De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door."— Transcript van de presentatie:

1 Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x) = cx n dan is f'(x) = ncx n – 1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x) = c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

2 Voorkennis f(x) = ax 3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax 4 g’(x) = 4ax 3 h(x) = ax 5 h’(x) = 5ax 4 algemeen geldt : k(x) = ax n k’(x) = n · ax n-1 oude exponent ervoor zetten nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 12.1

3 Voorkennis werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1 bereken f’(x). 2 los algebraïsch op f’(x) = 0. 3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is

4 voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x f(x) = 2x² + 9x – 56 f’(x) = 2 · 2x + 9 f’(x) = 4x + 9 eerst haakjes wegwerken dezelfde termen optellen somregel van differentiëren

5 Andere regels ?!? De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x 3 · x 2. Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x 2 · 2x. Maar dat is fout! Immers p(x) = x 5 en dus moet p'(x) = 5x 4 zijn. Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) = f(x) / g(x) niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

6 De productregel De quotiëntregel 7.1

7 De productregel: Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

8 v.b. productregel

9 Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide: Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus: Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.) En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x)) ⋅ g'(x). De kettingregel:

10 v.b. kettingregel

11 De kettingregel Kettingregel: Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie y = f (x) als volgt te werk. Schrijf f als een ketting van twee functies. Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. Druk het product van de afgeleide functies uit in x. De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels 12.3

12 Oefenopgave

13

14 f (x) = (½x 2 - 2x) 3 bepaal waar de rico = 0 Stel y = (½x 2 – 2x) 3 = u 3 met u = ½x 2 – 2x en f’ (x) = 3u 2 · (x – 2) = 3(½x 2 – 2x) 2 · (x – 2) f’ (x) = 0 geeft 3(½x 2 – 2x) 2 · (x – 2) = 0 ½x 2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2 Wat is de vergelijking van de raaklijn bij x =6 ? Stel l : y = ax + b a = f’ (6) = 3(½ · 6 2 – 2 · 6) 2 (6 – 2) = 432 dus l : y = 432x + b y A = f(6) = (½ · 6 2 – 2 · 6) 3 = 216 dus A(6, 216) 216 = 432 · 6 + b 216 = b = b l : y = 432x x y O f

15 In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum. Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn: Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.6

16 De grafiek van een machtsfunctie n even a > 0 x y lijnsymmetrisch met de y-as O a < 0 x y O n oneven a > 0 x y puntsymmetrisch met (0, 0) O a < 0 x y O ∙ ∙ 9.1

17 Welk functievoorschrift hoort bij de verschillende parabolen ?

18 opgave 2 af(x) = -2(x + 2) 2 – 3 n even  top (-2, -3) bergparabool max. is f(-2) = -3 B f = < , -3 ] bh(x) = 0,18(x – 3) 2 – 4 n even  top (3, -4) dalparabool min. is f(3) = -4 B g = [ -4,  > n even a < 0 x y O n even a > 0 x y O 9.1

19 opgave 5 a y = 0,3x 4 y = 0,3(x + 5) y = 0,9(x + 5) top (-5, 18) by = 0,3x 4 y = 0,9x 4 y = 0,9(x + 5) top (-5, 6) translatie (-5, 6) verm. met 3 tov de x-as translatie (-5,6) Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x+5 en tel je 6 bij de functiewaarde op. Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met 3, vermenigvuldig je de functiewaarde met 3.

20 voorbeeld f(x) = √(x + 5) + 3 beginpunt (-5, 3) D f = [ -5,  > B f = [ 3,  > x y ∙ x + 5 ≥ 0 x ≥ -5 O

21 Voorbeeld 2 l(x) = -√(x - 1) - 1 beginpunt (1, -1) D l = [ 1,  > B l = < , -1 ] x y 1 1 ∙ O

22 Wortelvergelijkingen oplossen 2x + √x = 10 √x = 10 – 2x x = (10 – 2x) 2 x = 100 – 40x + 4x 2 -4x x + x – 100 = 0 -4x x – 100 = 0 D = (41) 2 – 4 · -4 · -100 D = 81 x = x = 6¼ v x = ± √81 -8 isoleer de wortelvorm kwadrateer het linker- en het rechterlid los de vergelijking op controleer of de oplossingen kloppen voldoet niet voldoet 9.1

23 Oefening 1 √(x + 12) = x x + 12 = x 2 -x 2 + x + 12 = 0 x 2 – x – 12 = 0 (x – 4)(x + 3) = 0 x – 4 = 0 v x + 3 = 0 x = 4 v x = -3 Oefening 2 2x + √x = 6 √x = 6 – 2x x = (6 – 2x) 2 x = 36 – 24x + 4x 2 -4x x + x – 36 = 0 -4x x – 36 = 0 D = (25) 2 – 4 · -4 · -36 D = 49 x = x = 4 v x = 2¼ -25 ± √49 -8 Oefening x√x = 2 -x√x = x√x = -8 x 2 · x = 64 x 3 = 64 x = 3 √64 x = 4 voldoet voldoet niet voldoet voldoet niet voldoet

24 f (x) = standaardfunctie De grafiek heet een hyperbool f (0) bestaat niet De grafiek bestaat uit 2 losse delen takken van de hyperbool Je hebt een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. Een asymptoot is een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel samenvalt. De grafiek is puntsymmetrisch in (0,0) 1x1x y x-2 ∙ ∙ x=0 y=0 9.2

25 af(x) = noemer = 0 x + 2 = 0  x = -2 vert.asymptoot : x = -2 voor grote x is f(x) ≈ 4x/x = 4 horz.asymptoot : y = 4 bvoer in y 1 = 4x/(x+2) en y 2 = x - 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 6 f(x) > g(x) geeft x < -2 v -1 < x < 6 Voorbeeld f(x)=4x/(x+2) en g(x)= x-3 wanneer geldt f(x)>g(x) ? y x 4 -4 ∙ ∙ 4x x + 2 y=4 Wanneer ligt de grafiek van f boven g ? ∙∙ vert.asymptoot noemer = 0 horz.asymptoot voor grote x x=-2 f f g

26 opgave y x 4 -4 ∙ ∙ 2x-1 x + 3 af(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot : x = -3 voor grote x is f(x) ≈ 2x/x = 2 horz.asymptoot : y = 2 bvoer in y 1 = (2x-1)/(x+3) en y 2 = x - 3 optie intersect geeft x = -2 v x = 4 f(x) ≤ g(x) geeft -3 < x ≤ -2 v x ≥ 4 y=2 Wanneer ligt de grafiek van f onder of op g ? ∙∙ vert.asymptoot noemer = 0 horz.asymptoot voor grote x x=-3 f f g 9.2

27 formules hebben de vorm : y = a + b (sin( c(x-d) ) en y = a + b (cos( c(x-d) ) b > 0 en c > 0 Kenmerken van sinusoïden 8.3

28 kenmerken van de grafiek van y = a + b (sin( c(x - d) ) evenwichtsstand y = a amplitude = b periode = beginpunt (d, a) 2π2π c 8.3

29 De exacte-waarden-cirkel 12.4

30 Oefening Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π]. sin 2 (x) + sin(x) = 0 sin(x)(sin(x) + 1) = 0 sin(x) = 0 v sin(x) = -1 x = k · π v x = 1½π + k · 2π Op domein [0, 2π] geeft dat de nulpunten x = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π. O x y ½π½ππ1½π2π2π f ∙ ∙ ∙ ∙

31 De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x) f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x) g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x) Dus f (x) = cos(2x) Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2x f’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2 f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x) 12.5

32 voorbeeld g (x) = x cos(x) g’ (x) = [x · cos(x)]’ g’ (x) = [x]’ · cos(x) + x · [cos(x)]’ g’ (x) = 1 · cos(x) + x · - sin(x) g’ (x) = cos(x) – x sin(x) g’

33 Voorbeeld 2 g (x) = x 2 sin(3x) g’ (x) = [x 2 · sin(3x)]’ g’ (x) = [x 2 ]’ · sin(3x) + x 2 · [sin(3x)]’ g’ (x) = 2x · sin(3x) + x 2 · 3 cos(3x) g’ (x) = 2x sin(3x) + 3x 2 cos(3x) g’

34 Voorbeeld 3 j (x) = x + 3 sin 2 (x) j’ (x) = [x + 3 (sin(x)) 2 ]’ j’ (x) = · 2 sin(x) · cos(x) j’ (x) = sin(x) · cos(x) j’ 12.5

35 Logaritme en exponent 2 x = 8 x = 3 want 2 3 = 8 2 x = 8 ⇔ 2 log(8) 2 3 = 8 ⇔ 2 log(8) = 3 2 log(32) = 5 want 2 5 = 32 algemeen: g log(x) = y betekent g y = x dus g log(g y ) = y x > 0, g > 0 en g ≠ 0

36 voorbeeld a 5 log(0,2) = 5 log(  ) = 5 log(5 -1 ) = b 3 log(3√3) = 3 log( ½ ) = 3 log(3 1½ ) = 1½ c ½ log(8) = ½ log((½) -3 ) = -3 d ¼ log(  ) = ¼ log((¼) 2 ) = 2

37 De standaardgrafiek y = g log(x) functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies O x y O x y g > 10 < g < y = x y = 2 x 1 y = 2 log(x) y = x y = (½) x y = ½ log(x) 1 9.3

38 voorbeeld ay = 3 log(x) 4 naar rechts y = 3 log(x – 4) 2 omhoog y = 3 log(x – 4) + 2 b D f = log(x) 931   x O y x = 4 4 naar rechts 2 omhoog

39 Voorbeeld f(x)= 3 log(4x – 1) los op 3 log(4x – 1) ≤ x -2 ∙ ∙ ∙ ∙ 2,52,21,8 1 3 log(4x - 1) 432 1x averticale asymptoot : 4x – 1 = 0 x = ¼ voer in y 1 = log(4x-1)/log(3) bf(x) ≤ 2 3 log(4x – 1) = 2 4x – 1 = 3 2 4x = 10 x = 2½ ¼ < x ≤ 2½ x = ¼ y = 2 2½2½ ∙

40 Voorbeeld 2 f(x) = 6 + ½ log(x 2 + 5) en g(x) = 3 log(x 2 – 2x) los op f(x) > g(x) ax = 0 heeft geen oplossingen dus f heeft geen verticale asymptoot g(x) = 3 log(x 2 – 2x) x 2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 v x = 2 voer in y 1 = 6 + log(x 2 + 5)/log(½) en y 2 = log(x 2 – 2x)/log(3) y x O x = 0x = 2 f g

41 boptie intersect (-2,759 ; 2,344) en (3,776 ; 1,732) cf(x) > g(x) -2,759 < x < 0 v 2 < x < 3,776 x O x = 0x = 2 f g -2,759 3,776

42 Transformaties toepassen op y = f (x) vervang x door x g(x) = f( x) verm. t.o.v. de y-as met d vermenigvuldig de functiewaarde met c g(x) = c · f(x)verm. t.o.v. de x-as met c tel b op bij de functiewaarde g(x) = f(x) + b translatie (0,b) vervang x door x – ag(x) = f(x - a) translatie (a,0) beeldgrafiektransformatie 9.4

43 opgave 50 aAC + BC = 12 – x Omdat AC = BC is AC = = 6 - ½x bPythagoras in ∆ADC : CD 2 + AD 2 = AC 2 CD 2 = AC 2 – AD 2 CD 2 = (6 - ½x) 2 – (½x) 2 CD 2 = 36 – 6x + ¼x 2 - ¼x 2 = 36 – 6x CD = √(36 – 6x) cO = ½ · AB · CD O = ½x √(36 – 6x) 12 - x 2 x D г l l

44 Opgave 53

45 O(∆ABC) = ½ · AC · AB AC = OC – OA = 4 – p AB = y B = f (p) = p 2 – 2p + 3 Dus O = ½(4 – p)(p 2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p 2 – 2p + 3) opgave 54

46 Opgave 56

47 Opgave x

48 Opgave 63a&b

49 Opgave 63c&d

50

51 Opgave 64

52 opgave 70 De inhoud is I = πr 2 h, dus 500 = πr 2 h. dus h = De materiaalkosten zijn K = πr 2 · 1 + πr 2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr 2 + 4πr + 2πrh. K = 3πr 2 + 4πr + 2πr = 3πr 2 + 4πr + Voer in y 1 = 3πx 2 + 4πx + De optie minimum geeft x ≈ 3,5. De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingen r ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm. 500 πr r a b 1000 x r K 3,5 445,1 onderkant bovenkantrand van deksel mantel

53 Opgave 76

54 De ABC-formule ax 2 + bx + c = 0 De discriminant D = b 2 – 4ac D < 0 geeft geen oplossingen. D = 0 geeft 1 oplossing. D > 0 geeft 2 oplossingen. 12.2

55 Opgave 17

56 opgave 19 a Stel k : y = ax + b dus Dus 12.2

57 brc raaklijn = -3, dus f’ (x) = -3 x 2 = 1 x = -1 v x = 1 f(-1) = -5 en f(1) = 5 De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5) opgave 19

58 cf’ (x) = 0 geeft x 2 = 4 x = -2 v x = 2 max. is f(-2) = -4 en min. is f(2) = 4 opgave 19

59 df’ (x) = 2 geeft x 2 = -4 Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, heeft de vergelijking x 2 = -4 geen oplossingen. Dus er is geen raaklijn met rc = 2. opgave 19

60 Opgave 23

61 a geeft f’ (x) = 0 geeft x = 4 f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4 Min. is f(4) = -4. brc raaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3 Raaklijn y = -3x crc raaklijn = 3 dus f’ (x) = 3 1½√x – 3 = 3 1½√x = 6 √x = 4  x = 16 f (16) = 16 dus A(16, 16) raaklijn l : y = 3x + b opgave = 3 · 16 + b -32 = b l : y = 3x - 32

62 opgave 65a Stel de hoogte is h dm. K = kosten bodem + kosten zijkanten 72 dm 3

63 opgave 65b geeft Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm. De minimale kosten zijn = 21,6 euro geeft

64 opgave 67 De oppervlakte is x · y = 75 dus y = De kosten van de afrastering zijn K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y K = 30x + 40 · = 30x + = [30x x -1 ]’ = 30 – 3000x -2 = 30 – = 0 geeft 30 = 30x 2 = 3000 x 2 = 100 x = 10 v x = -10 De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m. 75 x 3000 x dKdxdKdx dKdxdKdx 3000 x 2 dKdxdKdx €10 €20 x y x y 10

65 opgave 68a K = kosten langs het bos + kosten in het weiland K = y · 60 + (x + y) · 15 K = 60y + 15x + 15y K = 15x + 75y O = xy O =1200

66 opgave 68b geeft Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m. De minimale kosten zijn ≈ 2324 euro

67 opgave 68c geeft Voer in De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1 Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezen voor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.


Download ppt "Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door."

Verwante presentaties


Ads door Google