De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Afleidingen Signaaldetectietheorie Oppervlaktestelling S = LR c A z.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Afleidingen Signaaldetectietheorie Oppervlaktestelling S = LR c A z."— Transcript van de presentatie:

1 Afleidingen Signaaldetectietheorie Oppervlaktestelling S = LR c A z

2 Afleiding Oppervlaktestelling Oppervlaktestelling/ Area theorem: A is equivalent met proportie correcte antwoorden in 2AFC-experiment: Gegeven: 1 ruisstimulus 1 signaal (+ruis) stimulus, Welke is wat? Lijkt zinnig! Belangrijk maar lastig.

3 produceer een formule voor de proportie correct in een 2AFC- experiment (P c ) Produceer een formule voor de oppervlakte onder de ROC-curve A Laat zien dat de formule voor A erg veel lijkt op die voor P c Laat zien dat de formules identiek zijn. Aanpak:

4 P FA P H fnfnfnfn fsfsfsfs x 0 λ ∞ P H = ∫ f s (x)dx λ ∞ P FA = ∫ f n (x)dx λ = H(λ) = F A (λ) λ = F A -1 (P FA ) ROC-curve: P H = H(λ) = H[F A -1 (P FA )] Recap: In het algemeen: Specifiek model hangt af van f n and f s

5 fnfnfnfn fsfsfsfs x 0 λ ∞ P H = ∫ f s (x)dx λ ∞ P FA = ∫ f n (x)dx λ = H(λ) = F A (λ) Herinterpretatie voor 2A FC experiment: De twee alternatieven corresponderen met twee punten op de x-as. Stel dat λ de ruisstimulus is: P C = p(x s >x n ), indien x n = λ, p(x s >x n ) = H(λ) Alle H(λ) voor elke λ sommeren Wegen voor dichtheid van λ [= f n (λ)]: ∞ P C = ∫ H(λ)f n (λ)dλ -∞

6 P FA P H fnfnfnfn fsfsfsfs x 0 λ ∞ P H = ∫ f s (x)dx λ ∞ P FA = ∫ f n (x)dx λ = H(λ) = F A (λ) ROC-curve: P H [= H(λ)] as functie van P FA [ F A (λ)] ROC-curve: P H [= H(λ)] as functie van P FA [= F A (λ)] 1 A = ∫ H(λ)dF A (λ) 0 Oppervlakte onder Roc-curve: ∞ P C = ∫ H(λ)f n (λ)dλ -∞ Vgl: A lijkt op P C ; A is ook P C ; kun je bewijzen

7 afleiding (optioneel): dF A (λ) d(λ) = -f n (λ) ∞ P C = ∫ H(λ)f n (λ)dλ -∞ dF A (λ) = -f n (λ)dλ Nog twee kleine klusjes: integratielimieten en minteken f n (x)dx = 1 - f n (x)dx ∞ λ ∫ -∞ λ ∫ 1 A = ∫ H(λ)dF A (λ) 0 -f n (λ)dλ -f n (λ)dλ

8 Limieten: als F A (λ)=P FA = 0 dan λ = ∞ als F A (λ)=P FA = 1 dan λ = -∞ Omkeren: -H(λ)f n (λ)  H(λ)f n (λ) ∞ P C = ∫ H(λ)f n (λ)dλ -∞ ∫  ∫ 0 1 -∞ ∞ ∞ ∫  ∫ -∞ ∞ fnfnfnfn fsfsfsfs x 0 λ -∞   ∞ 1 A = ∫ H(λ)dF A (λ) 0 -f n (λ)dλ -f n (λ)dλ Van Integreren over F A naar integreren over λ 1 ∫ - H(λ)f n (λ)dλ 0

9 P FA P H ROC-curve: P H als functie van P FA Elk punt van ROC-curve geeft criterum/bias bij die gevoeligheid Richtingscoefficiënt raaklijn op dat punt als maat voor bias/criterium S =.49 dP H Richtingscoefficiënt S= dP FA Maten voor criterium

10 fnfnfnfn fsfsfsfs x 0 λ ∞ P H = ∫ f s (x)dx λ ∞ P FA = ∫ f n (x)dx λ dP H dP H dP FA = dx dP FA dx d(1-P FA ) dP FA P FA dP H = = f n, ---- = - f n, evenzo: = - f s …dx dx dx dx (kettingregel) dP H dP H /dx S = = dP FA dP FA /dx - f s f s = f n f n = LR c Maten voor criterium dP H Van naar dx dP FA

11 Gaussiaans model met ongelijke varianties Ruisverdeling blijft gelijk: μ = 0, σ = 1 Dus blijft ook: P FA = Φ(-λ), z FA = -λ Wat verandert is de signaalverdeling: μ s, σ s (≠ 1) dus wordt P H “gestandaardiseerd”: μ s – λ μ s – λ P H = Φ z H = σ s σ s De formules worden ingewikkelder en de z-getransformeerde ROC-curve heeft een richtingscoëfficient ≠ 1

12 PHPH P FA zHzH z FA -μs-μs μs/σsμs/σs P FA = Φ(-λ), z FA = -λ μ s – λ μ s – λ P H = Φ z H = σ s σ s Unequal variance model σ n =1, σ s tg(θ) = 1/σ s tg(θ) = 1/σ s θ z H = z FA μ s σ s

13 zHzHzHzH z FA ΔmΔmΔmΔm e a Δm maakt geen verschil tussen grote en kleine σ s Afstand tot oorsprong naar analogie met d' : O Measures: d e = Oe√2 d a = Oa√2 μ s √1 + σ s 2 μ s √1 + σ s 2 Z H = -Z FA (Pythagoras en gelijkvormige driehoeken)

14 Om A z, het oppervlak onder de ROC-curve van het Gaussiaanse model met ongelijke varianties te vinden: Produceer een formule voor het 2AFC-experiment onder dit model Volgens het oppervlakte theorema is dat gelijk aan A onder dit model = A z

15 PHPHPHPH Oppervlakte onder Gaussiaanse ROC- curve: A z P FA Oppervlaktestelling!!! Gaussiaans 2AFC: P C = p(x s >x n ) = p(x s -x n >0) n s

16 P C = p(x s >x n ) = p(x s - x n >0) -μ s =1 -Φ √1 + σ s 2 μ s =Φ √1 + σ s 2 -μs-μs = A z volgens oppervlaktestelling! De variantie van het verschil van twee onafhankelijke randomvariabele is de som van de beide varianties

17 PHPHPHPH Oppervlakte onder Gaussiaanse ROC-curve: A z P FA A z = Φ(d a /√2) Gelijke varianties: A z = A d' = Φ(d'/√2) (al aangetoond) tg √1/σ s μ s /σ s =Φ √1/σ s μ s =Φ √1 + σ s 2


Download ppt "Afleidingen Signaaldetectietheorie Oppervlaktestelling S = LR c A z."

Verwante presentaties


Ads door Google