De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

24/04/2015differentiaalvergelijkingen1 Differentiaalvergelijkingen Frits Pleiter.

Verwante presentaties


Presentatie over: "24/04/2015differentiaalvergelijkingen1 Differentiaalvergelijkingen Frits Pleiter."— Transcript van de presentatie:

1 24/04/2015differentiaalvergelijkingen1 Differentiaalvergelijkingen Frits Pleiter

2 24/04/2015differentiaalvergelijkingen2 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen lineaire differentiaalvergelijking van de 1 ste orde geval 1: rechter lid is een constante 1.radioactief verval 2.lineïeke verzwakking van fotonen 3.neutronenactivatie 4.ingestie van 137 Cs 5.lekkende fles met 83 Kr geval 2: rechter lid is een e-macht 1.moeder-dochterevenwicht 2.3-compartimentensysteem 3.verval van 210 Pb 4.verval van 99 Mo

3 24/04/2015differentiaalvergelijkingen3 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen lineaire differentiaalvergelijking van de 1 ste orde y + y = f(t) homogene vergelijkingy + y = 0 algemene oplossingy 0 (t) = A e - t inhomogene vergelijkingy + y = f(t) stel dat y 1 (t) is een speciale oplossing van de inhomogene vergelijking, dan is y(t) = y 0 (t) + y 1 (t) de algemene oplossing van de inhomogene vergelijking y 0 + y 0 = 0 y 1 + y 1 = f(t) + (y 0 + y 1 ) + (y 0 + y 1 ) = f(t) y + y = f(t)

4 24/04/2015differentiaalvergelijkingen4 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen geval 1: rechter lid = constante y + y = P speciale oplossingy 1 (t) = P / algemene oplossingy(t) = A e - t + P / randvoorwaardey(0) = 0 invullenA = -P / y(t) = (P / ) (1 - e - t ) in evenwicht is y = 0  IN = UIT y evenwicht = P /

5 24/04/2015differentiaalvergelijkingen5 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (1) radioactief verval (syllabus, blz. 55) dN/dt = - N Naantal radioactive atomen λ = 0,693 / T ½ vervalconstante (s -1 ) T ½ halveringstijd (s) P = 0geen productieterm, homogene vergelijking N(t) = N(0) e - t A(t) = N(t) = N(0) e - t = A(0) e - t

6 24/04/2015differentiaalvergelijkingen6 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (2) lineïeke verzwakking van fotonen (syllabus, blz. 71) dN/dx = -µ N Naantal opvallende fotonen  = 0,693 / d ½ lineïeke verzwakkingscoëfficiënt (cm -1 ) d ½ halveringsdikte (cm) P = 0geen productieterm, homogene vergelijking N(x) = N(0) e -µx

7 24/04/2015differentiaalvergelijkingen7 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (3) neutronactivering (syllabus, blz. 91; vraagstuk MEET-11) dN/dt = - N + P Naantal radioactive atomen λ = 0,693 / T ½ vervalconstante (s -1 ) T 1/2 halveringstijd (s) P = σ M  productieterm σwerkzame doorsnede voor neutronvangst (m 2 ) Maantal targetatomen  =fluentietempo (m -2 s -1 ) N(t) = (σ M  / ) (1 - e - t ) A(t) = N(t) = σ M  (1 - e - t ) ≈ σ M  tals t << 1

8 24/04/2015differentiaalvergelijkingen8 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (3) Bij werkzaamheden in een kerncentrale is een stuk gereedschap radioactief geworden door activering. Het stuk gereedschap bevat 210 mg cobalt en is gedurende 0,1 uur blootgesteld aan neutronen. Gegevens: het atoomgewicht van cobalt is 58,9 g mol -1 de natuurlijke abundantie van 59 Co is 100% het getal van Avogadro is N A = 6,02  mol -1 het fluentietempo van de neutronen is  = 1,0  m -2 s -1 de werkzame doorsnede voor 59 Co(n,  ) 60m Co is  = 20  m 2 de halveringstijd van 60m Co is T ½ = 10 min A =  M  (1 - e -  0,1 ) Vraag:bereken de 60m Co-activiteit

9 24/04/2015differentiaalvergelijkingen9 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (3) Antwoord A =   M    (1 - e -  0,1 ) M( 59 Co) = (massa Co / atoommassa Co )  N A = (210  g / 58,9 g mol -1 )  6,02  mol -1 = 2,15  = 0,693 / T ½ = 0,0693 min -1 = 4,16 h -1 A( 60m Co) = 20  m 2  2,15   1,0  m -2 s -1  (1 - e -4,16  0,1 ) = 1,5  Bq = 15 GBq

10 24/04/2015differentiaalvergelijkingen10 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (4) ingestie van 137 Cs (vraagstuk INDO-15) dA/dt = - A + P Aradioactiviteit in lichaam (Bq) λ = 0,693 / T ½ biologische vervalconstante (s -1 ) T ½ biologische halveringstijd (s) Pinname (Bq s -1 ) opbouw van lichaamsactiviteitA(t) = (P / )  (1 - e - t ) in evenwicht is IN = UIT  dA/dt = 0 A evenwicht = P /

11 24/04/2015differentiaalvergelijkingen11 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (4) Een persoon neemt een vol jaar lang elke dag dezelfde hoeveelheid 137 Cs in. Na een jaar blijkt de activiteit in zijn lichaam 520 Bq te zijn. Gegevens: uitscheiding van Cs beschreven door een exponentiële functie biologische halveringstijd is T ½ = 110 d. ga er vanuit dat de evenwichtssituatie is bereikt in de evenwichtssituatie geldt A evenwicht = P / Vraag: berekende de dagelijkse inname van 137 Cs-activiteit

12 24/04/2015differentiaalvergelijkingen12 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (4) Antwoord in de evenwichtssituatie geldt A evenwicht = P / = 0,693 / T 1/2 = 0,693 / 110 (d) = 6,3  d -1 P =  A evenwicht = 6,3  (d -1 )  520 (Bq) = 3,3 Bq d -1

13 24/04/2015differentiaalvergelijkingen13 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (5) lekkende fles met 83 Kr (vraagstuk INDO-19) dA/dt = -D a + P = -D A / V + P = - A + P Ddebiet (m 3 h -1 ) aactiviteitsconcentratie (Bq m -3 ) Aactiviteit (Bq) Vruimtevolume (m 3 ) ventilatievoud = aantal ruimtevolumes per uur (h -1 ) Plek (Bq h -1 ) in evenwicht is IN = UIT  dA/dt = 0 A evenwicht = P /

14 24/04/2015differentiaalvergelijkingen14 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (5) In een opslagruimte lekt een fles gevuld met 85 Kr. Gegevens: in evenwichtssituatie geldt A evenwicht = P / volume van de opslagruimte is 500 m 3 ventilatievoud is 1,0 h -1 lektempo is 40 MBq h -1 dosisconversiecoëfficiënt van 85 Kr is e = 9,2  Sv h -1 per Bq m -3 Vraag:bereken de activiteitsconcentratie in de ruimte Vraag:bereken het dosisequivalenttempo H* in de ruimte

15 24/04/2015differentiaalvergelijkingen15 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (5) Antwoord in evenwichtssituatie geldt A evenwicht = P / P = lek = 40 MBq/h = 40  10 6 Bq h -1 = ventilatievoud = ruimtevolumes per uur = 1 h -1 A = P / = 40  10 6 (Bq h -1 ) / 1,0 (h -1 ) = 40  10 6 Bq activiteitsconcentratie a = 40  10 6 (Bq) / 500 (m 3 ) = 8,0  10 4 Bq m -3 dosisequivalenttempo dH*/dt = e  a = 9,2  (Sv h -1 per Bq m -3 )  8,0  10 4 (Bq m -3 ) = 7,4  Sv h -1 = 74 nSv h -1

16 24/04/2015differentiaalvergelijkingen16 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen geval 2: rechter lid = e-macht y + y = P e -t speciale oplossingy 1 (t) = C e - ’t invullen- C e -t + C e -t = P e -t C = P / ( - ) algemene oplossingy(t) = A e - t + P e - ’t / ( - ’) randvoorwaardey(0) = 0 invullenA = -P / ( - ’) y(t) = P (e -t - e - t ) / ( - ) merk op dat dit overgaat in speciaal geval 1 als = 0 stilzwijgend aangenomen dat  voorbeeld is moeder-dochterrelatie(syllabus, blz )

17 24/04/2015differentiaalvergelijkingen17 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen geval 2: rechter lid = e-macht y(t) = P (e -t - e - t ) / ( - ) stel t is klein > 'e - 't  1→y(t)  (P/ ) (1 - e - t ) < 'e - t  1→y(t)  (P/ ') (1 - e - 't ) stel t is groot > 'e - t << e - 't →y(t)  (P/ ) e - 't < 'e - 't << e - t →y(t)  (P/ ') e - t merk op:ingroeiconstante is de grootste van en ' vervalconstante is de kleinste van en '

18 24/04/2015differentiaalvergelijkingen18 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen geval 2: rechter lid = e-macht y(t) = P (e -t - e - t ) / ( - ) y(t) is maximaal als dy/dt = 0 →d(e - 't - e - t )/dt = d(e - 't )/dt - d(e - 2t )/dt = 0 d(e - 't )/dt = d(e - t )/dt - ' e - 't = - e - t e - 't / e - t = / ' e ( - ')t = / ' neem links en rechts de logaritme ( - ') t = ln( / ') t = ln( / ') / ( - ')

19 24/04/2015differentiaalvergelijkingen19 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (6) T ½ ( 210 Pb) = 22 j T ½ ( 210 Bi) = 5,0 d T ½ ( 210 Po) = 138 d T ½ ( 206 Pb) = stabiel Vraag:schets het verloop van de activiteiten van 210 Pb, 210 Bi, 210 Po en 206 Pb als functie van de tijd, uitgaande van zuiver 210 Pb 210 Pb 210 Bi k Po k Pb k 34

20 24/04/2015differentiaalvergelijkingen20 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (6) Antwoord A( 210 Pb) = A(0) e -0,693  t/(365  22) ≈ A(0) A( 210 Bi) ≈ A( 210 Pb) (1 - e -0,693  t/5,0 ) A( 210 Po) ≈ A( 210 Pb) (1 - e -0,693  t/138 ) A( 206 Pb) = 0

21 24/04/2015differentiaalvergelijkingen21 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (7) T ½ ( 99 Mo) = 66 h T ½ ( 99m Tc) = 6,0 h T ½ ( 99 Tc) = 2  10 5 j T ½ ( 99 Zr) = stabiel (syllabus, blz ) Vraag:schets het verloop van de activiteiten van 99 Mo en 99m Tc als functie van de tijd, uitgaande van zuiver 99 Mo Vraag:bereken het tijdstip waarop de activiteit van 99m Tc maximaal is 99 Mo 99m Tc k Tc k Zr k 34

22 24/04/2015differentiaalvergelijkingen22 Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (7) Antwoord 1 = 0,693 / 66 = 0,0105 h -1 2 = 0,693 / 6,0 = 0,116 h -1 A 1 (t) = A(0) e - 1t A 2 (t) = A 1 (0) [ 2 / ( )] [e - 1t - e - 2t ] = A(0)  [0,116 / (0, ,0105)] [e -0,0105  t - e -0,116  t ] = 1,1  A(0)  [e -0,0105  t - e -0,116  t ] de activiteit van 99m Tc is maximaal als t = ln( 2 / 1 ) / ( ) = ln(0,116 / 0,0105) / (0, ,0105) = 23 h


Download ppt "24/04/2015differentiaalvergelijkingen1 Differentiaalvergelijkingen Frits Pleiter."

Verwante presentaties


Ads door Google