De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

1 ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 6 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propedeuse, kernprogramma 2e kwartaal IBB.

Verwante presentaties


Presentatie over: "1 ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 6 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propedeuse, kernprogramma 2e kwartaal IBB."— Transcript van de presentatie:

1 1 ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 6 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propedeuse, kernprogramma 2e kwartaal IBB

2 2 De standaard logaritmische functie Beschouw de functie:y = 2 logx ( Derive: y = Log(x,2) ) en y = ½ logx ( Derive: y = Log(x, ½) )

3 3 De standaard logaritmische functie x0,511,522,533,544,55 y = 2 logx00,5811,321,581,8122,172,32 ∆y10,580,420,320,260,230,190,170,15 Waardentabel: y = 2 logx met g > 1

4 4 De standaard logaritmische functie Waardentabel: y = ½ logx met 0 < g < 1 x0,511,522,533,544,55 y = 1/2 logx10-0,58-1,32-1,58-1,81-2-2,17-2,32 ∆y-0,58-0,42-0,32-0,26-0,23-0,19-0,17-0,15

5 5 De standaard logaritmische functie Bij x = 1 is y gelijk aan 0, dit is het snijpunt met de x-as. Bij de logaritmische functie met grondtal 2 vertoont de functie een stijgend verloop, bij toenemende x wordt de mate van stijgen geringer. Bij de logaritmische functie met grondtal ½ vertoont de functie een dalend verloop, bij toenemende x wordt de mate van dalen geringer. Beide grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de x-as De toe – en afnamen van de functie y = g logx worden steeds kleiner Als g > 1, dan is de grafiek van de functie stijgend Als 0 < g < 1, dan is de grafiek van de functie dalend

6 6 De standaard logaritmische functie x-20¼½124 y = 2 logx-2012 y = 2 x ¼½11,191, Waardentabel: y = 2 logx en y = 2 x

7 7 De standaard logaritmische functie Eigenschappen Voor y = 2 logx geldt: x > 0. Voor y = 2 x geldt: y > 0 De x- en y waarden van beide functies zijn verwisseld. Beide functies zijn elkaars gespiegelde in de lijn x = y Beide functies zijn stijgend, echter bij toenemende x stijgt y= 2 x steeds sneller, y = 2 logx daarentegen steeds langzamer

8 8 Functievoorschrift van een logaritmische functie opstellen. De formulevorm is: y = a * 2 log(x + b) Als een logaritmische functie door de punten (-3,0) en (0,10) gaat, dan wordt de vergelijking gevonden de substitutiemethode a * 2 log(-3 + b) = 0↔ a = 0 of 2 log(-3 + b) = 0↔ -3 + b = 1 a * 2 log(b) = 10↔ a * 2 log(b) = 10↔ a * 2 log(b) = 10 ↔ b = 4 ↔ a = 10/2 = 5 (want: 2 log4 = x → 2 x = 2 2 → x = 2 ) De vergelijking van de gevraagde logaritmische functie is dan: y = 5 * 2 log(x + 4)

9 9 Functievoorschrift van een logaritmische functie opstellen. Als een logaritmische functie door de punten (3,0) en (6,3) gaat, dan wordt de vergelijking gevonden de substitutiemethode De formulevorm is: y = a * 4 log(x + b) a * 4 log( 3 + b) = 0↔ a = 0 of 4 log( 3 + b) = 0↔ 3 + b = 1 a * 4 log(6 + b) = 3↔ a * 4 log(6 + b) = 3↔ a * 4 log(6 + b) = 3 → b = -2 → a = 3 (want 4 log4 = 1) De vergelijking van de gevraagde logaritmische functie is dan: y = 3 * 4 log(x - 2)

10 10 Functievoorschrift van een logaritmische functie opstellen. Rekenregel functievoorschrift bepalen Om het functievoorschrift te bepalen moeten we de coordinaten van twee punten kennen om vervolgens twee vergelijkingen te kunnen opstellen waarin a en b de onbekenden zijn.

11 11 Transformaties Als de grafiek van y = g logx bij positieve p horizontaal p eenheden naar links wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = g log(x + p) Als de grafiek van y = g logx bij positieve p horizontaal p eenheden naar rechts wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = g log(x - p) Als de grafiek van y = glogx met een factor p wordt vermenigvuldigd t.o.v. de x- as, dan heeft de nieuwe grafiek de functievoorschrift y = p * g logx Als de grafiek van y = g logx bij positieve p verticaal p eenheden naar boven wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = p + g logx Als de grafiek van y = g logx bij positieve p verticaal p eenheden naar beneden wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = - p + g logx

12 12 Transformaties y = 2 logx y = 3 * 2 log(x+2) y = 3 * 2 log(x) y = * 2 log(x+2) y x De grafiek y = 2 logx wordt met factor 3 vermenigvuldigd t.o.v de x-as en vervolgens twee eenheden naar links en twee eenheden naar boven verschoven. Het functievoorschrift van de dan ontstane functie is dan: y = * 2 log(x + 2)

13 13 Transformaties

14 14 Rekenregels standaardfunctie met een factor vermenigvuldigen grafiek horizontaal verschuiven grafiek verticaal verschuiven

15 15 Logaritmische ongelijkheden Grafische oplossing Teken de grafiek van de functies uit het linker- en rechterlid van de ongelijkheid. Bereken de snijpunten van beide grafieken. Lees uit de tekening de oplossing af. Voorbeeld: De grafiek van : 1/3 logx < 2 Het snijpunt volgt uit: 1/3 logx = 2 ↔ x = 1/9 ( (3 -1 ) 2 = 1/3 2 = 1/9 ) Uit de tekening volgt: x > 1/9

16 16 Logaritmische ongelijkheden Algebraïsche oplossing: Schrijf het linker- en het rechterlid als één logaritme, beide met hetzelfde grondtal. Gebruik volgens de eigenschappen; g > 1 dan: a loga > g logb ↔a > b 0 g logb↔a < b

17 17 Logaritmische ongelijkheden Voorbeeld 1: 1/3 logx 1/9 1/3 logx < 2 ↔ x > 0 (bestaansvoorwaarde) We zeggen ook wel dat bij een logaritmische ongelijkheid met grondtal g met 0 < g < 1 het ongelijkheidsteken omklapt.

18 18 Logaritmische ongelijkheden Voorbeeld 2: 3 log(x 2 ) < 3 log(x + 2) 1/3 log(1/x 2 ) < 3 log(x + 2)x ≠ 0 (bestaansvoorwaarde linkerlid) x > -2 (bestaansvoorwaarde rechterlid ↔x 2 -2 ↔x2 – x – 2 -2 ↔(x – 2)(x + 1) -2 ↔-1 -2 ↔-1 < x < 0 of 0 < x < 2 Uitwerking: 1/3 log(1/x 2 )↔ 3 log1/x 2 / 3 log1/3↔ 3 logx -2 / -1 ↔-1 1 * -2 * 3 logx ↔ 2 * 3 logx↔ 3 logx 2

19 19 Grafiek voorbeeld < x < 0 of 0 < x < 2

20 20 Logaritmische ongelijkheden Voorbeeld log(x + 2) ≥ 3log(x – 4)bestaansvoorwaarde: log(x + 2) → x >- 2 3log(x – 4) → x >4 Snijpunt: log(x + 2) = 3log(x – 4)↔3log1/3 + 3log(x + 2) = 3log(x – 4) ↔3log (x +2) / 3 = 3log(x - 4) ↔(x + 2) / 3 = x – 4 ↔ -2x = -14 ↔ x = 7 Uit de tekening aflezen:4 < x ≤ 7

21 21 Grafiek uit voorbeeld 3 Uit de tekening aflezen:4 < x ≤ 7

22 22 Grafiek uit voorbeeld 3 Voorbeeld 4: Het aantal konijnen K in een duingebied wordt beschreven door de functie met de vergelijking: K = * 3 log(t + 1) Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1990 Teken de grafiek van deze functie voor de periode Hoeveel konijnen waren er op 1 januari 1995 ? In welk jaar zal het aantal konijnen de overschrijden ?

23 23 Grafiek uit voorbeeld 4 Voor t = 0 : 3 Log(0 + 1) = 3 Log1 = 0, invullen in de formule geeft voor K = 5000 K = : * 3 Log(5 + 1) ↔ * Log6 / Log3 ↔ K = log(t+1) > 5 ↔ 35 = t + 1 = 243→ t = 243 – 1 → t = 242 Het overschrijdingsjaar is: = 2232 (Tip: K = * 3log(t + 1) voor K = 15000)

24 24 EINDE Docent: M.J.Roos


Download ppt "1 ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 6 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propedeuse, kernprogramma 2e kwartaal IBB."

Verwante presentaties


Ads door Google