Physics of Fluids 4 Viscous flows

Presentatie over: "Physics of Fluids 4 Viscous flows"— Transcript van de presentatie:

1 Physics of Fluids 4 Viscous flows
Bernoulli (2) Sound velocity

2 Inhoud  Navier-Stokes vergelijking  Bernoulli
 Analytische oplossing van een visceuze stroming  Geluidssnelheid

3 Massabehoud Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking
verandering in de tijd letterlijk stroming (in – uit) productie = krachten

4 Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking
massa instroom m linkervlak in tijdsinterval Dt: m = r(x,y,z) u(x,y,z) Dt DyDz deze massa heeft een snelheid u in de x-richting dan is de impuls mu die in het kubusje stroomt: (mu)in = r(x,y,z) u(x,y,z) u(x,y,z) DtDyDz impuls uitstroom rechtervlak (mu)uit = r(x+Dx,y,z) u(x+Dx,y,z) u(x+Dx,y,z) DtDyDz verandering impuls in x-richting per tijdseenheid Dt

5 Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking
massa instroom m onderste vlak in tijdsinterval Dt: m = r(x,y,z) w(x,y,z) Dt DxDy deze massa heeft een snelheid u in de x-richting dan is de impuls mu die in het kubusje stroomt: (mu)in = r(x,y,z) u(x,y,z) w(x,y,z) Dt DxDy impuls uitstroom bovenste vlak (mu)uit = r(x,y,z+Dz) u(x,y,z+Dz) w(x,y,z+Dz) Dt DxDy verandering impuls in z-richting per tijdseenheid Dt

6 Incompressibele stroming: Navier-Stokes vergelijking
visceuze krachten niet lineaire termen snelheid u in x-richting snelheid v in y-richting Laplace operator divergence of velocity field gradient operator non linearity snelheid w in z-richting

7 Hydrostatic equilibrium
Zero velocity: (u,v,w)=0 Laplace operator divergence of velocity field gradient operator non linearity

8 Voorwaarden voor toepassen Bernoulli
Steady state: Viscositeit: m=0 Euler equations Bernoulli: som is constant langs een stroomlijn

9 Pythagoras beker

10 Pythagoras beker Waarom loopt het glas leeg?

11 Verklaring Bernoulli h1 h2 Op stroomlijn geldt Druk p1 = p3 = patm
Incompressibel Steady-state Wrijvingsloze stroming h1 h2 z Op stroomlijn geldt Druk p1 = p3 = patm Snelheid V1 << V2 = V3

12 Verklaring Bernoulli h1 h2 z Snelheid

13 Verklaring Bernoulli h1 h2 z Snelheid Druk

14 Viscositeit m source: Munson et al

15 Wanneer mogen we viscositeit verwaarlozen?
Veronderstel twee-dimensionale, steady-state pijpstroming in de x- en z-richting. De zwaartekrachtsversnelling is neerwaarts in de z-richting, g=(0,0,-g)

16 Bepaal karakteristieke waarden stromingsvariabelen
De fysische variabelen zijn u, w, x, z, en p De "karakteristieke" waarden voor deze variabelen zijn Snelheid V bijvoorbeeld gemiddelde stroming in een pijp Lengteschaal L bijvoorbeeld diameter van de pijp Druk p0 druk "ergens "in de pijp, tov atmosferische druk ~ rV2

17 Introduceer dimensieloze variabelen
Substitutie levert

18 Introduceer dimensieloze variabelen
Substitueer in de vergelijkingen

19 Reynolds getal Osborne Reynolds ( ) Uit de schaalanalyse kunnen we concluderen dat visceuze krachten mogen worden verwaarloosd indien Re>>1

20 Reynolds getal Typische Reynolds getallen

21 Visceuze stroming tussen twee platen
source: Munson et al Probleemstelling Stroming is incompressibel Snelheidsvector parallel aan twee oneindig lange platen met vaste afstand 2h No-slip conditie op platen Stroming is steady state Visceuze krachten mogen niet verwaarloosd worden

22 Visceuze stroming tussen twee platen
Probleemstelling 1. Stroming is incompressibel 2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0 3. Oneindig lange platen: (anders kan u naar oneindig gaan)

23 Visceuze stroming tussen twee platen
Probleemstelling 1. Stroming is incompressibel 2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0 3. Oneindig lange platen: 4. Steady state: 5. Zwaartekracht: g=(0,-g ,0)

24 Visceuze stroming tussen twee platen
Probleemstelling 1. Stroming is incompressibel 2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0 3. Oneindig lange platen: 4. Steady state: 5. Zwaartekracht: g=(0,-g,0)

25 Visceuze stroming tussen twee platen
Integratie Integratie Integratie Hydrostatische druk in de y-richting

26 Visceuze stroming tussen twee platen
"No-slip" randvoorwaarde: u(y=±h)0 Trek deze vergelijkingen van elkaar af Oplossing snelheidsprofiel:

27 Visceuze stroming tussen twee platen
De volume flux (per eenheid van lengte in de z-richting) De gemiddelde snelheid De maximale snelheid

28 Visceuze stroming in een pijp: Poiseuille stroming
Bij een verhoging van het hematocrietgehalte (verhouding bloedcellen/bloedplasma) van 40 naar 60, bijvoorbeeld door EPO, kan de viscositeit van bloed met een factor 3 toenemen

29 Samenvatting  Bernoulli toepassen
 Dimensieloos maken van vergelijkingen  Analytische vergelijking van een visceuze stroming