De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Logica & Verzamelingen Deels naar aanleiding van sheets van Prof. Dr. J.-J. Ch. Meyer ( ICS - UU ) en bewerkt voor de Hogeschool Inholland door drs. M.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Logica & Verzamelingen Deels naar aanleiding van sheets van Prof. Dr. J.-J. Ch. Meyer ( ICS - UU ) en bewerkt voor de Hogeschool Inholland door drs. M."— Transcript van de presentatie:

1 Logica & Verzamelingen Deels naar aanleiding van sheets van Prof. Dr. J.-J. Ch. Meyer ( ICS - UU ) en bewerkt voor de Hogeschool Inholland door drs. M. Valenkamp.

2 2 VRAAG: Is dit logica? 1.De VVD-fractieleider stapt af wegens een mislukte verkiezingscampagne, zodat de campagneleider hem kan opvolgen. 2.Het antwoord van een lokaal VVD-kandidaatsraadslid op de vraag waarom zij tegen genetisch gemodificeerd voedsel was. “Het is onveilig om voedsel te eten waar genen in zitten”. 3.Kijk eens naar Wilders: Gaat het hier om logica of om argumentatieve structuren? Wat is logica?

3 3 Definities van ‘logica’: Logica is:  (logikè) = de logos (rede) betreffende Definities van ‘logica’: * De kunst van het redeneren. * Leer omtrent het opstellen van begripsoordelen en het trekken van gevolgtrekkingen uit twee bijeen horende oordelen. *Denk-leer *Theorie van het juiste redeneren Logica als formele logica is een theorie van het redeneren, OF BETER: De formele logica is de theorie van de formeel geldige redeneringen.

4 4 Raakvlakken van de logica? Retorica Argumentatieleer Kennisrepresentatie Inferentie(systemen) Cognitieve psychologie & AI (Artificiële Intelligentie) descriptief gebruik van logica Normatieve wetten prescriptief gebruik van logica

5 5 Geschiedenis van de logica De natuurfilosofen wilden méér dan louter beweren, ze wilden bewijzen. Daarin ligt het eerste begin van de logica. Aristoteles -voltooide de ontwikkeling met zijn leer van de syllogismen Leibniz -characteristica universalis, ars combinatoria Frege -“Begriffschrift”: Begriffsschrift is de titel van een boekje over logica van Gottlieb Frege, gepubliceerd in 1879, en is ook de naam van het formele systeem dat in zijn boek is uitgewerkt. Boole -booleaanse algebra booleaanse logica (internet logica) Peano -axiomatische rekenkunde en verzamelingenleer

6 6 Geschiedenis van de logica Russell & Whitehead - Principia Mathematica Hilbert - Formalistische wiskunde Gödel - (on)volledigheidsstellingen Carnap-Symbolische logica Tarski - Semantiek Wittgenstein - Tractatus Logico-Philosophicus Waarheidstafels

7 7 Voorbeelden van redeneringen P1) Alle logici zijn muzikaal. P2) Wim is een logicus. C) Wim is muzikaal. Formele vorm: P1) ……………..P1) Alle S zijn P. ……………………P2) a is een S. Pn) ……………..C) a is een P. C) ……………….

8 8 Voorbeelden van formeel logische redeneringen P1) Alle M zijn S. Alle mensen zijn sterfelijk P2) A is een M. Socrates is een mens C) A is S. Socrates is sterfelijk OF S a P a a S a a P Waarom is dit een logisch geldige redenering?

9 9 De mens, ook Socrates is sterfelijk, maar niet diens ziel. het argument van de tegengestelden Om de onsterfelijkheid van de ziel te verklaren draagt Socrates in de dialoog de Phaedo een aantal argumenten aan. Hij gebruikt daarvoor het argument van de tegengestelden. Hieronder een schematische indruk van dit argument. zAlle dingen hebben een tegengestelde. Zo geeft hij het volgende voorbeeld: het kleine – het grote en het natte - het droge. Tussen elke twee tegengestelden zitten twee processen: het kleiner en groter worden en het natter en droger worden. zHet tegenovergestelde van leven is dood. Leven moet dus van ‘dood zijn’ komen en ‘dood zijn’ van leven. Het proces van leven naar dood zijn heet sterven; het proces van dood zijn naar sterven zal dus ‘tot leven komen’ moeten zijn.Dus zals de zielen van de levenden van de doden komen, dan moeten de zielen van degenen die overleden zijn bestaan in de onderwereld. De ziel bestaat dus al voordat deze geïncarneerd wordt in het lichaam en is derhalve onsterfelijk.

10 10 Logica en (wiskundig) redeneren Contrapositie Stelling: P Q Bewijs: bewijs ¬Q ¬P Reductio ad absurdum (bewijs uit het ongerijmde) Stelling: P Bewijs: neem aan ¬P. Dan … : contradictie: dan P.

11 11 Voorbeeld: Reductio ad absurdum Stel: p ……… Bijgevolg: r, maar r is onmogelijk Dus:niet-p OF: Stel: p ……… Bijgevolg: q en niet-q Dus:niet-p

12 12 Voorbeeld: Reductio ad absurdum Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen (P) Bewijs: Stel ¬P: er zijn slechts eindig veel priemgetallen: p1, …, pn. Beschouw nu m = (p1 … pn) + 1. Nu p i is geen deler van m (voor alle i). Dus m is priem. Echter m ?sp i (voor alle i) omdat m > p i (alle i). Contradictie. Dus P: er zijn oneindig veel priemgetallen. Q.E.D.

13 13 Waarschuwing vooraf! Object van studie van de logica is het redeneren, maar om erover te praten redeneren we vaak ook in ‘meta-taal’. Soms gaan we zelfs op nog hogere niveaus praten: redeneren over een meta-notie… Dit kan soms verwarrend zijn. Houd altijd het niveau goed in de gaten!

14 14 Basistheorie Propositielogica waarheidstafels logische equivalentie logisch gevolg consistentie en geldigheid

15 15 Basisingrediënten logica Logische connectieven / constanten  en  of ¬ niet  impliceert, als … dan …  bi-impliceert, dan en slechts dan als ….. (aesa) Proposities worden opgebouwd m.b.v. deze logische connectieven (en atomen of propositieletters: p, r, q, enz.). “Je blijft van de dropjes af, zo niet, dan zwaait er wat!” P  ¬ p  q is toch fout: P  (¬ p  q) N.B. het betekenisverschil tussen: P  (¬ p  q) & (P  ¬ p)  q

16 16 Waarheidswaarden Een propositie heeft een waarheids- waarde : waar (W) of onwaar (O) We schrijven v(W) voor de waarheidswaarde (‘ value ’) van A W en O worden soms ook wel aangegeven met 1 resp. 0

17 17 Waarheidstafels Waarheidstafels geven een uitputtende opsomming van waarheidswaarden van de constituerende proposities van een logische uitdrukking. Bijv. voor de negatie geldt: v(¬A) = W als v(A) = O v(¬A) = O als v(A) = W

18 18 De waarheidstafel van ‘niet’ (negatie)

19 19 Waarheidstafel voor ‘en’ (conjunctie)

20 20 Waarheidstafel voor ‘of’

21 21 Waarheidstafel voor ‘als-dan’

22 22 Waarheidstafel voor ‘aesa’

23 Samenvatting en samenhang 23                   W OWWWW W OOWOOO O WWWOWO O WOOWW

24 24 Opmerking over implicatie niet De implicatie in propositielogica komt niet helemaal overeen met de ‘als … dan’ in natuurlijke taal! Vergelijk: Als de maan van kaas is, dan zal het oppervlak wel lekker smaken Als de maan van kaas is, dan is 2 x 2 = 5 Beide proposities zijn waar omdat de premisse onwaar is, maar de eerste lijkt veel ‘zinniger’ dan de tweede! Er hoeft geen causaal verband tussen A en B te bestaan om toch logische dingen te zeggen! VRAAG: VRAAG: WELKE VOLGENDE ZIN IS EEN WARE UITSPRAAK? 1.(A  B)  (  B   A) 2.(A  B)  (  A   B) Hoe beantwoordt de logica die vraag? Ga naar oplossing.Ga naar oplossing

25 25 Tautologie en contradictie Als een logische expressie in alle gevallen de waarheidswaarde W heeft, noemen we deze expressie een tautologie. Als een logische expressie in alle gevallen de waarheidswaarde O heeft, noemen we deze expressie een contradictie.

26 26 Voorbeeld: (A  B)  (C  (  B   C))

27 27 Redeneervormen in de klassieke logica Hoofdstuk 3 van W. de Jong’s boek. 1.Inductieve redenering 2.Deductieve redenering Geldigheid en deductieve reconstructies Deductieve geldigheid en redeneervormen Redeneren via assumpties 3.Logische geldigheid 4.Drogeredenaties

28 28 De inductieve redenering: uitleg Definitie: “Een redenering P 1, ….. P n / C is inductief geldig wanneer de conclusie C tot op zekere hoogte aannemelijk of waarschijnlijk wordt gemaakt door de premissen P 1, ….., P n. N.B. dat het verband tussen de premissen en de conclusie niet noodzakelijk is! Zie voorbeeld:

29 29 De inductieve redenering: voorbeeld (p1) zwaan z1 is wit (p2) zwaan z2 is wit (p3) zwaan z3 is wit (p4) zwaan z4 is wit. (pn) zwaan zn is wit (C1) Alle zwanen zijn wit z(C2) probabiliteit (alle zwanen zijn wit, p1...., pn) = a z(C2, informeel) z'De probabiliteit van de conclusie dat alle zwanen wit zijn in het licht van premissen p1... pn = a' z(Hypothese op grond van C2) z(H1) De zwaan die ik morgen in Artis aantref, zal wit zijn zHypothese (H1) is redelijk in het licht van de premissen van redenering I: als uit die redenering (C2) volgt, is het redelijk om ook (H1) te accepteren. Hypothesen op grond van onbetrouwbare generalisaties zullen snel weerlegd worden.

30 30 De inductieve redenering: onderverdelingen: de Abductie zDe Abductie P1:De straten worden nat C:Het regent. Waarom is dit geen geldige inductieve redenering?

31 31 De inductieve redenering: onderverdelingen: Analogie zDe analogieredenering Eén of een aantal objecten (zeg x) hebben de eigenschappen A, B, en C, maar ook eigenschap D. Eén of een aantal objecten (zeg U) hebben de eigenschappen A, B en C. C: Objecten U hebben de eigenschap D.

32 32 De analogieredenering: voorbeelden Vaak zijn de premissen wel waar, maar is de redenering ongeldig, hoewel deductief te werk wordt gegaan. Neem bijvoorbeeld volgend syllogisme: z"Dolfijnen zijn zoogdieren. Sommige zoogdieren leven in de zee. Dolfijnen leven in de zee“. De ongeldigheid van deze redenering is niet dadelijk inzichtelijk. Dat wordt het wel als we het syllogisme vullen met nationaliteiten en landen: z"Nederlanders zijn mensen. Sommige mensen leven in Vlaanderen. Nederlanders leven in Vlaanderen."

33 33 De inductieve redenering: onderverdelingen: zRedeneren op basis van getuigenissen of meningen van anderen (ook: autoriteits- argument genoemd). A getuigt dat p, dus p.

34 34 De inductieve redenering: haar zwakte (p1) zwaan z1 is wit (p2) zwaan z2 is wit (p3) zwaan z3 is wit (p4) zwaan z4 is wit. (pn) zwaan zn is zwart (C1) Alle zwanen zijn wit

35 35 De inductieve redenering: nogmaals Een redenering als geheel wordt sterker als: zde premissen worden versterkt (principe van directe variatie); zde conclusie wordt afgezwakt (principe van inverse variatie); zde kans op een bepaald voorbehoud afneemt (principe van onwaarschijnlijke voorbehouden).

36 36 De deductieve redenering Een klassieke definitie is als volgt: zEen redeneerwijze van de volgende schematische vorm: z‘Uit uitspraken van soort A volgt een uitspraak van soort B’, is deductief precies wanneer élk voorbeeld van dat schema aan de volgende eis voldoet: yals de uitspraak van soort A waar is dan is de uitspraak van soort B waar. Omdat de waarheidseis wordt opgelegd aan élk voorbeeld, zegt men ook wel: als de uitspraak van soort A waar is dan móet de uitspraak van soort B waar zijn (dan is de uitspraak van soort B noodzakelijkerwijs waar). Een bepaalde redenering is deductief precies wanneer de gebruikte redeneerwijze deductief is.

37 37 Deductieve redeneringen zVolgens deze klassieke definitie zijn deducties regelmatig. De regelmatigheid heeft betrekking op waarheidswaarden. Voorbeeld: soort A betreft paren uitspraken van de vorm “als p dan q” en “p”. Hierbij duiden p en q willekeurig te kiezen uitspraken aan. Soort B betreft uitspraken van de vorm “q”. De redeneerregel zegt: als p dan q, en p, dus q. Bijvoorbeeld: P1: als het regent worden de straten nat; P2: het regent; C: de straten worden nat.

38 38 Deductieve voorbeelden Voorbeelden: zAlle mensen hebben vocht nodig. Jan is een mens. Dus heeft Jan vocht nodig. zAlle planeten draaien om de aarde. Mars is een planeet. Dus draait Mars om de aarde (Dit is een logisch juiste redenering op basis van een onware premisse, en met een onware conclusie). zDe uitspraak ‘ieder mens heeft een moeder’ is logisch gelijkwaardig aan de uitspraak ‘voor ieder mens geldt dat er een (ander) mens is die moeder is van de eerstgenoemde persoon’. zAlle mensen hebben vocht nodig. Léonore heeft vocht nodig. Dus is Léonore een mens (In feite is Léonore de naam van een poes. De redeneerwijze ‘als p dan q; q; ergo p’ is níet deductief!).

39 39 Vormen van deductieve argumentaties zijn: z Ex consequentia-redenering; z Negatie van het antecedent; z Disjunctief syllogisme; z Het dilemma; z De reductio ad absurdum; z Modus tollens; z Drogredenaties: y Meerzinnigheid; y Amfibolie; y Foutieve suppositie

40 40 BEZWAREN: BEZWAREN: zde ex consequentia redenering is logisch ontoereikend om ware kennis van de werkelijkheid te verkrijgen. zAls we besluiten dat we koorts zullen krijgen (p) als we ziek zijn (q) volgend uit de redenering 'Als we koorts hebben (p), dan zijn we ziek (q)', dan is deze conclusie onterecht. We kunnen immers ook ziek zijn zonder koorts te hebben. de ex consequentia redenering

41 41 Negatie van het antecedent;

42 42 Disjunctief syllogisme;

43 43 Het dilemma;

44 44 De reductio ad absurdum;

45 45 Modus tollens 1.Redeneren met een implicatie als premisse zModus Ponens: p → q, p Dus: q 2.Redeneren met een negatie van de consequentie een onder bepaalde voorwaarden geldig syllogisme met twee premissen, waarvan de eerste een voorwaardelijke uitspraak is waarvan de consequens door de tweede premisse wordt ontkend, en wordt wel afgekort tot MT. Voorwaarde voor de geldigheid is dat er sprake moet zijn van een equivalentie. Dit betekent dat de tweede premisse enkel mogelijk gemaakt kan worden door de eerste premisse geldigsyllogismepremissenconsequens zModus Tollens: p → q ¬p Dus: ¬p Modus Tollens betekent letterlijk (verwerpenderwijs). Ook bij de Modus Ponens en Modus Tollens kan sprake zijn van een dubbele implicatie. Hier zijn dus ook weer meerdere varianten mogelijk.

46 46 Drogredenaties zRedeneringen waarin met opzet of onbewust een fout (fallacies) in de redenering wordt gemaakt. zVan Dale: een bedrieglijke reden(en) of redenering, sophisme. z Drogredenatie in dictione z Drogredenatie extra dictionem

47 47 Drogredenaties: de meerzinnigheid (a: in dictione);

48 48 Drogredenaties: de amfibolie (b: in dictione) Op niveau van woorden van de taal: Op niveau van woorden van de taal: bijv.: “Er zijn situaties waarin de beste manier om de patiënt te genezen eruit bestaat dat men hen helpt vredig te sterven. De arts die het verzoek van de patiënt in zo’n situatie inwilligt, treedt op dat moment op als genezer par excellence” (Minister Borst, Volkskrant, NL). O p niveau van grammatica: O p niveau van grammatica: bijv.: Twee vrienden, de een pacifist en de ander in het gewapend verzet discussieerden over de vraag of gewapend verzet wel te rechtvaardigen was. De pacifist schreef: ‘Ik neem best aan dat je dit uit sociale bewogenheid hebt gedaan. Maar géén principe kan de dood van ook maar één mens rechtvaardigen’. Op de aansporing de wapens neer te leggen antwoordde de ander: ‘Inderdaad, geen principe, ook niet dat van de geweldloosheid, kan de dood van ook maar één mens rechtvaardigen. Daarom moet ik doorvechten, …’

49 49 Drogredenaties: de foutieve suppositie (c: in dictione)

50 50 Inleiding zdrogredenen = redeneringen waarvan de argumenten ten onrechte als ‘sterk’ gepresenteerd worden zwilt niet zeggen dat de conclusie (dat men uit deze redenering trekt) fout is, wel de redenering zdoel van deze presentatie: drogredenen herkennen en vermijden te gebruiken/over te kopiëren

51 51 Klassieke drogredenen 1. Secundum quid (overhaaste generalisatie) Op basis van enkele ervaringen, verregaande conclusie trekken. vb:ik ken een onaardige vegetariër ik las een recensie over een ongezellig vegetarisch restaurant dus: vegetariërs zijn ongezellige en onaardige mensen Een dergelijke conclusie kan pas algemene zeggingskracht hebben, wanneer dit gecontroleerd wordt (wordt mijn mening niet beïnvloedt door mijn voorliefde voor vlees?). De vraag nu is: hoeveel gevallen zijn er nodig om een algemene regel te concluderen?

52 52 Klassieke drogredenen 2. Petitio principii (cirkelredenering) Een argumentatie waarvan wat bewezen moet worden als bewezen aanneemt. vb: die fiets is van mij want ik ben de rechtmatige eigenaar Er wordt iets herhaald wat juist ter discussie staat. Dit is moeilijk te ontleden in een lang en ingewikkeld betoog.

53 53 Klassieke drogredenen 3. Non sequitur (‘dat volgt er niet uit’) De argumenten op zich zijn juist, maar de conclusie volgt niet uit de argumenten. vb:Artsen hebben de intentie het goede voor patiënten te doen. Euthanasie mag in Nederland alleen door artsen worden uitgevoerd. Dus: Euthanasie is het goede voor patiënten. Er is veel meer nodig om dit te kunnen concluderen. Speciale vorm: Post hoc, ergo propter hoc (later dus veroorzaakt) vb: ik was ziek, ik nam een kruidendrankje daarna was ik genezen dus: kruidendrankje geneest

54 54 Klassieke drogredenen 4. Argumentum ad ignorantiam (‘onwetendheid’) Uit het feit dat iets niet bewezen is, leidt men af dat het tegenovergestelde wel bewezen. vb: het is onduidelijk of een bepaald dierexperiment verboden is dus: het betreffende experiment is wenselijk In bepaalde situaties is dit wel zo: vb: het is niet bewezen dat iemand schuldig is dus: (voor het gerecht) is de persoon onschuldig Bij duidelijk premissen ook: vb: Het schaap is wit of zwart Het schaap is niet wit Dus: het is zwart

55 55 Klassieke drogredenen 5. Analogie De structuur waarover de discussie gaat, uitleggen met iets anders waarvan we de structuur wel goed kennen. vb: Euthanasie staat ter discussie. Je laat een hond toch ook niet afzien. (dixit De Gucht!) Dus: euthanasie is goed Deze vergelijking loopt mank als we gaan nadenken over de waarde en plaats van de mensheid in de samenleving. Een mens is niet hetzelfde als een hond!

56 56 Klassieke drogredenen 6. Het argument van het hellend vlak (domino) Redenering waarbij de (on)wenselijkheid van een maatregel ter discussie staat. De redenering bestaat uit een schakels van gevolgen die in toenemende mate onwenselijk zijn. vb: Is legaliseren van euthanasie wenselijk? Neen, want: je begint bij mensen die ernstig lijden en die een doodswens hebben, vervolgens is een doodswens zonder lijden voldoende en daarna kan iedereen gedood worden die geen expliciete levenswens heeft. Dus: als je dat doet, is het hek van de dam! Deze redenering loopt over heel wat ‘schakels’ die elk noodzakelijk zijn om het onwenselijke te krijgen. Als één schakel niet klopt, dan klopt de redenering ook niet. Je moet dus elke schakel toetsen of ze correct is.

57 57 Discussie-drogredenen 7. Ad verecundiam (uit eerbied) Onterecht beroep doen op gezag van persoon/instantie om bepaald standpunt te verdedigen. vb: vertegenwoordiger aan HA: nochtans zegt Prof. Hupeldepup van NKO dat Flixonase Aqua de eerstekeuzebehandeling is voor allergische rhinitis vb: Dat vindt de regering ook. vb: GOBSAT

58 58 Discussie-drogredenen Speciale variant: ad maioritaten vb: Een meerderheid in Nederland is tegen biotechnologie bij dieren Dus: biotechnologie is onaanvaardbaar Een beroep op de meerderheid is een drogreden als het gaat om vaststellen van morele standpunten: 1.is de meerderheidsopvatting wel een moreel oordeel? Is het niet gewoon een optelsom van impulsieve standpunten? Op welke wijze is deze meerderheid vastgesteld? (De waarde van opiniepeilingen bij het bepalen van morele standpunten is verwaarloosbaar klein omdat de vragen vaak oppervlakkig zijn en de standpunten niet goed uitgewerkt. cfr volksraadpleging Europese grondwet) 2.heeft de meerderheid wel gemeenschappelijke morele argumenten? Misschien is er wel een gemeenschappelijke opvatting, maar hebben de mensen een totaal verschillende argumentatie hiervoor. 3.Beroep doen op de ‘Democratie’ om een meerderheidsstandpunt te doen gelden: eerst afvragen of het democratisch kan besloten worden en of het geen rechten van minderheden in het geding brengt. Maar dan nog: dit wilt niet zeggen dat het morele debat afgesloten is.

59 59 Discussie-drogredenen 8. Ad hominem (op de persoon) De kritiek op het argument van de opponent wordt vervangen door kritiek op de opponent zelf. vb: Wetenschappers zijn zo verblind door hun wens om belangrijke ontdekkingen te doen, dat ze geen oog hebben voor de belangen van proefdieren. Daarom zijn hun argumenten over proefdiergebruik op voorhand buiten de orde. Speciale varianten: Ad populum (‘de vijand’) Ad misericordiam (‘hard gewerkt voor examen’)

60 60 Discussie-drogredenen 9. Amfibolie (dubbelzinnige betekenis vd taal) Gebruik makend van de eigenaardigheden van de taal: yop niveau van woorden: vb: “Er zijn situaties waarin de beste manier om de patiënt te genezen eruit bestaat dat men hen helpt vredig te sterven. De arts die het verzoek van de patiënt in zo’n situatie inwilligt, treedt op dat moment op als genezer par excellence” (Minister Borst, Volkskrant, NL) yop niveau van grammatica: vb: Twee vrienden, de een pacifist en de ander in het gewapend verzet discussieerden over de vraag of gewapend verzet wel te rechtvaardigen was. De pacifist schreef: ‘Ik neem best aan dat je dit uit sociale bewogenheid hebt gedaan. Maar géén principe kan de dood van ook maar één mens rechtvaardigen’. Op de aansporing de wapens neer te leggen antwoordde de ander: ‘Inderdaad, geen principe, ook niet dat van de geweldloosheid, kan de dood van ook maar één mens rechtvaardigen. Daarom moet ik doorvechten, …’

61 BIJLAGEN & ‘BEREKENINGEN’ zNu volgen er allerlei sheets die uitwerkingen van voorafgaande sheets betreffen. Via klikken kan men heen en weer springen in de presentatie, mits de presentatie ook in weergave- en niet in bewerkmodus wordt weergegeven. 61

62 1.(A  B)  (  B   A) is waar 2.(A  B)  (  A   B) is onwaar A B A  B  B   A(A  B)  (  B   A) W WWW W OOOW O WWWW O WWW 62 A B A  B  A   B(A  B)  (  B   A) W WWW W OOWW O WWOO O WWW De wet van de contrapositie. Talige voorbeelden zijn:  klikklik

63 Talige voorbeelden van de vorige 2 “uitspraken” zijn: z1: Als je rijk bent dan ben je gelukkig, dat impliceert dat als je niet gelukkig bent dat je dan niet rijk bent. z2: Als je rijk bent dan ben je gelukkig, dat impliceert als je niet rijk bent je niet gelukkig bent. 63 In cirkels weergegeven (verzamelingenleer!) klik hierklik hier

64 In cirkels of vendiagrammen weergegeven. MENSEN 64 Gelukkige mensen Rijkaards Terug naar de implicaties


Download ppt "Logica & Verzamelingen Deels naar aanleiding van sheets van Prof. Dr. J.-J. Ch. Meyer ( ICS - UU ) en bewerkt voor de Hogeschool Inholland door drs. M."

Verwante presentaties


Ads door Google