De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Approximate Cell Decomposition Allard Kamphuisen Niels Gorisse Motion Planning 15 januari 2003 Universiteit Utrecht.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Approximate Cell Decomposition Allard Kamphuisen Niels Gorisse Motion Planning 15 januari 2003 Universiteit Utrecht."— Transcript van de presentatie:

1 Approximate Cell Decomposition Allard Kamphuisen Niels Gorisse Motion Planning 15 januari 2003 Universiteit Utrecht

2 Inhoud Introductie Divide-and-Label Approximate-and-Decompose

3 Introductie (1/9) Enkele definities –A : robot –C : configuratie space C = R n óf C = R n X S 1 –CB : ruimte van object (C-obstacle) in C –q goal, q init

4 Introductie (2/9) k : een cel, deel van de decompositie van C –alle cellen samen => totale C-space Type cellen –EMPTY: intersectie interior met CB is leeg –FULL: interior ligt volledig in een CB –MIXED: alle andere gevallen

5 Introductie (3/9) Decompositie voorbeeld

6 Introductie (4/9) G : Connectivity graph –bevat EMPTY en MIXED cellen –er is een lijnstuk indien 2 cellen elkaar raken [ indien adjacent, intersectie is niet nul in R m-1 ] channel : rij opeenvolgende EMPTY/MIXED cellen E-channel : alleen EMPTY cellen M-channel : alleen MIXED cellen

7 Introductie (5/9) E-channel voorbeeld

8 Introductie (6/9) Het First-Cut Algoritme 1. Maak een rectangloid decompositie van de totale ruimte, en maak een connectivity graph G 2. Zoek een channel in G waarbij de eerste cel q init bevat en de laatste q goal. Is dit een E-channel, ga naar stap 4. M-channel: stap Decompose iedere MIXED cell in het gevonden pad. Ga naar stap Maak een pad door in het channel steeds naar het midden van de snijlijn van iedere volgende cel te gaan. Indien de daarop volgende cel tegen dezelfde edge ligt: ga eerst naar het middelpunt.

9 Introductie (7/9) First-cut voorbeeld (zonder cut)

10 Introductie (8/9) Stap 2 wetenswaardigheden –toch doorgaan met een korter M-channel als een lang E- channel gevonden is –Backtracking indien een cel na decompositie een ‘blind alley’ blijkt te zijn –Backtracking gebruikt labeling van paden voor hogere efficiëntie Decompositie (stap 1 en 3) technieken: –Divide-and-label –Approximate-and-decompose

11 Introductie (9/9) Nadeel: –geen upper bound voor de worst-case –upper bound is te introduceren dmv. gelimiteerde verhouding totale volume t.o.v. het totale volume van alle gevonden E en F cellen cellen groter zijn dan een minimum Voordelen: –makkelijk te implementeren –draait redelijk efficiënt

12 Divide-and-Label (1/7) 2 m -Tree Decomposition –ieder blad is een EMPTY, FULL of MIXED cel –MIXED cel : 2 m children –idee: iedere dimensie wordt in 2-en gehakt –m = dimensie van de C-space –vaak maximum aan hoogte van de tree

13 Divide-and-Label (2/7) Quadtree (m=2) voorbeeld

14 Divide-and-Label (3/7) Octree (m=3) voorbeeld

15 Divide-and-Label (4/7) Hoe berekenen we de status van een cel? C-sentence : omschrijving van gebied CB –conjuncties en disjuncties van C-constraints –C-constraint e ij : a ij x + b ij y + c ij <= 0 –C-constraint is dus een vlak –voorbeeld: S = e1 | (e2 & e3)

16 Divide-and-Label (5/7) C-constraints voorbeeld

17 Divide-and-Label (6/7) Berekenen status van een cel: –k is ‘inside’ (FULL): a ij x + b ij y + c ij <= 0 –k is ‘outside’ (EMPTY): a ij x + b ij y + c ij >= 0 –k is ‘cut’ (MIXED): alle andere gevallen –efficient door weglating van sentences

18 Divide-and-Label (7/7) –C-constraints in meerdere dimensies bv. in C = R 3 : a ij x + b ij y + c ij z + d ij <= 0 –C-constraints met hoeken, bv. C = R 2 x S 1 We nemen een verzameling C-sentences a ij (T)x+ b ij (T)y + c ij (T) <= 0 waarbij T (theta) een interval van hoeken is. Vervolgens voor iedere hoek in T de status bekijken en dan samenvoegen tot 1 status.

19 Probleem van de Divide-and-Label methode Cellen worden opgedeeld zonder informatie te gebruiken van de C-objekten. Dit levert een decompositie op met meer MIXED cellen die een grotere gebied opspannen dan nodig is. We zouden eigenlijk een decompositie wensen zoals in a), waar b) de Divide- and-Label decompositie weergeeft. De Approximate-and-Decompose Methode

20 Een nieuw principe: Bounding en Bounded approximations. Bounding approximation: Een collectie niet overlappende rectangloïden waarvan de union de C-objekten begrenst (Figuur 1 a). Bounded approximation: Een collectie niet overlappende rectangloïden waarvan de union begrenst wordt door de C-objekten (Figuur 1 b). Figuur 1: Bounding en Bounded approximationsFiguur 2: Gewenste decompositie Gewenste decompositie: EMPTY Cellen = complement van bounding approx. FULL Cellen = bounded approx. MIXED Cellen = bounding approx. - bounded approx.

21 De Approximate-and-Decompose Methode De Approximate-and-Decompose methode voor R 2 x S 1. 1) De 3D C-ruimte (R 2 x S 1 ) wordt over de rotatie-as in segmenten opgedeeld. Ieder segment wordt vervolgens apart behandeld. 2) Ieder segment wordt naar 2D geprojekteerd. Omdat het referentie punt O A van de robot in bepaalde oriëntaties dichter bij het objekt kan komen dan in andere oriëntaties zal een “inner-projection” en een “outer-projection” berekend worden (berekenwijze volgt). 3) Gebruik makende van de inner- en outer-projections kunnen we op deze 2D projectie het eerder genoemde “bounding en bounded approximations” principe toepassen. 4) Ten slotte wordt deze 2D approximation naar 3D opgeblazen.

22 De Approximate-and-Decompose Methode Het berekenen van inner en outer projections. Er bestaan 2 vormen van contact tussen robot en objekt: - Type A, Waarin een vertex van het objekt een edge van de robot snijdt. - Type B, Waarin een vertex van de robot een edge van het objekt snijdt. Methode: - Bereken de projecties van alle contact punten van type A en type B (die binnen het rotatie bereik van de cel liggen). - Track de inner en de outer boundary.

23 De Approximate-and-Decompose Methode Berekening van Type A projektie: De locus van Referentie- punt O A wordt berekend voor een type A contact.

24 Berekening van Type B projektie: De Approximate-and-Decompose Methode De locus van Referentie- punt O A wordt berekend voor een type B contact.

25 De Approximate-and-Decompose Methode De union van deze projekties wordt genomen (en welke dit zijn en hoe ze eruit zien is afhankelijk van het rotatie bereik van de cel) en de inner en outer boundaries worden berekend.

26 De Approximate-and-Decompose Methode De Approximate-and-Decompose methode voor R 2 x S 1. 1) De 3D C-ruimte (R 2 x S 1 ) wordt over de rotatie-as in segmenten opgedeeld. Ieder segment wordt vervolgens apart behandeld. 2) Ieder segment wordt naar 2D geprojekteerd. Omdat het referentie punt O A van de robot in bepaalde oriëntaties dichter bij het objekt kan komen dan in andere oriëntaties zal een “inner-projection” en een “outer-projection” berekend worden (berekenwijze volgt). 3) Gebruik makende van de inner- en outer-projections kunnen we op deze 2D projectie het eerder genoemde “bounding en bounded approximations” principe toepassen. 4) Ten slotte wordt deze 2D approximation naar 3D opgeblazen.

27 Overzicht van de methode

28 De Approximate-and-Decompose Methode


Download ppt "Approximate Cell Decomposition Allard Kamphuisen Niels Gorisse Motion Planning 15 januari 2003 Universiteit Utrecht."

Verwante presentaties


Ads door Google