De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Jo van den Brand 24 November, 2009 Structuur der Materie Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Jo van den Brand 24 November, 2009 Structuur der Materie Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus."— Transcript van de presentatie:

1 Jo van den Brand 24 November, 2009 Structuur der Materie Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus

2 Najaar 2009Jo van den Brand2 Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie en impuls Symmetrieën Behoudwetten Discrete symmetrieën Feynman berekeningen Gouden regel Feynman regels Diagrammen Elektrodynamica Dirac vergelijking Werkzame doorsneden Quarks en hadronen Elektron-quark interacties Hadron productie in e + e - Zwakke wisselwerking Muon verval Unificatie Inhoud

3 Najaar 2009Jo van den Brand3 Levensduur Bijna alle elementaire deeltjes vervallen! d.w.z. mAmA mBmB mCmC c.m. systeem Levensduur: verschillende vervalskanalen, b.v. Vertakkings- verhouding Eenheden b.v.

4 Najaar 2009Jo van den Brand4 Werkzame doorsnede Reactiekans: effectief oppervlak / totaal oppervlak Telsnelheid A + B  C + D

5 Najaar 2009Jo van den Brand5 Voorbeelden Foton-koolstof/lood n- 238 U

6 Najaar 2009Jo van den Brand6 Geometrie b R    Verstrooiing aan een massieve bol: Berekening werkzame doorsnede Totale werkzame doorsnede, oppervlak zoals de bundel die ziet: Berekening werkzame doorsnede: (vgl. Rutherford verstrooiing) Voorbeeld: verstrooiing aan een harde bol

7 Najaar 2009Jo van den Brand7 Voorbeeld: Rutherford verstrooiïng Marsden en Geiger rond 1910 Coulomb potentiaal Alfa deeltjes: T b = 4 – 7 MeV

8 Najaar 2009Jo van den Brand8 Rutherford verstrooiïng Coulomb potentiaal Klassieke mechanica Werkzame doorsnede Voor b b < b < b b +db b

9 Najaar 2009Jo van den Brand9 Rutherford verstrooiïng Geldig voor b > b min =R  + R t ofwel Meet interactieafstand b min versus A Eigenlijk b min  R  + R t + R s

10 Najaar 2009Jo van den Brand10 Rutherford verstrooiïng Rutherford vond Er geldt Plot b min versus A 1/3 Goede beschrijving dus - Coulombwet geldig op korte afstand (femtometers) - Sterke WW korte dracht - Alle lading zit in kleine bol

11 Najaar 2009Jo van den Brand11 In deeltjesfysica werken we voornamelijk met interacties tussen deeltjes en verval van deeltjes: overgangen tussen toestanden Overgangswaarschijnlijkheid volgt uit Fermi’s Golden Rule Voor de afleiding: zie dictaat quantummechanica. Verder eisen wij een Lorentzinvariante beschrijving. Gouden regel van Fermi Amplitude bevat alle dynamische informatie en berekenen we met de Feynman regels. Dit bevat de fundamentele fysica. Faseruimte bevat alle kinematische informatie en hangt af van massa’s, energieën en impulsen

12 Najaar 2009Jo van den Brand12 Faseruimte – Klassiek Faseruimte in 1D: Klassiek neemt elke toestand een punt met (x, p x ) in In QM hebben we rekening te houden met h h Volume van elke toestand is h Faseruimte met volume Lp bevat N cellen, Celvolume in 3D is Aantal toestanden in volume is Aantal toestanden per volume eenheid Toestandsdichtheid

13 Najaar 2009Jo van den Brand13 In de berekeningen maken we veelvuldig gebruik van de Dirac  functie: `een oneindig smalle piek met integraal 1’ Delta functie van Dirac In relativistische quantummechanica zijn delta functies nuttig voor integralen over de faseruimte, bijvoorbeeld in het verval a  Ze drukken dan energie en impulsbehoud uit. Elke functie met bovenstaande eigenschappen kan  (x) representeren, bijvoorbeeld Lim a →0

14 Najaar 2009Jo van den Brand14 We zoeken een uitdrukking voor  ( f(x) ) Delta functie van een functie Stel dat f(x) een enkel nulpunt heeft voor x = x 0 Dan geldt Schrijft y = f(x) Er geldt dan Omschrijven levert

15 Najaar 2009Jo van den Brand15 Voorbeeld: Delta functie van een functie Meerdere nulpunten: Opgave: Vereenvoudig de uitdrukkingOplossing: Er geldt Nulpunten voor x 1 = 1 en x 2 = -2 Afgeleide Dus en

16 Najaar 2009Jo van den Brand16 Voorbeeld: Delta functie van een functie Deeltjesverval a  in CM systeem dit is je functie f(x) dit dx a Bereken Er geldt Stel is de waarde van de impuls waarvoorDan

17 Najaar 2009Jo van den Brand17 Gouden regel van Fermi – revisited Gouden regel van Fermi: niet-relativistisch Faseruimte is dichtheid van de eindtoestanden We schrijven (met E i = E f ) De gouden regel luidt nu Met impulsbehoud en a  Integreer over alle mogelijke toestanden met elke energie, merk op dat energiebehoudimpulsbehoud toestandsdichtheid

18 Najaar 2009Jo van den Brand18 Lorentzinvariante faseruimte In niet-relativistische QM normeren we op 1 deeltje / volume eenheid Relativistische contraheert volume met Deeltjesdichtheid neemt toe met Normeer op 2E deeltjes / volume eenheid Conventie: Gebruik Lorentzinvariant matrixelement a a a a/  a a

19 Najaar 2009Jo van den Brand19 Lorentzinvariante vervalsnelheid Beschouw het verval 1  … + n Deeltje i heeft vierimpuls p i = (E i /c, p i ) Energie E i is een functie van p i vanwege We gaan er van uit dat deeltje 1 in rust is, dus p 1 = (m 1 c, 0) S is het product van statistische factoren: 1/j! voor elke groep van j identieke deeltjes in de eindtoestand Formule geeft de differentiële vervalsnelheid, waarbij de impuls van deeltje 2 in het gebied d 3 p 2 rond de waarde p 2 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand. Bijvoorbeeld voor 1  tijddilatatie 

20 Najaar 2009Jo van den Brand20 Voorbeeld:  0   Bereken vervalsnelheid voor 1  met m 1 = m 2 = 0; amplitude M(p 2, p 3 ) Herschrijf delta functie Er geldt en dus Sferische coördinatenHoekintegratie We vinden Er geldt S = ½ voor   

21 Najaar 2009Jo van den Brand21 Tweedeeltjesverval Bereken vervalsnelheid voor 1  Er geldt. Integreer over p 3 Sferische coördinaten en hoekintegratie. Met  = | p 2 | vinden we We moeten nu nog over de delta functie integreren Dat kan in principe met We doen het nu echter met een andere methode

22 Najaar 2009Jo van den Brand22 Tweedeeltjesverval We hebben Mits m 1 > m 2 + m 3, anders niet in het integratie interval! Verander van variabele Er geldt Merk op dat   de waarde van  (= | p 2 | ) is waarvoor E = m 1 c 2 Je vindt Uiteindelijk Bij meer dan 2 deeltjes moet je integreren over het matrixelement

23 Najaar 2009Jo van den Brand23 Gouden regel voor verstrooiing Beschouw de botsing  … + n Formule geeft de differentiële werkzame doorsnede, waarbij de impuls van deeltje 3 in het gebied d 3 p 3 rond de waarde p 3 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand en zijn we bijvoorbeeld geinteresseerd in enkel de hoekverdeling van deeltje 3. Uitdrukking volgt uit Telsnelheid  n 1 (v 1 + v 2 ) n 2    fi  v 1 + v 2  Vervolgens wordt de fluxfactor Lorentzinvariant geschreven In LAB

24 Najaar 2009Jo van den Brand24 Herschrijf de delta functie Beschouw de botsing  in CM systeem Elastische verstrooiing in het CM systeem p 2 = -p 1 Dus Integreer over impuls delta functie: Gebruik Dan geldt

25 Najaar 2009Jo van den Brand25 Elastische verstrooiing in het CM systeem We vinden Het matrixelement hangt in principe van alle impulsen af. Echter en, dus geldt. Omdat vastligt, geldt. Gebruik We vinden

26 Najaar 2009Jo van den Brand26 Lorentzinvariante werkzame doorsnede Voor elastische verstrooiing geldt Dan geldt Merk op dat de differentiële werkzame doorsnede NIET Lorentinvariant is De hoeken refereren naar het CM systeem! Voor een algemeen geldige vergelijking: druk d  uit in viervectoren Vierimpuls overdracht Dit geldt ook in de limiet

27 Najaar 2009Jo van den Brand27 Lorentzinvariante werkzame doorsnede Druk uit in termen van de Lorentzinvariant dt In CM frame: Dit geeft en dus Integratie over geeft Lorentzinvariant

28 Najaar 2009Jo van den Brand28 Fluxfactor voor A + B  … c.m. stelsel: P 1 =(E 1,+p) P 2 =(E 2,  p) lab stelsel: P 1 =(E, p) P 2 =(m 2,0)

29 Najaar 2009Jo van den Brand29 Toy-model: ABC theorie Drie deeltjes: A, B en C Ieder deeltje is zijn eigen antideeltje Spin van de deeltjes is 0 m A > m B + m C

30 Najaar 2009Jo van den Brand30 Feynman regels Berekening van de amplitude -iM: Hiervoor is de dynamica van wisselwerking nodig. In het vervolg zullen we de amplitudes berekenen voor elektromagnetische, sterke en zwakke wisselwerkingen. Om een idee te krijgen eerst de amplitude voor een hypothetisch model,  3 toy-model: Feynman regels ABC theorie: p3p3 p4p4 p1p1 p2p2 q  ig B A C B A p1p1 p2p2 p3p3 B C A

31 Najaar 2009Jo van den Brand31 Levensduur (  3 toy-model) A B C g De impuls van B (of C) kan bepaald worden, in c.m. systeem: De vervalsbreedte wordt met Fermi’s regel: En de levensduur van deeltje A is dus Het matrixelement is [g]=[GeV]

32 Najaar 2009Jo van den Brand32 Verstrooiing A+A  B+B (  3 toy-model) (A):(A): (B):(B): (A+B): p1p1 p2p2 p4p4 p3p3 q (A)(A) A A B B C p1p1 p2p2 p4p4 p3p3 q Tweede diagram! (B) A A B B C

33 Najaar 2009Jo van den Brand33 Verstrooiing A+A  B+B (  3 toy-model)  c.m. frame AA B B In het c.m. stelsel Veronderstel m A =m B =m en m C =0 Twee identieke deeltjes in eindtoestand (dus een extra factor ½!=½) Werkzame doorsnede:

34 Najaar 2009Jo van den Brand34 Verstrooiing A+B  A+B (  3 toy-model) (A):(A): (B):(B): (A+B): p1p1 p2p2 p4p4 p3p3 q (A)(A) A B A B C p4p4 p3p3 q Twee diagrammen dragen bij! (B)(B) A B A B C p1p1 p2p2

35 Najaar 2009Jo van den Brand35 Verstrooiing A+B  A+B (  3 toy-model)  c.m. frame AB A B In het c.m. stelsel Veronderstel m A =m B =m en m C =0 Werkzame doorsnede:


Download ppt "Jo van den Brand 24 November, 2009 Structuur der Materie Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus."

Verwante presentaties


Ads door Google