havo B Samenvatting Hoofdstuk 6

top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as Hellinggrafieken schetsen y top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. top stijgend dalend stijgend x O top stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as helling pos. overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt pos. x O laagste punt 6.1

y top top x O top top opgave 4 a x < -3 hellinggrafiek onder de x-as de grafiek is dalend op 〈  , -3 〉 b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdt dat is het laagste punt c f is stijgend op 〈 -3 , 0 〉 d hoogste punt e schets y top top x O top top 6.1

Hellinggrafiek plotten m.b.v. GR TI  MATH – MATH - menu optie nDeriv Casio  OPTN – CALC – menu optie d/dx vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) 6.1

De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie. i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt. notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 6.2

opgave 14a f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x eerst haakjes wegwerken f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x f(x) = 2x² + 9x – 56 f’(x) = 2 · 2x + 9 f’(x) = 4x + 9 dezelfde termen optellen somregel van differentiëren 6.2

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 6.3

opgave 20 a f(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2 f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x stel k : y = ax + b xA = 4 a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8 dit geeft k : y = 8x + b y = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2 dus k : y = 8x - 30 2 = 8 · 4 + b 2 = 32 + b b = -30 6.3

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient Teken f(x) = x² - 3x + 1 Teken enkele lijnen met rc = 2 Eén van de lijnen raakt de grafiek het raakpunt is B. Bereken de coördinaten van B rc = 2 dus f’(xB) = 2 xB berekenen f’(x) = 2 oplossen f’(x) = 2x – 3 f’(x) = 2 xB = 2,5 yB = f(2,5) = -0,25 B(2,5; -0,25) y 4 3 2 2x – 3 = 2 2x = 5 x = 2,5 1 x -1 1 2 ● 3 4 B -1 6.3

y 4 3 2 f 1 A ● x -1 1 2 3 4 -1 k opgave 25 f(x) = -x² + 2x + 3 a rcraaklijn = 4 dus f’(x) = 4 f’(x) = -2x + 2 xA = -1 yA = f(-1) = 0 A(-1, 0) b k : y = -6x + 8 rcraaklijn = -6 dus f’(xB) = -6 xB = 4 yB = f(4) = -5 B(4, -5) y 4 -2x + 2 = 4 -2x = 2 x = -1 3 2 f 1 -2x + 2 = -6 -2x = -8 x = 4 A ● x -1 1 2 3 4 -1 k 6.3

raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0 Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1 Bereken f’(x) 2 Los algebraïsch op f’(x) = 0 3 Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4 Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0 6.3

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn: Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? Bij welke route horen de laagste kosten ? 6.4

O 200 x O 10 opgave 35 a stel AD = x CD + 2x = 40 CD = 40 – 2x O = AD · CD O = x(40 – 2x) O = 40x – 2x² b = 40 – 4x = 0 40 – 4x = 0 -4x = -40 x = 10 AD = 10 m. CD = 40 – 20 = 20 m. dO dx O 200 dO dx x O 10 6.4