2 kN A C E Fs B DH DV Fs·cos 71,6° Fs·sin 71,6° 740 400 280

Tabel steunpuntsreacties 3 onbekenden 1 onbekende inklemming scharnierende staaf, of kabel/ketting steunpunt (poot) op glad oppervlak A A VA Fk VA MA HA rol-oplegging 2 onbekenden scharnier rechtgeleiding A of: B B A VB VB MB VA HB Balktutorial

Wanneer je gevraagd wordt een VLS te tekenen doe je het volgende: Gebruik van de tabel Wanneer je gevraagd wordt een VLS te tekenen doe je het volgende: je laat de ondersteuning of inklemming weg je tekent daarvoor in de plaats de van toepassing zijnde blauwe pijlen De blauwe pijlen stellen de onbekende steunpuntsreacties voor. Dit kunnen reactiekrachten en/of reactiemomenten zijn. Vervolgens stel je de drie evenwichtsvergelijkingen op. Hiermee kun je de onbekende steunpuntsreacties oplossen. Balktutorial

Toelichting inklemming Een inklemming oefent op de balk twee onbekende reactiekrachten en één onbekend reactiemoment uit. Voor het eindresultaat maakt het niet uit: hoe de stand van de balk is; hoe de stand van de pijlen t.o.v. de balk is (zolang ze maar onderling loodrecht zijn) welke richtingen je aanneemt (al bestaat de kans dat achteraf blijkt dat je ze “verkeerd-om” hebt aangenomen); of je de reactiekrachten “trekkend” of “ duwend” tekent. 3 onbekenden inklemming A VA MA HA VA ook goed: MA HA naar tabel Balktutorial

Herkennen van een inklemming In de praktijk kan een inklemming op verschillende manieren zijn uitgevoerd. 1. ingemetseld 2. gelast A A 4. één geheel met weggedacht linkerdeel 3. gelijmd A A naar tabel Balktutorial

Toelichting rol-oplegging 1 1. Een roloplegging oefent op de balk één onbekende reactiekracht uit. 2. Deze reactiekracht staat altijd loodrecht op het oppervlak waarover gerold kan worden. Dus niet de stand van de balk, maar de stand van het roloppervlak is van belang! 3. Een “schuin roloppervlak” oefent dus een “schuine reactiekracht” op de balk uit. Deze kun je het beste gelijk in een horizontale en een verticale component ontbinden. Deze zijn natuurlijk niet onafhankelijk van elkaar, maar componenten van één en dezelfde onbekende reactiekracht. C HC A VA 2 A FA VA HA 3 naar tabel Balktutorial

Toelichting scharnier 1 B HB VB 1. Een scharnierverbinding oefent op een balk een onbekende horizontale reactiekracht en een onbekende verticale reactiekracht uit. 2. De hoek van de balk is niet van belang, de reactiekrachten blijven horizontaal en verticaal. 3. De reactiekrachten werken ook op een balk die met een scharnier aan een andere balk is bevestigd. De werking is vice versa. Wegens actie = reactie zijn de corresponderende krachten even groot en tegengesteld gericht. 2 C HC VC 3 HE VE E HE VE Balktutorial

Toelichting scharnierende staaf (1) Hoe herken je een staaf? Onder een staaf wordt verstaan een constructie-element dat: aan beide uiteinden scharnierend verbonden is, maar niet op plekken tussen scharnierpunten belast wordt, (1b is geen staaf) een element (1c) met een aanzienlijk eigen gewicht mag dus niet als een staaf worden beschouwd. Een kabel of ketting bestaat uit een rij scharnieren en gedraagt zich dus als een scharnierende staaf. 1a 1b 1c m=100 kg/m F=981 N/m 2 Balktutorial

Toelichting scharnierende staaf (2) De reactiekrachten op een staaf: liggen altijd in het verlengde van de staaf, zijn even groot maar tegengesteld gericht – ze moeten immers voor evenwicht zorgen. hetzelfde geldt voor een kabel of ketting, met dien verstande dat op een kabel of ketting alleen trekkrachten kunnen werken – nooit drukkrachten. 1 2 3 Balktutorial

Toelichting steunpunt op glad oppervlak 1 glad HC C Een glad oppervlak (bijv. een gladde muur) oefent op een balk één onbekende reactiekracht uit. Een glad steunpunt gedraagt zich in feite hetzelfde als een rol-oplegging. De reactiekracht staat altijd loodrecht op het gladde oppervlak. Dus niet de stand van de balk, maar de stand van het gladde oppervlak is van belang! Een schuine reactiekracht kun je het beste in loodrechte componenten ontbinden. 2 A glad VA 3 A glad VA FA naar tabel HA Balktutorial

Toelichting rechtgeleiding 1 Op een staaf in een rechtgeleiding worden een onbekend reactiemoment en een onbekende reactiekracht uitgeoefend. De onbekende reactiekracht staat loodrecht op de geleidingsrichting. Wanneer de geleidingsrichting niet horizontaal of verticaal is, zal er een “schuine reactiekracht” optreden. Deze kun je het beste in een horizontale en een verticale component ontbinden. Deze componenten zijn uiteraard van elkaar afhankelijk. B MB VB 2 A VA FA HA MA Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. opgave 1 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. maten in m 9 kN 3,6 kN A B 1,8 kN 3,6 kN 0,4 0,4 0,2 0,4 0,4 Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op de volgende balk. opgave 1 Bepaal de steunpuntskrachten op de volgende balk. maten in m Gebruikte symbolen: is een roloplegging, een scharnier dat gedragen wordt door een karretje. Het karretje wordt geacht niet los te kunnen komen van het vlak waar het op staat. is een scharnierende oplegging. 9 kN 3,6 kN A B 1,8 kN 3,6 kN 0,4 0,4 0,2 0,4 0,4 Stap 1: Teken het VLS. Teken de balk los van zijn omgeving. Vervang de steunpunten door de bijbehorende onbekende steunpuntsreacties. Welke dat zijn, vind je in de tabel. 9 kN VA 3,6 kN VB A B HB 1,8 kN 3,6 kN Balktutorial

Stap 2: Stel de vergelijkingen voor krachtenevenwicht op. opgave 1 Stap 2: Stel de vergelijkingen voor krachtenevenwicht op. Reken alle naar boven en naar rechts gerichte krachten positief. Reken alle naar onderen en links gerichte krachten negatief. maten in m 9 kN VA 3,6 kN VB A B HB 1,8 kN 3,6 kN 0,4 0,4 0,2 0,4 0,4 omrekenen naar Stap 3: Stel de vergelijkingen voor momentevenwicht op. Kies een punt ten opzichte waarvan de krachten voor momentevenwicht moeten zorgen. In dit geval is het handig om dit t.o.v. punt A te doen. Bereken de afstanden van de werklijnen tot A. 0,4 0,8 1,0 1,4 1,8 Balktutorial

opgave 1 (vervolg stap 3) maten in m Werkwijze: 9 kN VA 3,6 kN VB A B HB 1,8 kN 3,6 kN 0,4 Werkwijze: We rekenen alle momenten linksom positief. Een momentenvergelijking heeft altijd de volgende vorm: Hierin zijn , , enz. alle krachten (inclusief onbekende steunpuntsreacties) die in het VLS voorkomen. Krachten waarvan de arm gelijk is aan nul mag je natuurlijk gelijk weglaten. In deze opgave zijn dat VA en HB. 0,8 1,0 1,4 1,8 Balktutorial

(overgenomen van vorige slide) opgave 1 (overgenomen van vorige slide) maten in m 9 kN VA 3,6 kN VB A B HB Vereenvoudiging levert: 1,8 kN 3,6 kN 0,4 0,8 Eerder vonden we: 1,0 1,4 1,8 Dus: Nu zijn alle drie de steunpuntsreacties bekend. We hebben dus aan de opdracht voldaan. Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. opgave 2 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. maten in m 20 kN 6 kN 4 kN A Gebruikte symbolen: betekent dat de balk scharnierend wordt ondersteund. De balk zélf is één geheel en bevat geen scharnier! B 4 kN 0,2 0,2 0,1 0,1 0,4 Balktutorial

Verder rekenen we de maten weer om, zodat ze beginnen bij punt A. opgave 2 We beginnen weer met het tekenen van een VLS. Vervang de ondersteuningen door de juiste onbekende steunpuntskrachten met behulp van de tabel. We nemen voor de verandering nu eens aan dat reactiekracht VA naar beneden gericht is. Uit de berekening moet blijken of deze aanname juist is. Verder rekenen we de maten weer om, zodat ze beginnen bij punt A. maten in m 20 kN 6 kN 4 kN A B HB VA 4 kN VB 0,2 0,2 0,1 0,1 0,4 omrekenen naar Vuistregels Als punt ten opzichte waarvan je de momenten berekend kun je het beste kiezen: Het punt waar (de werklijnen van) zoveel mogelijk onbekende reactiekrachten door gaan; Als er meerdere punten voldoen aan vuistregel (1), kies hieruit dan het punt waardoor daarnaast nog zoveel mogelijk bekende krachten gaan. 0,2 0,2 0,3 0,4 0,8 Balktutorial

We stellen de drie evenwichtsvergelijkingen op: opgave 2 We stellen de drie evenwichtsvergelijkingen op: maten in m 20 kN 6 kN 4 kN A B HB VA 4 kN VB 0,2 0,3 0,4 0,8 Het minteken wijst er op dat we VA “verkeerd-om” hebben aangenomen. De kracht zal dus naar boven zijn gericht, i.p.v. naar onderen. Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. opgave 3 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. q = 8 kN/m Toelichting op de belasting In deze opgave komt een gelijkmatig verdeelde belasting q voor. In de praktijk kan deze veroorzaakt worden door bijv. een laag sneeuw, maar ook door het eigen gewicht van een constructie-element. De grootte van een gelijkmatig verdeelde belasting wordt uitgedrukt in N/m of kN/m. Dit laatste staat voor “kN per strekkende meter”. Voor een berekening van steunpuntskrachten mag de verdeelde belasting worden vervangen door een normale kracht (een “puntlast”). De grootte van deze puntlast is q·L, waarin q de belasting per meter is en L de lengte waarover de belasting werkt. De vervangende puntlast grijpt aan op de helft van de lengte L. B A 10 kN 1 2,5 Balktutorial

De gevonden puntlast grijpt halverwege het “pijlenblok” aan. opgave 3 De eerste stap in dit soort opgaven is om de verdeelde belasting te vervangen door een equivalente (gelijkwaardige) puntlast. q = 8 kN/m B A 10 kN De gevonden puntlast grijpt halverwege het “pijlenblok” aan. 1 L=2,5 1,25 F=20 kN We berekenen verder de afstanden van de krachten tot de inklemming. B A 10 kN 2,25 3,5 Balktutorial

opgave 3 Vervolgens vervangen we inklemming door de bijbehorende reactiekrachten en het bijbehorende reactiekoppel. (zie de tabel) F=20 kN VA B MA HA We komen nu weer op bekend terrein. De volgende stap bestaat uit het opstellen van de drie evenwichtsvergelijkingen. 10 kN 2,25 3,5 Balktutorial

Geldt hier ook zoiets als “kracht x arm”? opgave 3 Bij het opstellen van de momentvergelijking rijst de vraag hoe we het moment van het reactiekoppel MA in rekening moeten brengen. Geldt hier ook zoiets als “kracht x arm”? We moeten ons hier realiseren dat de draaipijl hier in feite staat voor twee krachten die even groot, parallel en tegengesteld gericht zijn. Een koppel bestaande uit twee krachten F heeft een moment gelijk aan F maal de onderlinge afstand. Bij het opstellen van de momentvergelijking zijn we alleen geïnteresseerd in momenten van krachten en momenten van koppels. Bij momenten van krachten moeten we elke keer “kracht x arm” berekenen. Bij momenten van koppels is dat al gebeurd, en het boeit verder weinig of een koppelmoment van 8 Nm nu ontstaan is door twee krachten van 4 N op 2 meter afstand, of door twee krachten van 20 N op 0,4 m afstand. F=20 kN VA B MA HA 10 kN 2,25 3,5 4 N 20 N 2 m 0,4 m 20 N 4 N Balktutorial

Zie hiervoor verder de theorieslides van les 1. opgave 3 We nemen het koppelmoment dus gewoon als getalletje (of onbekende MA, zoals hier) op in de vergelijking. Rest nog de vraag of de plaats waar het koppel aangrijpt nog iets uitmaakt. Het antwoord is nee! Zie hiervoor verder de theorieslides van les 1. F=20 kN VA B MA HA 10 kN 2,25 3,5 Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. opgave 4 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. maten in m 10 kN 40 kN/m A B 0,4 0,2 0,2 Balktutorial

opgave 4 Ook hier moeten we de verdeelde belasting eerst vervangen door een equivalente puntlast. Deze grijpt aan halverwege het pijlenblok, dus op 0,2 m rechts van A. maten in m 10 kN 40 kN/m A B 0,4 0,2 0,2 16 kN 10 kN VA VB A HB 0,2 0,6 0,8 Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. opgave 5 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. maten in m 9 kN 9 kNm 6 kN/m A B 0,4 0,4 1,0 Balktutorial

opgave 5 Deze opgave behandelen we op dezelfde manier als opgave 4. Eerst vervangen we de verdeelde belasting weer door een equivalente puntlast. maten in m 9 kN 9 kNm 6 kN/m A B 0,4 0,4 1,0 9 kN 9 kNm HB VA VB 10,8 kN 0,8* 0,4 0,9 1,8 * De maat 0,8 geeft de plaats aan waar het koppel van 9 kNm aangrijpt. Deze maat is feitelijk onnodig. We gebruiken hem niet. Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. opgave 6 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. maten in m 10 kN 40 kN/m A B 5 kN 5 kN 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1 Balktutorial

opgave 6 maten in m 10 kN 40 kN/m A B 5 kN 5 kN 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1 HB 5 kN 5 kN VA VB 0,1 0,2 0,6 0,9 0,8 Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. opgave 7 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. 9 kN/m 3 kN/m A B 3,0 Balktutorial

opgave 7 Hier zien we een verdeelde belasting die niet gelijkmatig is. De belasting verloopt van links 3 kN/m tot rechts 9 kN/m. We kunnen deze belasting splitsen in een rechthoekig en een driehoekig deel. Deze zijn als het ware op elkaar geplaatst, ofwel “gesuperponeerd”. Het driehoekige deel, dat verloopt van 0 kN/m tot 6 kN/m, is gesuperponeerd op een rechthoekig deel met een constante belasting van 3 kN/m. We bepalen nu de equivalente puntbelastingen van het rechthoekige en het driehoekige deel. 9 kN/m 3 kN/m A B 6 kN/m 3 kN/m A B Balktutorial

opgave 7 Driehoekig deel: De puntbelasting komt overeen met de oppervlakte van de driehoek, in formulevorm: 6 kN/m 3 kN/m A B Deze puntlast grijpt aan op 1/3 L vanaf punt B, dus op 1 m links van punt B. Dit punt komt overeen met het zwaartepunt van een driehoek, dat op 1/3 van de hoogte ligt (waarbij we ons hoof even een kwartslag moeten draaien!) 6 kN/m A B is equivalent met A B 9 kN 1,0 3,0 Balktutorial

opgave 7 Rechthoekig deel: De puntbelasting komt overeen met de oppervlakte van de rechthoek, in formulevorm: 6 kN/m 3 kN/m A B Deze puntlast grijpt aan op de helft van het blok met pijlen, zoals we al eerder zagen. 3 kN/m A B is equivalent met A B 9 kN 1,5 3,0 Balktutorial

opgave 7 6 kN/m A B Na superpositie (“op-elkaar-plaatsing”) ontstaat een balk belast met de twee gevonden equivalente puntlasten. plus: 3 kN/m A B superpositie levert A B 9 kN 9 kN 1,5 2,0 3,0 Balktutorial

We lossen deze opgave verder op de bekende manier op. HB 9 kN 9 kN VA VB 1,5 2,0 3,0 Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. opgave 8 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk. 6 kN/m A B 0,2 0,8 9 kN Balktutorial

We berekenen eerst de equivalente puntlast. opgave 8 We berekenen eerst de equivalente puntlast. 6 kN/m Deze grijpt aan op 0,33 m afstand van punt C. Vervolgens tekenen we het VLS en stellen de evenwichtsvergelijkingen op. A B 0,2 0,8 3 kN B A HB VC VB 0,467 0,8 Balktutorial

Bepaal de steunpuntskrachten op de giek van de kraan. opgave 9 Opdracht: Bepaal de steunpuntskrachten op de giek van de kraan. 15° 30° 40 kN 60° Balktutorial

opgave 9 We berekenen eerst de equivalente puntlast, als gevolg van het eigen gewicht van de verdeelde gewichtsbelasting. 15° 30° 40 kN 40 kN 7,5 kN 60° 60° Balktutorial

opgave 9 We halen de constructie uit elkaar door hem te tekenen als twee VLS’en. Daarbij vormt de giek een apart VLS. De kabel en de giek oefenen reactiekrachten op elkaar uit die gelijk zijn qua grootte maar tegengesteld gericht. Een kabelkracht is (zie tabel) altijd gericht in de richting van de kabel. Let op: de giek wordt tussen zijn scharnieren belast (nl. door zijn eigen gewicht) en voldoet niet aan de criteria van een staaf. De reactiekracht in het onderste scharnier hoeft dus niet per se de richting van de giek te volgen, zoals de kabelkracht dat wel doet! 60° 30° 15° 40 kN 7,5 kN Balktutorial

opgave 9 In de volgende stap schematiseren we de giek tot een lijn en voegen twee onafhankelijke scharnierkrachten (zie tabel) toe aan het onderste scharnier. De hijsstang heeft zelf geen gewicht, dus oefent hij op de top een reactiekracht uit van 40 kN. 40 kN 15° 30° VA 7,5 kN 60° HA Balktutorial

opgave 9 De kabelkracht Fk, die de richting van de kabel (30°+15°=45°) volgt, kunnen we het beste ook in een horizontale en een verticale component ontbinden. Je ziet: het krachtenplaatje wordt steeds simpeler, en dat moet natuurlijk ook! HB FK VB 40 kN 40 kN 15° 30° 45° VA VA 7,5 kN 7,5 kN 60° 60° HA HA Balktutorial

opgave 9 Omdat de kabelkracht onder 45° met de horizontaal loopt, zullen HB en VB even groot zijn. In feite vormen ze samen één onbekende. HB VB 40 kN 45° VA 7,5 kN 60° HA Aangezien 15 15 sin 60°= 13 m 60° 15 cos 60°= 7,5 m Balktutorial

Deze opgave is een vervolg op opgave 1. Opdracht: Deze opgave is een vervolg op opgave 1. Bereken bij deze constructie de inwendige krachten en het inwendige moment ter plaatse van een doorsnede op 0,5 m rechts van het linkersteunpunt en 0,2 m links van het rechtersteunpunt. maten in m 9 kN 3,6 kN A B 1,8 kN 3,6 kN 0,5 0,2 Aanwijzing In deze opgave moeten we eerst de steunpuntsreacties berekenen. Dit hebben we al gedaan. Maak gebruik van de resultaten van opgave 1. 0,4 0,4 0,2 0,4 0,4 Balktutorial

Voor het gemak doen we het eerste. opgave 10 We nemen de berekende steunpuntsreacties eerst over in de figuur. Verder geven we met de letters C en D aan waar we de inwendige krachten en het inwendige moment gaan berekenen. maten in m 9 kN 6,2 kN 3,6 kN 1 kN A C D B 1,8 kN 3,6 kN 0,5 0,2 0,4 0,4 0,2 0,4 0,4 We kunnen voor het berekenen van de inwendige krachten in C in principe op twee manieren te werk gaan, namelijk door het tekenen van een VLS van balkdeel AC of van een VLS balkdeel CB. Voor het gemak doen we het eerste. We zien onmiddelijk (zo getraind zijn we onderhand wel) dat deel AC zó niet in evenwicht is. 9 kN 6,2 kN A C 0,4 0,5 Balktutorial

(Zie ook herkennen van een inklemming) opgave 10 maten in m Logisch, want het weggelaten deel CB oefent krachten uit op AC. In feite hebben we hier te maken met een soort inklemming. De beide delen zijn zonder scharnier met elkaar verbonden. (Zie ook herkennen van een inklemming) We voegen dus twee krachten en een koppel toe aan het VLS. Voor het gemak passen we hier de volgende kleurcodering toe voor de krachtpijlen. 9 kN 6,2 kN VC HC A C MC 0,4 rood uitwendige belastingen blauw reacties groen inwendige krachten 0,5 Balktutorial

opgave 10 Met drie onbekenden is het vraagstuk verder zonder problemen op te lossen. maten in m 9 kN 6,2 kN VC HC A C MC 0,4 0,5 9 kN 6,2 kN 2,8 kN A C 2,2 kNm 0,4 Het inwendige koppel was dus “verkeerd-om” aangenomen. De onderste figuur toont de juiste richting, met ingevulde getallen. 0,5 Balktutorial

Een min. Weer verkeerd gegokt! opgave 10 Voor het berekenen van de inwendige krachten in punt D volgen we dezelfde procedure. maten in m 9 kN 6,2 kN 3,6 kN 1 kN A C D B 1,8 kN 3,6 kN 0,5 0,2 0,4 0,4 0,2 0,4 0,4 MD 1 kN HD D B VD Een min. Weer verkeerd gegokt! Hiernaast de gecorrigeerde versie. 0,2 1 kN 0,2 kNm D B 1 kN Balktutorial