De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Spiegeltje, spiegeltje aan de wand … Wie is de meest symmetrische van het land? Ladies at Science – wiskunde 29 april 2015 slides: https://perswww.kuleuven.be/johan_deprez.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Spiegeltje, spiegeltje aan de wand … Wie is de meest symmetrische van het land? Ladies at Science – wiskunde 29 april 2015 slides: https://perswww.kuleuven.be/johan_deprez."— Transcript van de presentatie:

1 Spiegeltje, spiegeltje aan de wand … Wie is de meest symmetrische van het land? Ladies at Science – wiskunde 29 april 2015 slides: https://perswww.kuleuven.be/johan_deprez

2 Kennismaking en inleiding Welkom! in deze sessie: eye-opener voor wat er in de wiskunde nog zoal te beleven is buiten wat je uit je wiskundelessen al kent ons team –Karen (masterstudente) –Stief (onderwijsassistent) –Aldine (doctoraatsstudente) –Johan (docent) 2

3 Kennismaking en inleiding op jullie bank –dodecaëder (twaalfvlak) –icosaëder (twintigvlak) –afgeknotte icosaëder Welke ruimtefiguur is de meest symmetrische? 3

4 Symmetrie en symmetriegroep 4

5 Symmetrieën om ons heen 5

6 Wat is een symmetrie? Een symmetrie is een handeling. Iets dat je met een bepaald patroon kunt doen zonder dat het uiterlijk ervan verandert. Voorbeeld: spiegeling 6

7 Wat is een symmetrie? Voorbeeld: rotatie 7

8 Wat is een symmetriegroep? De verzameling van alle symmetrieën van een bepaald patroon wordt de symmetriegroep van dat patroon genoemd. 8

9 Opdracht Teken alle symmetrieën van de regelmatige zeshoek. Bepaal het aantal verschillende symmetrieën. Opmerking: het aantal regelmatige zeshoeken op het blad ≠ het aantal verschillende symmetrieën van de regelmatige zeshoek. Geheugensteuntje: 9

10 Oplossing opdracht De symmetriegroep van de regelmatige zeshoek mogelijke rotaties (60°, 120°, 180°, 240°, 300°) - de identieke afbeelding - spiegelen rond 6 mogelijke spiegelassen 12 elementen in de symmetriegroep van de regelmatige zeshoek

11 Symmetrieën als objecten 11

12 Samenstellen van symmetrieën en de eigenschappen daarvan 12

13 Samenstelling van symmetrieën

14

15

16

17

18 Neutraal element Bestaat er ook een neutraal element voor de samenstelling van symmetrieën?

19 Neutraal element Bestaat er ook een neutraal element voor de samenstelling van symmetrieën?

20 Neutraal element

21 Invers element 21

22 Invers element 22

23 Invers element 23

24 Invers element 24

25 Invers element 25

26 Invers element 26

27 Invers element 27

28 Invers element 28

29 Invers element 29

30 Invers element 30

31 Associativiteit 31 Ook de samenstelling van symmetrieën van de zeshoek is associatief

32 Groepen 32

33 Groepen 33 Een wiskundige structuur die voldoet aan: 1.Gesloten 2.Neutraal element 3.Voor ieder element een invers element 4.Associativiteit …wordt een groep genoemd. We kunnen ons onderzoek als volgt samenvatten: De verzameling van symmetrieën van de zeshoek vormt een groep voor de samenstelling, de verzameling van gehele getallen vormt een groep voor de optelling.

34 Voorbeelden van groepen De verzameling symmetrieën van eender welke figuur vormt een groep voor de samenstelling De verzameling van reële getallen zonder 0 vormt een groep voor de vermenigvuldiging Ook groepen binnen matrices, complexe getallen,… 34

35 Voorbeelden van groepen 35 Bijvoorbeeld: “ = 3” want 5 uur later dan 10 uur, is het opnieuw 3 uur. Vormt deze verzameling een groep? Gesloten? Neutraal element? Invers element? Associatief?

36 Voorbeelden van groepen 36 Ja! Gesloten: twee uren bij elkaar optellen geeft opnieuw een uur op de klok Neutraal element = 12 want = 8 en = 8 (en dit geldt voor alle getallen Invers element van 1 is 11, invers element van 2 is 10, …, invers element van 6 is 6, en invers element van 12 is 12 Associatief

37 Dodecaëder, icosaëder en afgeknotte icosaëder “Wie is de meest symmetrische van het land?” 37

38 Opdracht Zoek symmetrieën van het voorwerp dat voor je ligt: –De dodecaëder (het regelmatig twaalfvlak) –De icosaëder (het regelmatig twintigvlak) –Of de afgeknotte icosaëder (de voetbal) 38

39 Oplossing vijfvoudige rotatie drievoudige rotatie tweevoudige rotatie spiegeling in spiegelvlakken combinatie van spiegeling en vijfvoudige rotatie combinatie van spiegeling en drievoudige rotatie de identieke afbeelding 39

40 Opdracht Bepaal hoeveel symmetrieën het voorwerp heeft Maak gebruik van wat je al weet: –vijfvoudige rotatie –drievoudige rotatie –tweevoudige rotatie –spiegeling in spiegelvlakken –combinatie van spiegeling en rotatie –de identieke afbeelding 40

41 Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 1 vijfvoudige draaiingsassen 4 rotaties per as 6 assen symmetrieën

42 Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 2 42 drievoudige draaiingsassen 2 rotaties per as 10 assen 20 symmetrieën

43 Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 3 43 tweevoudige draaiingsassen 1 rotatie per as 15 assen 15 symmetrieën

44 Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 4 15 spiegelvlakken door overstaande vlakken symmetrieën

45 Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 5 45 combinaties van een spiegeling en een rotatie symmetrieën

46 Alle symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal de identieke afbeelding (1) 6 vijfvoudige rotatie-assen, 4 rotaties per as (24) 10 drievoudige draaiingsassen, 2 rotaties per as (20) 15 tweevoudige draaiingsassen, 1 rotatie per as (15) 15 spiegelvlakken (15) 45 combinaties van een spiegeling met rotatie (45) 46 Totaal: 120 symmetrieën

47 Opmerkelijk: de symmetriegroep van de dodecaëder (regelmatige twaalfvlak) = de symmetriegroep van de icosaëder (regelmatig twintigvlak) = de symmetriegroep van de voetbal! 47

48 En verder? 48

49 Voortbrengende elementen sommige symmetrieën zijn afhankelijk van elkaar zeshoek –symmetrisch bij draaiing over 60° impliceert (‘brengt voort’) symmetrie bij rotatie over 120°, 180°, 240° en 300° –symmetriegroep wordt volledig bepaald door twee voortbrengende symmetrieën rotatie over 60° één van de spiegelingen –d.w.z. alle 12 symmetrieën kun je krijgen door deze draaiing en deze ene spiegeling te combineren dodecaëder enz.: volledige symmetriegroep van 120 elementen wordt voortgebracht door slechts twee symmetrieën 49

50 Deelgroepen gebroken symmetrie –alleen de rotaties blijven –symmetriegroep van deze figuur is een deelgroep van de symmetriegroep van zeshoek nog een andere deelgroep (zie rechts) Hoeveel deelgroepen heeft de symmetriegroep van de zeshoek? WISKUNDIGEN HEBBEN EEN HELE THEORIE ONTWIKKELD OVER GROEPEN EN GEBRUIKEN GROEPEN ALS HULPMIDDEL OM ALLERLEI WISKUNDIGE OBJECTEN TE BESTUDEREN 50

51 Buckminster fullereen 51 GROEPEN SPELEN OOK EEN ROL IN VEEL ANDERE WETENSCHAPPEN

52 Slot 52

53 Slot eye-opener voor waar wiskunde aan de universiteit over gaat –meer dan het berekenen van moeilijkere afgeleiden –‘rekenen’ met andere objecten dan getallen –bestuderen van patronen en structuur We hopen dat je het leerrijk en interessant vond! Bedankt voor je aandacht! 53


Download ppt "Spiegeltje, spiegeltje aan de wand … Wie is de meest symmetrische van het land? Ladies at Science – wiskunde 29 april 2015 slides: https://perswww.kuleuven.be/johan_deprez."

Verwante presentaties


Ads door Google