt een rechte! Zie oefening 5.

Vergelijkingen van rechten (2) Richtingscoëfficiënt van een rechte met twee gegeven punten:

Vergelijkingen van rechten (3) rechte door een gegeven punt met een gegeven richtingscoëfficiënt: rechte door punt (x0, y0) met rico m heeft vergelijking evenwijdige rechten: gelijke rico’s onderling loodrechte rechten: product van de rico’s is –1 oefeningen 3 en 4

Oefeningen (1) oefening 7 werkwijze: snijpunt f en g zoeken via f(x) = g(x) controleren of dit punt op de grafiek van h ligt oefening 8 (a) y oplossen uit eerste vergelijking (*) en invullen in tweede vergelijking; daaruit dan x oplossen; invullen in (*)

Oefeningen (2) oefening 9 (a), (b), (c), (i), (e), (d) oefening 14 Figuur 14 (a) Figuur 14 (b) enz. WISKUNDE LEREN = ZELF VEEL OEFENINGEN MAKEN, FOUTEN BEGRIJPEN EN DE OEFENINGEN CORRECT OPNIEUW MAKEN

Oefening 2 Terug

Oefening 14 (a) Terug

Oefening 14 (b) Terug