De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Meetkunde met Algebra Aad Goddijn (Fisme) Winter 2014.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Meetkunde met Algebra Aad Goddijn (Fisme) Winter 2014."— Transcript van de presentatie:

1 Meetkunde met Algebra Aad Goddijn (Fisme) Winter 2014

2 2 Overzicht Wat was Analytische Meetkunde? –Achtergronden vroeger en nu –Descartes: Meetkunde via algebra –Later: coördinaten, algebra, het klassieke programma Wat wordt het nu? –Vier opgaven van nu: meetkunde met Algebra –Vorm, vervorming, hoeken, beweging –Bedoeling: startpunten voor verder ontwikkelen. Samenvatting, –Terugblik, overzicht, achtergronden

3 3 A: Wat was Analytische Meetkunde?

4 4 La Géométrie Dover, tweetalig (F,E) (used from $0.89 (2 nd ) Voorplaat: bij oplossen 6e-graadsvergelijkingen. De traditie zegt: Descartes vond de AM uit. Is dat zo ????????????

5 5 Descartes’ filosofie achter La Géométrie uit 1637 (elk vraagstuk dat over grootheden gaat, kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem) elk meetkundig probleem kan worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem; dat kan worden teruggebracht tot het oplossen van een of meer vergelijkingen met één of meer onbekenden. weet je de oplossing, dan kun je de afstanden (meetkundig) construeren Samengevat: Meetkunde via de algebra

6 Hoe doet ie dat? 1.De analytische methode 2.Localisering via afstanden x en y, ( ~ coördinaten) 3.Het nieuwe vermenigvuldigen 6

7 7 Descartes 1: de analytische methode Neem aan dat het probleem opgelost is Geef namen aan bekenden en onbekenden; a, b, c, x,y,z Ver- gelijkingen opstellen algebra

8 8 Vlaggemast, probleem en oplossing Aan de top van een rechtopstaande vlaggemast zit een koord. Eén meter vanaf het losse eind zit een knoop. Als het koord los naar beneden hangt, komt de knoop precies op de grond. Je trekt aan het eind van het touw en brengt dat eind zover mogelijk van de mast naar de grond. Het koord raakt nu de grond op 5 meter van de voet van de mast. Vraag Hoe hoog is de vlaggemast? Stap 1 Stap 2: x, x+1, 5 x 1 5 x Stap 3: (x+1) 2 = x Stap 4: ………. X = 12

9 9 Descartes 2: ‘coördinaten ??’ Curve, mechanisch beschreven door punt C x en y zijn afstanden tot twee vaste lijnen Het abc van Descartes: x, y, z: onbekenden a, b, c: bekenden x (CB) y

10 3: Het nieuwe vermenigvuldigen van lijnstukken 10

11 11 Euclides: lijnstuk * lijnstuk is oppervlakte Natuurlijk verband tussen graad (aantal factoren) en dimensie

12 12 Descartes: lijnstuk * lijnstuk = lijnstuk AB : BD = BC : BE AB * BE = BD * BC AB = 1 1 AB * BE = BD * BC BE = BD * BC

13 13 Niet- homogene vormen z q NP =: q  QNP=  TOP SR = z 3 Etc…

14 14 Niet- homogene vormen

15 Cursus AM okt-nov 2008 Historiegaat vooraf 15 Hilbert, rond 1900 Hilbert weet dat de stelling van Pappos een noodzakelijk axioma is.

16 Cursus AM okt-nov 2008 Geometrisch of papagaai? 16 (a + b)  ( c + d)

17 17 Later … Coördinatengebruik kenmerkt de AM. Figuur en vergelijking zijn gelijkwaardig. Maar … figuur Vergelijking F(x, y) = 0 snijden Los x en y op uit G(x, y) = H(x, y) =0 figuur snijden

18 18 Uw meetkundeboek ziet er voortaan zo uit

19 19 Mijn zelftoets: Torus analytisch doorsnijden Torus: wentel cirkel (r, (R,0,0)) om z-as. y x z

20 20 Twee aanzichten, Snijden met dubbelraakvlak Op de wijze van BM (anno 1939) In het bovenaanzicht zie je twee cirkels !!!!!!!! Bewijs dat met algebra!

21 Speeltuin? Martelkamer? 21

22 22 Vroeger op school: Noodgedwongen bijna geheel beperkt tot 1e- en 2e- graadsvergelijkingen. Microscopie van de tweedegraadsvergelijking, die allemaal kegelsneden als figuur hebben. Hoogste punt: Determineer (gegeven A, B, C) de aard van : Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

23 23 Inhoud, overzicht van de boeken (Grondslagen) Lijnen Cirkels (Macht en machtlijn) (Meetkundige plaatsen) Ellipsen Parabolen Hyperbolen (Bundels, coordinaat- transformaties) (Grondslagen) Lijnen Cirkels (Macht en machtlijn) (Meetkundige plaatsen) Parabolen Ellipsen Hyperbolen (Bundels, coordinaat- transformaties) Revolutievariant:

24 Standpunt nu Wel algebra gebruiken! Liefst geïntegreerd Focus op conceptverwerving meetkunde MET algebra. Vandaag: –dit standpunt verkennen via vier (drie, één) opgaven en discussie. 24

25 Opgave 1:Vierkanten voltooien 25 Eerst berekening invullen, later pas resultaat!

26 26 Twee liggingen

27 Berekening als gids naar formules voor x D en y D 27 (Rood óók !!)

28 Rode resultaat als controle voor groene formule x D 28

29 Punten van overweging en discussie (1) Rekenen met absolute verschillen uitgelokt door numeriek voorbeeld. Algebraformule blijkt mooi onafhankelijk van ligging. Verschillen als Gerichte Grootheden. P, Q, R op één lijn: Afst(P,Q) + Afst(Q,R) =? Afst(P,R) GG(P,Q) + GG(Q,R) = GG(P,R) Gerichte grootheden maken het huwelijk van meetkunde en algebra gelukkig. Descartes begreep hier nog niet veel van! Freudenthal: –Algebraisch-meetkundig permanentie-principe Waarom dit niet met vectoren? ……. 29

30 Punten van overweging en discussie (2) Is één karakteristiek numeriek voorbeeld genoeg? x D = x A + (y A – y B ) is betekenisvoller dan 91 = Namen maken algebra betekenisvol, getallen niet. Alle niet-wiskundigen weten dat beter dan wij.. 30

31 31 Intermezzo: Cirkelvergelijking opstellen D: Waarom doe je dat? l: “Ik dacht dat ‘t moest.” D: Welke regel vertelt het best dat het een cirkel is? l: De eerste. Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (4,1) die door (6,2) gaat. Commentaar: Met de haakjes mee wordt de wiskunde verdreven.

32 Opgave 2: een cirkel vervormen. Onderwerp: Verwantschap figuur en vergelijking Van figuur 1 naar figuur 2 en van vergelijking 1 naar vergelijking 2 Inleidende voorbeelden met vaste structuur. 32

33 Algebra, transformaties, terugkijken Vergelijking origineel: F(x, y ) = 0 Verschuiven over (16, 5). Vergelijking beeld: F(x-16, y-5 ) = 0 Dus (x-16, y-5) in origineel. (x, y)

34 34 Para-I draait 90 graden om O naar para-II I: y= x (x-4)/4 (x, y) op II komt van (y, -x) op I. Die ligt op het origineel. Dus: II: (-x) = y(y-4)/4 x = y(4-y)/4 (x, y) (y, -x)

35 35 Cirkel: x 2 + y 2 = 36 (x, y) komt van (x, 2y). (x, 2y). ligt op de originele cirkel. Dus: Ellips: x 2 + (2y) 2 = 36 Terzijde: is dat dezelfde ellips als de echte?

36 Opgave 2 (pittig..) Transformeer in enkele stappen de vergelijking van de eenheidscirkel naar die van deze ellips met assen 2 en 4. (laatste schuifstap misschien als huiswerk) 36

37 Discussie ….. Terugkijkmethode generiek aanbieden. Per transformatiesoort oefenen lijkt aardig.. Maar helpt niet bij methode-transfer van schuiven naar draaien (bij para I>>II) ‘Uitwerken’ van vergelijkingen hier niet echt van belang. 37

38 38

39 Opgave 3: Hoeken en spiegelen 39

40 Commentaar Hoeken, ook graag georienteerd bij AM Hoek van een lijn: rc, en De tangens heeft periode 180. Hoek van een straal: volle cirkel. Dit is de GGB- hoek. In de formule staat de factor 2 bij de hoek die zelf maar tot 180 mag gaan! Antwoord toegevoegde vraag c: JA. Georienteerde hoeken en algebra gaan net zo samen als georienteerde afstanden en algebra. 40

41 Opgave 4: Bewegen en vectoren 41

42 GGB-ontwerp, schuifjes, glijden 42

43 Schuivende lijn 43 Onderzoek het verband tussen de snelheden van boven- en onderkant van de glijdende ladderlijn. P(t) Q(t)

44 Vragen Wat ga je meer vastleggen in de vraagstelling? Intuitief: als de ladder stil staat de bovenkant … maar met.. Toepassingen hiervan? Vectoren? Probeer. Of: de lengte verandert niet in de tijd. Afgeleide gebruiken? 44

45 Mogelijke antwoorden Projecteer de bewegingen op de ladderlijn zelf. P(t) 2 + Q(t) 2 is vast. Differentieëer dat. 45

46 Nadere discussie vectoren Vectoren: optimaal bij beweging. Minder bij positie. Wezen van de vector: een verplaatsbaar verschil. Zie opgave 1; snelheid is ook een verschil, een tijdgeschaald verschil. Samenstellen én verdelen. (Zoals hier) Kracht van inproduct eigenlijk pas in 3D. In 2D kan al het belangrijke evengoed zonder: Loodrechte standen, lengte, cosinusregel. 46

47 C: Terugblik, samenvatting Historische inleiding met didactisch accent: de methode Descartes. Algebra is betekenisvol in de meetkunde via zijn eigen structuur. (Dat is heel wat meer dan het lijken van de eb-vloed grafiek op een sinuslijn) Relativering van de waarde van losse numeriek voorbeelden om tot generalisatie te komen. Formules liever opstellen via variabelen met namen. Vier voorbeelden met centraal idee. Mogelijk verder ontwikkelbaar … 47


Download ppt "Meetkunde met Algebra Aad Goddijn (Fisme) Winter 2014."

Verwante presentaties


Ads door Google