De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

1 Trillingen en golven Introductie. 2 Trillingen, Golven en Optica (TGO) Prof. dr. Ben van Linden van den Heuvell )

Verwante presentaties


Presentatie over: "1 Trillingen en golven Introductie. 2 Trillingen, Golven en Optica (TGO) Prof. dr. Ben van Linden van den Heuvell )"— Transcript van de presentatie:

1 1 Trillingen en golven Introductie

2 2 Trillingen, Golven en Optica (TGO) Prof. dr. Ben van Linden van den Heuvell ) TGO in dagelijks leven: geluid, licht en mechanische trillingen. TGO in de natuurkunde: belangrijke basiskennis om verschijnselen uit de Quantum Mechanica en Electromagnetisme te beschrijven en te begrijpen. Wat gaan we tegenkomen? Simpele slingers en golven (lopend en staand) Selectie van frequentiecomponenten (Fourier) Typische “trillingen en golven fenomenen”: interferentie, zwevingen, resonantie, dispersie en diffractie Dr. Marcel Vreeswijk Nikhef Dr Tom Hijmans WZI C B A

3 3 Werkcollege-assistenten Msc. Hartger Weits PhD student Nikhef Sebastiaan van Eyk (student) Msc. Erwin Visser PhD student (Nikhef) Joost de Wit (student) Msc. Rens Limpens PhD student (WZI) C C B B A A Elinore de Jong PhD student WZI

4 4 Opbouw StudioClassroom=mix Hoorcollege+Werkcollege (2x4uur/week). Sessies duren ongeveer 3uur + 1 uur vrijblijvend ‘na-werken’. Tutoraat/Praktikum (1x/week)  verplicht (Praktikum telt 20% mee van het Totaal), minstens een 5.50 anders geen voldoende voor Totaal. Praktikum- Verslag (PV1) moet ook minstens een 5.50 Electronische inleveropgaven, mastering physics (1x/week)  telt mee voor 20%Theorie 1 papieren huiswerkopgave, telt mee voor 10% van Theorie Tentamen (1x :)  telt mee voor 70% van Theorie, Tentamen minstens een 5.00 anders sowieso geen voldoende. Theorie minstens een 5.50 anders geen voldoende voor Totaal. Indien cijfer Tentamen hoger dan combinatie met huiswerk, telt Tentamencijfer voor de hele Theorie. Deze slides zijn bepalend voor de inhoud van het tentamen en regelgeving. Eventuele updates worden op BB aangekondigden en ter college of per . Digitale opgaves: meld je aan met Giancoli-Mastering Physics op cursus: ID=TGOVREESWIJK2013, titel=TGO_2013

5 5 Tentamenstof Syllabus : Trillingen en Golven, op BB De syllabus (tentamennivo) gaat af en toe dieper dan Giancoli. Boek: Giancoli (basis), Physics for scientists and engineers. H1-H11: Klassieke mechanica (basiskennis, wordt verder niet behandeld) H14: Oscillations H15: Wave Motion H16: Sound H26: DC circuits (basiskennis; wordt verder niet behandeld) H30: AC circuits, 30-4 t/m 30-9 (basiskennis; wordt deels behandeld) H32: Light H33: Lenses and Optical Instruments H34: Interference H35: Diffraction and Polarization De stof behandeld in deze slides en met name alle afleidingen, BB. Tip: De slides houden de volgorde aan die optimaal samenvalt met de praktikumonderwerpen. Per sessie is vermeld welk deel van de syllabus (en eventueel Giancoli) besproken wordt. Lees dit vooraf door. Zie ook de studiewijzer op BB.

6 6 Praktika Week 2&3: LCR Week 4: Geluid I Week 5,6,7 minstens twee van de vier keuzes: Geluid II, Diffractiepatronen, Michelson, Polarisatie. Er wordt verwacht dat je voorbereid op het praktikum komt. Personen zonder basale kennis over de stof worden gevraagd het praktikum te verlaten (=volgend jaar inhalen). Sommige praktika beginnen met een ingangstoets. (inter-) Actief meedoen met de hoorcolleges bereiden je voldoende voor. Documentatie op BB Praktikum coordinator Paul Vlaanderen

7 7 Week-overzicht (planning onder voorbehoud) Week 1 (geen praktika)  Sessie 1: Blok1 t/m Blok 3: Harmonische trillingen. Fysische Slinger. Complexe getallen.  Sessie 2: LC kring, LCR kring (gedempte trilling) Week 2 (praktikum LCR)  Sessie 3: LCR kring, gedwongen (gedempte) trilling, resonantie.  Sessie 4: Mechanisch gedwongen (gedempte) trilling, Resonanties, Inslingeren Week 3 (praktikum LCR)  Sessie 5 Gekoppelde Trillingen (b9),  Sessie 6 Golven (b10), Superpositie, Reflectie (b11), Staande Golven (b12). Week 4 (praktikum Geluid I + huiswerkopgave)  Sessie 7 Fourier (b14), Dispersie (b15), Zwevingen (b16),  Sessie 8 Intermezzo: Inleiding Optica tbv Praktika (Week 5,6,7 minstens 2 uit: praktikum Geluid II, Diffractie, Polarisatie, Michelson, Fourier Synthese) Week 5  Sessie 9. Breking,Reflectie met Transmissie (b18)  Sessie 10 Fourier Analyse (b20), Doppler effect (b21) Week 6  Sessie 11 Optica  Sessie 12 Optica Week 7  Sessie 13 Optica  Sessie 14 Optica Week 8: Tentamen

8 8 Blok I: Trillingen Simpele Harmonische Oscillator (met uitbreidingen) NB: De colleges zijn interactief. D.w.z. dat jullie ons mogen (graag zelfs) onderbreken voor vragen. Andersom zullen wij (discussie)vragen stellen en ook samen met jullie enkele voorbeelden uitwerken. Uit Giancoli H14.1; Syllabus H1, H3.2.1

9 9 Trillingen Wij beginnen met een simpele harmonische oscillator (SHO).

10 10 Simpele Harmonische Oscillator (Lineair  SHO) Veerconstante k (ideale veer=lineair) EXPERIMENT: Newtown F=ma Differentiaalvergelijking (ESSENTIEEL!) Energie ~ Amplitude 2 Animations: Dr. Dan Russell, Kettering University Algemene animaties: De Amplitude A en de fase  hangen van de begincondities af.    en dus ook f niet! met Met natuurlijke frequentie

11 11 Discussievraag

12 12 Simpele Harmonische Oscillator in goede benadering hou de uitwijking klein (Taylor): SHO: lineaire relatie kracht en uitwijking spankracht zwaartekracht resulterende kracht De (resulterende) kracht versnelt massa Newton: Voor kleine ampitudes: de kracht heeft alleen een x component. met De amplitude A en de fase  hangen van de begincondities af.    hangt niet van de massa af (ook niet van beginconditie: ligt vast door fysica) Wat als we nu eens geen kleine uitwijking nemen? Taylor-ontwikkel de sin(x) maar eens. De eerste term is lineair=SHO. De hogere ordes zijn niet linear, dus geen SHO meer. Nog een speciaal effect: Foucaults pendulum

13 13 Opgaves Werkboek 3.1, 3.2, 3.3, 3.5 Nog niet Giancoli 14.11

14 14 Trillingen en golven Blok 2 Fysische slinger en traagheidsmoment. Uit Giancoli H14; Syllabus H3.2 (nog niet LC) en 3.3 (ook Taylorreeks in H2.1)

15 15 Een fysische slinger Een ijzeren staaf met flens CG CG=Centre of Gravity Torsiekracht in CG Hoe bepaal je dat punt experimenteel? I, het traagheids(Inertia)-moment komt uit de klassieke mechanica, Giancoli 10-5  intermezzo

16 16 Intermezzo: Traagheidsmoment (G10.5) h Laat een cilinder (straal R, lengte L) van hellend vlak rollen. Geldt (afgezien van de wrijvingverliezen) de volgende relatie? m v Nee, want er zit ook energie in het ronddraaien van de cilinder. Hoe dan wel? Invullen en oplossen Bekijk versnelling van een stukje cilinder dm cilinder =I

17 17 Een fysische slinger Een ijzeren staaf met flens CG met Kleine uitwijking: ‘Uitwijking’ evenredig met ‘kracht’ = zelfde structuur als SHO=SHO Experimentele truuk: voorwerp met onbekende I? Bepaal massa, CG en laat maar slingeren. CG=Centre of Gravity Torsiekracht in CG Hoe bepaal je dat punt experimenteel?

18 18 Discussievraag

19 19 Opgaves H14 Werkboek 3.7

20 20 Trillingen en golven Blok 3 Complexe getallen: Euler notatie Phasoren Syllabus H1.4, (ook Complexe getallen in H2 met name H2.2)

21 21 Harmonische oscillatie is projectie van cirkels draaien Voor ons: zie tafel als complexe vlak. Dan wordt de oplossing complex: Als een deeltje in een cirkel draait en we kijken naar de projectie op de x-as, dan zien we precies het gedrag van SHO. of In (bijna) gewoon Nederlands: een 1- dimensionale trilling kun je beschrijven met een cirkelbeweging in het complexe vlak. De beweging van de trilling is het reële deel.

22 22 Complexe getallen Complex maakt rekenwerk Makkelijk (met name bij signalen met faseverschillen) Grafische weergave dmv ‘Phasor-diagram’. Lijkt op vector-rekening, maar is anders. Bijv. Vermenigvuldigen en Delen zijn gedefinieerd Reele as Imaginaire as (Euler notatie; gewone rekenregels voor e). (complex geconjugeerde) Norm quadraat Omdraaien diff/integ. Mag als variable reeel: Vaak voorkomende truuk: Dus eerst complex uitwerken, daarna reële (Re) deel nemen: Nooit meer gonio onthouden, bijv.: Phasor Leidt uit bovenstaande af: Zie calculus

23 23 Opgaves (Wiskundige) Opgaves 2.1 t/m 2.6

24 24 Opgaven

25 25 Wat heb ik tot nu toe geleerd? Ik kan de differentiaalvergelijking opstellen en oplossen voor een SHO. Ik begrijp het verschil tussen een SHO (uitwijking en kracht hebben een lineaire relatie) en een fysische slinger. Ik ken de complexe notatie en kan goniometrische relaties afleiden.

26 26 TGO Blok 4 LC circuit Uit Giancoli ; Syllabus H3.2 de LC kring

27 27 Complexe getallen op herhaling Complex maakt rekenwerk Makkelijk (met name bij signalen met faseverschillen) Grafische weergave dmv ‘Phasor-diagram’. Lijkt op vector-rekening, maar is anders. Bijv. Vermeningvuldigen en Delen zijn gedefinieerd Reele as Imaginaire as (Euler notatie; gewone rekenregels voor e). (complex geconjugeerde) Norm quadraat Omdraaien diff/integ. Mag als variable reeel: Vaak voorkomende truuk: Dus eerst complex uitwerken, daarna Reele deel nemen Nooit meer gonio onthouden, bijv.: Phasor Leidt uit bovenstaande af: Replay

28 28 Electrische trillingen

29 29 Electrisch circuit: de componenten C R V bron + De bron is een drijvende kracht: Weerstand met spanningsval (in richting van stroom): Condensator, houdt lading vast met spanningsval: + Spoel werkt opbouw van stroom tegen met inductiespanning en spanningsval in richting van stroom: Algemeen, in een serieschakeling: L

30 30 We beginnen ‘simpel’: LC circuit Wat we tot nu toe geleerd hebben kunnen we ook toepassen op een elektrisch circuit. Zonder bewijs: de spanning over een elektrische component is equivalent aan een spanning (kracht) op een object.  de lading is de ‘uitwijking’. Condensator (C): V=q(t)/C Spoel (L): V=LdI/dt LC circuit: Vanaf nu kun je van ieder lineair circuit de DV opstellen! Stelling: alles wat beschreven wordt door de DV van een SHO is een SHO! Vanaf nu kun je van ieder lineair circuit de DV opstellen! Stelling: alles wat beschreven wordt door de DV van een SHO is een SHO! gebruik dat I(t)=dq/dt : (herken je de structuur?! wat is m en k?) Opdracht: bepaal/controleer de complexe oplossing

31 31 LC circuit: eigenschappen Neem op t=0 de maximale stroom: I(0)=I 0 en q(0)=0 Spanning: Stroom: C L De spanning op C (en L) is dus 90 0 uit fase met de stroom. V (Volt) I (A) De spanning V L is in tegenfase met V C : reeele as (meetbare spanning) Complexe as Op t=0 is er geen meetbare spanning Wat meet je over C op   t=1/2  Phasor diagram:

32 32 Discussievraag Beschouw een stroomkring met een spoel L en een weerstand R. Kan dit systeem gaan oscilleren? R L

33 33 LC circuit op herhaling LC circuit: Oplossing weten we al: ‘Professionals’ werken met complexe notatie: De fysische waarde is dan het reële deel, bijv.: Met de impedantie Wat is ? (Dat kunnen we in principe afleiden uit simpele schakelingen; blijkt straks correct) We moeten oplossen: Essentieel: de stroom in serieschakelingen is in fase over alle componenten Raad: ‘educated guess’

34 34 LC circuit, analyse met complexe getallen LC circuit: Let op: de impedanties in serie tellen op, dus: Oplossing: Dit is al equivalent met onze originele oplossing Uitwerking hangt verder van randvoorwaarden af klopt De diff. vgl is dus overbodig Invullen in DV Controle met diff vgl (DV):

35 35 Discussievraag Kijk nog eens naar de slide m.b.t. de ‘projectie op de tafel’. Bespreek met je buurman/vrouw wat dat te maken heeft met onze aanpak om elektrische schakelingen door te rekenen.

36 36 Opgaves Opgave 3.4

37 37 Wat heb ik tot nu toe geleerd? Uitleggen wat een electrische schakeling met een slinger te maken heeft. Ik kan een LC circuit doorrekenen en kan een phasor- diagram uitleggen. Ik ken de complexe notatie en kan goniometrische relaties afleiden.

38 38 Trillingen en golven Blok 5 LCR – de gedempte trilling Uit Giancoli ; Syllabus H3.4 (zie DISCLAIMER) DISCLAIMER: meestal begint men met mechanische gedempte en gedwongen trillingen. Omwille van het Praktikum beginnen wij met het electrische equivalent

39 39 LCR circuit: gedempte trilling C L R De oplossing ‘was’ in trilling en nu wordt de LCR kring plotseling niet meer aangedreven: Gevolg:I=dQ/dt (I en Q zijn de functies die we willen weten) (Q is een functie van tijd. L,R en C zijn contantes)

40 40 Discussievraag L  m (Zelfinductie, massa) C  1/k (Capaciteit, veerconstante) R  wrijving …..  x ( uitwijking) Wat is x? V, I, Q, L, C,R Hoe denk je dat de mechanische wrijvingsterm er uit zal zien in termen van x? Electrisch: Mechanisch SHO (het is evident dat er nog een term ontbreekt t.o.v. elektrische geval Ondertussen hebben we elektrische en mechanische trillingen besproken. We hebben al gezien dat:

41 41 LCR circuit: gedempte trilling C L R We kunnen afleiden: We weten al: Met A en  te bepalen constantes. Zwak gedempt als: A: oplossing ‘underdamped’ (OPDRACHT: controleer dit zelf!): ABCABC B: kritisch gedempt C: overgedempt Q Mathematica demo: BB We kunnen alleen raden naar een oplossing: een periodieke functie (van de LC kring met ) keer een dempende e-macht (van de R), dus

42 42 Opgave Werkboek 3.11, 3.8

43 43 TGO Blok 6 Gedwongen trilling in een LCR circuit Uit Giancoli ; Syllabus H4 (zie DISCLAIMER), H4.3 specifiek DISCLAIMER: meestal begint men met mechanische gedempte en gedwongen trillingen. Omwille van het Praktikum beginnen wij met het electrische equivalent

44 44 Electrisch circuit: de componenten C R V bron + De bron is een drijvende kracht: Weerstand met spanningsval (in richting van stroom): Condensator, houdt lading vast met spanningsval: + Spoel werkt opbouw van stroom tegen met inductiespanning en spanningsval in richting van stroom: Algemeen, in een serieschakeling: L

45 45 LCR circuit: gedwongen trilling C L R We kunnen afleiden: We schrijven direct: ofwel: V Met de opgelegde bronspanning: We kunnen wel raden dat de oplossing ook een periodieke functie is. Maar moeten we nu de diff. vgl. oplossen? Nee! We doen het ‘complex’, want dat is juist gemakkelijk. +/- teken: Giancoli definitie: I=-dQ/dt

46 46 LCR circuit: gedwongen trilling C L R We gebruiken verder de complexe notatie (dus diff. vgl is niet nodig): Er geldt: V gedwongen Geheel gekraakt! Ansatz: (Praktikum)

47 47 Controle diff. vgl. C L R Voegt de diff. vgl. nog iets toe? Of: We hadden, zonder diff. vgl.: V gedwongen Vervang Q en V door de complexe variant Identiek! Onze vergelijking: (zie vorige slide) Dit impliceert dat de techniek werkt:

48 48 Opgaven (nog niet specifiek over gedwongen trilling) Controleer het gevonden resultaat door directe invulling. Werkboek 4.5 (deels): (Ga uit van een gedempte trilling)

49 49 Trillingen en golven Blok 7 LCR kring (Gedwongen) De professionele aanpak Resonanties Syllabus H4.3

50 50 LCR circuit: praktische aanpak CL R V Complexe as Stel op t=0 is de (reele) spanning op R maximaal Tel de phasoren op als vectoren. Conclusie o.a: er is een faseverschil tussen. Praktisch zouden we V als ingang zien en V R als uitgang van deze schakeling. Wat is de verhouding tussen deze spannigen? Overdrachtsfunctie: Phasor (Giancoli 800) t=0

51 51 Resonantie in LCR kring Q klein Q is de qualiteitsfactor Het blijkt dat het gedrag van electronische schakelingen analoog is aan vele andere natuurverschijnselen. (o.a mechanische trillingen, die komen we het volgende college tegen) (Mathematica) demo We hebben afgeleid voor de spanning over R: Voor de spanning over C ziet de overdrachtsfunctie er anders uit (leidt zelf af) Q groot

52 52 Opgave Werkboek Opgave 4.5 Opgave 4.6 Opgave 4.7

53 53 Wat heb ik tot nu toe geleerd? Ik ken de complexe notatie en kan deze gebruiken in een LCR circuit. Ik kan gedwongen en gedempte trillingen in een LCR circuit (wiskundig) analyseren. Ik kan uitleggen wat een phasor is.

54 54 TGO Blok 8a: Mechanisch Gedempte Trillingen Uit Giancoli 14.7, 14.8; Syllabus 3.4, H4 (mechanische gedeelte, niet LCR))

55 55 Gedempte trillingen Bijvoorbeeld: Geluid Schokbreker Buis met zuiger in bv. olie die alle beweging tegenwerkt Voor alleen de (ideale) veer met uitwijking x geldt: De dempende kracht: Dus voor F=ma geldt: m Komt bekend voor! Analogie LCR circuit! L  m (Zelfinductie, massa) C  1/k (Capaciteit, veerconstante) R  b (weerstand, wrijving) Lading q  x (Lading, Plaats) I  v (Stroom, snelheid) 1/2q 2 /C=1/2kx 2 1/2LI 2 =1/2mv 2 Analogie LCR circuit! L  m (Zelfinductie, massa) C  1/k (Capaciteit, veerconstante) R  b (weerstand, wrijving) Lading q  x (Lading, Plaats) I  v (Stroom, snelheid) 1/2q 2 /C=1/2kx 2 1/2LI 2 =1/2mv 2

56 56 Gedempte trillingen  mechanische eigenschappen Oplossing ondergedempt: Voor de motor wil je snelle demping = kritisch gedempt: A underdamped: ABCABC DampedSHM.html DrivenSHM.html (ongedempt) Hoe rijdt de motor zonder dempende kracht?

57 57 Gedempte trillingen: oplossingen differentiaal vergelijking. Oplossing ondergedempt: Oplossing overgedempt: Oplossing kritisch gedempt: (afleiding zoals “ondergedempt” door  ’ complex te maken.) (deze hadden we al) (bijvoorbeeld met Mathematica. Merk op dat er nu een component is waarbij de variable t voor de e-macht staat. Kortom, dezelfde diff. Vgl, maar in drie verschillende regimes totaal andere oplossingen!) A C B

58 58 Opgave Werkboek 3.8, 3.9, 3.10

59 59 TGO Blok 8b: Trillingen, Resonanties, Inslingeren Uit Giancoli 14.7, 14.8; Syllabus H4, specifiek 4.2.2, 4.2.3

60 60 Gedwongen Trillingen (nu mechanisch en completer) oscillerende externe kracht die de trilling aandrijft. de Amplitude van de resulterende trilling is groot bij de natuurlijke frequentie = Resonantie met wrijving Complete differentiaal vergelijking: extern Resonantie Q factor geeft de Scherpte van de piek Tip: als je een gebouw ontwerpt, zorg ervoor dat de Q waarde laag is Tacoma diagram.html (equation of motion) Let op: x(0) ligt nu helemaal vast. Niet op nul =incompleet Zie transient state.

61 61 Gedwongen Trillingen  fase verschil Resonantie Total phase verschil F en x phase hoek

62 62 Opgave Werkboek 3.12, Werkboek 4.4

63 63 Transient en Steady-State trillingen Vergelijk nu eens gedempte en gedwongen trillingen. 1) 2) “2” is de gedwongen trilling. Onze eerdere oplossing (zie terug) had geen vrije parameters meer. Hierdoor lag x(0) op onfysische wijze vast “1” is de homogene vergelijking. De oplossing van “1” kan je optellen bij “2”. Immers, effectief tel je er dan nul bij op. Gevolg: de eerder gevonden gedwongen oplossing was involledig. We moeten er altijd de vrije bij optellen: Deze dempt uit: transient) Steady-State Door de combinatie (de som) van twee periodieke functies kunnen er zogenaamde inslingerverschijnselen ontstaan.  extra vrijheid: Iedere begintoestand instelbaar

64 64 Discussievraag

65 65 Opgave Werkboek Opgave 4.1 – 4.11

66 66 Please note that the real part of the complex solution is the solution of the original equation. EXERCISE

67 67 EXERCISE – question of a student: “why/how do you transform to a complex differential equation”

68 68 EXERCISE – Toward the solution: it is not all mathematics

69 69 EXERCISE - solution

70 70 TGO Blok 9: Gekoppelde Trillingen Syllabus H5

71 71 Gekoppelde Trillingen We kunnen natuurlijk vele elementen tegelijk (eenmalig) in beweging zetten. Hoe pak je dat aan? Plan van aanpak: stel de differentiaal vergelijkingen op ‘per massa’ en Om het simpel te houden: geen wrijving, identieke veren en massa’s m m k k k Empirisch: of de blokken trillen in fase of in tegenfase, dus parametriseer: Deze vorm invullen in diff. vglen. levert:en Of Oplossingen voor de ‘Normaaltrillingen’, Totaal-oplossing is de superpositie van deze ‘Normaaltrillingen’ Let op: deze ‘analyse’ is versimpeld door uit te gaan van ‘nette’ periodieke functies

72 72 Gekoppelde Trillingen – verdere analyse Hoe zien de oplossingen er uit? m m k k k Of Oplossingen voor de ‘Normaaltrillingen’, Totaal-oplossing is de superpositie van deze ‘Normaaltrillingen’ Uit beginvoorw. In het bijzonder interessant als de hoekfrequentie’s bijna gelijk zijn: zwevingen (komen we op terug)

73 73 Gekoppelde Trillingen  met eigenvectoren We hadden: Om het simpel te houden: geen wrijving, identieke veren. m m k k k ofwel Het recept: (eigenwaardes) eigenfrequenties Maar wat zijn de trillingsmodes  en Gelijk aan onze eerdere resultaat! Simpel uitbreidbaar!  dat zijn de eigenvectoren van onze M

74 74 Gekoppelde Trillingen transversaal (zonder afl.) We kunnen ook gekoppelde trillingen maken met massa’s die op en neer (transversaal) bewegen. Onze ‘ketting’ is opgebouw uit massa’s en massaloze veren (die niet verder uitrekken). De ketting is strak gespannen met een constante kracht F S. m m m Deze vergelijking krijgt dus dezelfde structuur als met de veren, met k=F S /d Voor de volledigheid: de algemene oplossing voor de ketting of veren met n massa’s is: met De relatie tussen  en k wordt de dispersie relatie genoemd. Opdracht: al n  oo en d  0, hoe ziet de gezamenlijke beweging er dan uit?

75 75 Opgaven m m k k k m k Analyseer de volgende opstelling (wat zijn de normaaloplossingen?): Inspiratie: Maak een resonantie Werkboek 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 Nog even uitstellen tot we ‘zwevingen’ hebben gehad

76 76 Extra Opgaven

77 77 Extra Opgaven

78 78 Antwoord m m k k k m k Analyseer de volgende opstelling (wat zijn de normaaloplossingen?): Inspiratie:

79 79 Wat heb ik geleerd? Ik kan de differentiaal vergelijkingen opstelling van mechanische gedempte, gedwongen en gekoppelde trillingen. Ik kan uitleggen dat er een analogie tussen mechanische en electrische trillingen. Ik ken de oplossingen van deze vergelijkingen en kan deze interpreteren.

80 80 Trillingen en golven Blok 10 Golven Bewegingsvergelijking energie Uit Giancoli ; Syllabus H6.1, H6.2 (nog niet staande golven), H7.5

81 81 Hoe beweegt een golf eigenlijk? Wordt er netto water getransporteerd? Zit er energie in een golf? Hoe bewegen de ‘deeltjes’ van het medium eigenlijk? trommel luchtdruk transversaallongitudinaal

82 82 Soorten Golven Longitudinaal vs transversaal: P, S waves and more

83 83 Bewegingsvergelijking Een golf legt altijd af in omloopstijd T: Kunnen we een bewegingsvergelijking opstellen? Dus we trekken in de x richting met kracht F S en maken ook een golf door beweging in y-richting. Maak roosterpunten: Lengtedichtheid koord: Er geldt: Uit figuur:  Golfvergelijking Opdracht: kijk eens terug naar de gekoppelde trilling van vele massa’s en vergelijk dat eens hiermee.

84 84 Golfvergelijking (harmonische golven) Een golf legt altijd af in omloopstijd T: Hoe zit een (lopende) golf er nu in formulevorm uit? Neem iemand die meeloopt met snelheid v, die ziet “gewoon”: Er geldt:  Differentieer y nu eens twee keer naar de tijd t. Differentier y nu eens twee keer naar de plaats x. Consistent met Golfvergelijking : En passant: (zie vorige slide) Snelheid hangt niet van f af

85 85 Energie in transversale golf Kinetische energie: Bekijk een stukje massa dm. Alleen snelheid in de y richting: Universeel: Amplitude^2 We weten nu de snelheid en energie in Transversale golven. Hoe zit dat met longitudinale golven? Potentiele energie (afleiding voor liefhebbers) isToeval?!

86 86 Opgaven Giancoli H15 Zee, golven en energie. Stel je hebt een drijver van een meter breed, loodrecht op de bewegingsrichting van de golven liggen. Hoeveel energie kun je hiermee per dag opwekken voor de kust van NL, met A=0.5m, f=1Hz, v=10m/s ? (bron: dit zijn grof geschatte waarden) Werkboek 6.1

87 87 Opgaven

88 88 Trillingen en golven Blok 11 Superpositie, Reflectie. Uit Giancoli ; 16.6

89 89 Interferentie - Superpositie In feite een ‘simpel’ superpositie verschijnsel van golven met gelijke golflengte Twee golven in fase Twee golven uit fase Mix Constructive interferente Destructive interferente Ook bij licht, geluid, enz. Phasor:

90 90 (Ruimtelijke) Interferentie met geluid Te koop voor $20: anti-geluid koptelefoon. Lekker slapen in de trein of vliegtuig zonder omgevingsgeluid! Kan dat echt? Ja, dat kan echt. ‘herrie’ ontvanger luidspreker snelle electronica + =

91 91 Superpositie & Reflectie (transversaal) Vast einde, experiment: x=0 Nadenken: begin met een golf: Op x=0 moet de uitwijking altijd nul zijn  effectief komt er een omgekeerde golf van rechts: X=0 superpositie: Wat gebeurt er bij ‘open’ einde?

92 92 Reflectie Open einde Bij open einde beweegt het uiteinde vrij op en neer. X=0 superpositie: x=0

93 93 Opgaven

94 94 Met f =Sin of f=Cos Reflectie over reflectie. Let op het teken van de fase bij de verschillende notaties. Associeer k met een impulsvektor om er gevoel bij te krijgen Associeer frequentie^2 met energie Wij werken (vaak) in 1 dimensie Een golf in de positieve richting: Bij vast einde: idem, maar extra ‘overall’ minteken Nav een vraag

95 95 TGO Blok 12 Staande Golven Uit Giancoli 15.9, Syllabus H6.2.1, ook H7

96 96 Staande golven-normaaltrillingen Staande golven lijken niet ‘vlnr’ te bewegen. Oorzaak: reflectie en interferentie Gevolg: Staande golven op de ‘resonante frequenties’ of ‘eigenfrequenties’ bij de ‘normaaltrillingen’ Experiment: buik knoop (boventonen of ‘hogere harmonische) Analyse: Staande Golven bestaan uit veelvouden (n) van /2: Ook volgt: Voorbeelden snaarinstrument: de normaaltrillingen worden aangeslagen stringtheorie: iedere resonantie is een fundamenteel deeltje/kracht.

97 97 Open-Open is Vast-Vast Staande golven bestaan ook in media met een open einde. Bijvoorbeeld, een longitudinale golf in een buis. De geometrie is “open”, maar relatie lengte-buis en golflengte is als “vast”. De druk is altijd 90 o in fase achter op de displacement. Hoe ziet het diagram er dan uit?  zie golf in snaar!

98 98 Open-open versus Open-Vast Zelfde Lengte, maar andere Golflente!

99 99 Staande Golven - Wiskundig de wiskundige aanpak D+ D- Er is geen Transmissie (+ geen wrijving): Totale Golf: Stel: Basic goniometrie Gonio check: 0 2cos(….) Definitie: R=“neem het reëele gedeelte”, dus R[A+iB]=A Plaats en tijd ‘gescheiden’

100 100 Fourier – een eerste kennismaking Iedere (periodieke) functie is schrijfbaar als de ‘som van cosinussen en sinussen’. (ontdekker: Fourier , wiskundige & militair ingenieur) Bijvoorbeeld een blokpuls: Superpositie van slechts enkele termen Algemeen: Let op: L=repetitie lengte. Merk op: in een on-even functie, f(x)=-f(-x), doen geen cosinus termen mee. in een even-functie f(x)=f(-x) doen geen sinus termen mee. Wat kunnen we hier verder mee?

101 101 Frequentie spectra begrijpen Een klarinet heeft een vast+open einde. We gaan de Fourier functie samenstellen Experiment: In begin van spectrum zitten inderdaad oneven termen. Uiteindelijk ook even termen: een klarinet is dan ook geen ideale buis, maar een muziekinstrument. Let op de relatie lengte buis en golflengte: Open-Vast/ Tune de eerste harmonische: we nemen L=4l Op x=0 begint een sinus; bij x=l  is er een ¼    ‘verstreken’. (geldt voor n oneven!)

102 102 Opgaven Maak staande golven Werkboek 6.1

103 103 Opgaven

104 104 Opgave

105 105 Antwoord

106 106 Trillingen en golven Blok 13  vervalt Snelheid van golven Uit Giancoli

107 107 Snelheid van Longitudinale golven (in veer) t=0 Veerconstante: F=k  L Of beter: F=K  L/L 0 LL Duw kort met kracht F tegen veer. Gevolg  L t=  t Massa per lengte- eenheid:  Observatie: golfpakket beweegt veel sneller dan de ‘duw’: L golf >>  L L golf Let op subtiele (maar groot!) verschil tussen: Snelheid van lussen in veer: v’ Snelheid van golffront: v v v’ v’

108 108 Snelheid van Longitudinale golven Eerst even terug naar transversale golven: Samenhang segmenten massa van segment Zonder bewijs, maar met intuïtie: Longitudinale golf door veer: Longitudinale golf door vloeistof of gas: Longitudinale golf door lange balk of staaf: Met veerconstante: Met Bulk modulus: Met E de elastische modulus

109 109 Energy Transport Longitudinale golf ‘Fundamentele’ resultaat SHO: Bij maximale uitwijking met Amplitude A: Power (vermogen): Hoeveel massa kan het golffront in tijd t laten bewegen? Longitudinale Golf door buis met doorsnede S Vloeistof met dichtheid  S Rood/Blauw=hoge/lage dichtheid “Ver-idealiseer” golf Afgelegde weg: Intensiteit: Vermogen per ‘loodrechte’ oppervlak: Hoe zwakt (de intensiteit van) een aardbeving af met de afstand? I ~ Amplitude 2

110 110 Opgave Bespreek met je buurman/vrouw: Als je een steen in een vijver gooit ontstaan er een cirkelvormige golven. Waarom wordt de amplitude steeds kleiner met groter wordende straal?

111 111 Opgave

112 112 Trillingen en golven Blok 14 Fourier Uit Syllabus H7.1 – 7.4

113 113 Fourier - concepts Iedere (periodieke) functie is schrijfbaar als de ‘som van cosinussen en sinussen’. (ontdekker: Fourier , wiskundige & militair ingenieur) Bijvoorbeeld een blokpuls: Superpositie van slechts enkele termen Algemeen: Let op: L=repetitie lengte. Merk op: in een on-even functie, f(x)=-f(-x), doen geen cosinus termen mee. in een even-functie f(x)=f(-x) doen geen sinus termen mee. Wat kunnen we hier verder mee?

114 114 Fourier Analyse Welke ‘golven’ doen mee in een functie f(x)? (het domein van f(x) ligt tussen –  en +  Veel werk, maar van iedere functie kunnen we dus A n en B n bepalen Bijvoorbeeld analyse van een geluidsfragment: Welke tonen komen uit een piano? Na opname en digitalizatie: Fourier analyse geeft het golflengte of frequentie-spectrum A n en B n noemen we de Fourier coefficienten.

115 115 Frequentie spectra - Commercieel Bijvoorbeeld analyse van een geluisfragment Welke tonen komen uit een viool? Na opname en digitalisatie: Fourier analyse geeft het golflengte of frequentie-spectrum Om de eigenschappen van (hinderlijke) trillingen te begrijpen. In het bijzonder om de qualiteit van geluid te beoordelen. “onze violen zijn net zo goed als die van Stradivarius” Nog altijd beter dan: “wij van WC-eend adviseren WC-eend” Note: geluidsgolven hebben ‘geen last’ van dispersie. Nu.nl Stradivarius klinkt niet beter dan moderne viool Laatste update: 2 januari :44 info WASHINGTON - Een oude viool, zoals een 18e- eeuwse Stradivarius of een Guarnieri, klinkt niet beter dan een modern instrument.

116 116 Discussievraag aan je buurman/vrouw Voor thuis:

117 117 Opgaven Fourier Voor thuis: Animatie mbt Fourier analyse 1)Bewijs/Beredeneer onderstaande integralen. 2) Zie onderstaande functie f(x). Hoe ziet de Fourier getransformeerde, F(k) eruit? (Schets) x f d-d Zie ook de opgaven uit het werkboek H en eventueel de volgende slides

118 118 Opgaven Fourier Met antwoorden

119 119

120 120 Opgaven Fourier

121 121 Wat heb ik geleerd? Ik ken de bewegingsvergelijking van golven. Ik kan deze zelf afleiden. Ik kan een energiebeschouwing maken. Ik kan uitleggen hoe de snelheid van een longitudinale veer is afgeleid. Ik kan het begrip superpositie wiskundig en grafisch uitleggen. Ik kan uitleggen wat dispersie is.

122 122 Trillingen en golven Blok 15 Snelheid, Superpositie en Dispersie Uit Giancoli , Syllabus H7.5, 7.6

123 123 Superpositie superpositie principe  het totale effect is gelijk aan som der elementen. Gelukkig! Vele ‘elegante’ grootheden uit de natuurkunde voldoen hieraan: Energie, Elektrische veld, Kracht, snelheid (klassiek), massa (klassiek). Uit experimenten blijkt: golven van verschillende Amplitude en/of golflengte tellen rekenkundig op tot de totale golf.

124 124 Superpositie & snelheid  Dispersie We hebben gezien dat de voorplantings-snelheid niet van de frequentie afhangt. In de praktijk: v is niet constant. Waarom niet? Bijvoorbeeld omdat een koord zich niet zomaar laat ombuigen; dat effect is duidelijk golflengte afhankelijk. Gevolg: er treedt dispersie op (de snelheid is afhankelijk van de golflengte): v=functie(k) Een samengestelde golf is niet meer vormvast. Op t=0 beginnen we met een (bijna) blokgolf Na een tijdje is blokgolf ‘uitgesmeerd’ (groene curve) De superpositie van enkele geschikt gekozen golven, leidt tot een (bijna) blokgolf. Demo: Dispersiegolf.nb

125 125 Fysische snaar & dispersie zie ook syllabus H7.6 Terug naar golfvergelijking en snelheid voor een snaar l: Staande Golven Geen dispersie een echte snaar laat zich niet zomaar ombuigen. Gevolg: k slope De boventonen klinken hierdoor wat hoger. Experts noemen deze tonen “sharp”. Mathematica demo: Dispersiesnaar.nb (Dispersie maakt er een ‘rommeltje’ van) Nu een pianosnaar

126 126 Opgaven Zelf afleiden met complexe getallen!!! Werkboek 7.7, 7.8, 7.10

127 127 Trillingen en golven Blok 16 & 17 Zwevingen groepssnelheid Uit Giancoli ; 16.6, Syllabus H5.2.2, 7.7

128 128 Zweving, interferentie in tijd Een zweving of ‘Beat’ is waarneembaar als twee trillingen niet precies (maar wel bijna) dezelfde frequentie hebben  op dezelfde plek hoor je als functie van de tijd de amplitude variëren. Uiteraard: ook mechanische trillingen vertonen zwevingen. Neem: Som:

129 129 Zweving:Fase-snelheid en Groepsnelheid Specifiek voor een zweving kunnen we de groepssnelheid ‘zien ontstaan’. Werk de som van de twee golven uit tot product: Met de volgende animatie kunnen we  k en  zelf instellen: Fase snelheid groepssnelheid ~ ‘oude’ fasesnelheid golf met Dispersie-relatie Ook als nb op BB

130 130 Opgaven Voor thuis: Animatie mbt Fourier analyse 1) Zie onderstaande functie die is overgenomen uit de zojuist besproken slides. Welke Fourier coefficenten zullen voorkomen? 2) Neem twee golven op t=0 in fase met gelijke amplitude. De ene golf heeft een een frequentie van 50Hz, de andere 60Hz. Tel de golven op. Wat gebeurt er? Waar is de amplitude van de omhullende minimaal en maximaal?  wat is het verschil in fase- en groepssnelheid? Opgave Werkboek 7.3, 7.6

131 131 Extra Opgaven

132 132 Wat heb ik geleerd? Ik kan uitleggen hoe golven reflecteren en dit ook wiskundig doorrekenen. Mbt Transmissie kan ik een wiskundige analyse maken. Ik kan uitleggen wat een zweving is en hier analytisch mee omgaan. Ik kan aan de hand van een zweving uitleggen wat fase- en groepssnelheid zijn.

133 133 Trillingen en golven Blok 18 Breking,Reflectie met Transmissie Uit Giancoli ; 16.6

134 134 Reflectie De ‘regels’ voor reflectie aan vast/open einde gelden ook voor uitgebreide golven. We spreken dan van een golffront Nu kan de golf ook onder een hoek invallen. Er geldt zoals altijd: hoek van inval is de hoek van uitval.

135 135 Golffront Breking (refractie) Geen vast, geen open uiteinde, maar ander medium Er is een relatie tussen de loopsnelheid in het medium en de hoek waaronder de golf zich voortplant. (Hier komen we nog op terug bij licht) Er kan ook een deel van de golf worden weerkaatst. Welk gedeeltje gaat door (Transmissie) en welk gedeelte Reflecteert  dat wordt rekenen!

136 136 Transmissie & Reflectie Geen vast einde, geen open einde, maar ander medium Medium 1 Medium 2 start later EXPERIMENT: Dus, we hebben superpositie: Merk op: frequentie in 1 en 2 moeten gelijk zijn: X=0 touwen zitten aan elkaar vast: Andere (ideale) eis: geen knik in touw:

137 137 Discussievraag

138 138 Opgaven

139 139 TGO Blok 19 Speciale Golven (als er tijd over is) Uit Giancoli 15.9

140 140 Speciale Golven Circulaire staande golven Soliton (enkele golfpiek) Gevolg dispersie voor een Soliton Golven door de aarde P and S waves

141 141 Op zee: Beweegt door het water, niet alleen bovenop (surface wave). Snelheid v 2 ~diepte  400 km/hour! Amplitude<1meter >100km komt voor. Energieverlies 1/ Tsunami (geen tentamenstof) Bij de kust, ondiep water, wordt de energie gecomprimeerd: v en nemen af. Amplitude neemt toe! Vaak wordt golfpiek vooraf gegaan door golfdal en trek de zee als het ware even terug.

142 142 water golven en dispersie (geen tentamenstof) Nu we het toch over golven hebben: windgolven. (Afleidingen niet triviaal) Voor diepwater golven geldt in goede benadering: als kd>  Wat betekent dit voor de fasesnelheid en de groepsnelheid in termen van de golflengte? met d de diepte Ondiep-water golven met lange golflente hebben een lineaire dispersierelatie. (net zoals Tsunami). Ondiep-water golven met korte golflengte:

143 143 Wat heb ik geleerd? Ik kan uitleggen hoe staande golven ontstaan. Ik kan wiskundig de vorm van deze golven bepalen. Ik kan uitleggen hoe dispersie, fasesnelheid en groepssnelheid samenhangen. Ik begrijp de concepten van de Fourier analyse. Specifiek: M.b.t. speciale en 3 dimensionale golven is voor je algemene ontwikkeling – geen tentamensof. Je hoeft geen dispersierelaties uit je hoofd te kennen; je moet ze wel kunnen interpreteren. Je hoeft de formules m.b.t. Fourier niet uit je hoofd te kennen. Je moet er wel mee kunnen werken op het nivo zoals op deze en volgende slides.

144 144 Opgaven Werkboek 7.11, 7.12

145 145 TGO Blok 20 Staande (geluids-)golven Fourier analyse (niet uit Giancoli, zie syllabus) Uit Giancoli 16, Syllabus H6.2.2, H7.4

146 146 Geluidsgolven Geluid, met name door muziekinstrumenten, wordt doorgaans veroozaakt door staande golven in: 1) Trillende snaren, versterkt door plaat, doos. 2) Trillende luchtkolom in buis. Snelheid v=( T/C o )m/s. Bij kamertemperatuur 343m/s. Geen dispersie. Belangrijke stemtoon A f=440 Hz. De golflengte in lucht is dan: 78cm.

147 147 Discussievraag – wie weet dit? Ik weet niet zoveel van octaven en tonen en of stemschema’s. Het moet iets te maken hebben met het feit dat iedere octaaf (een octaaf verschilt een factor 2^n van de n-de andere). In een octaaf zitten totaal 12 tonen. De volgende toon is van de volgende octaaf. Dus met 12 intervallen moet je een factor 2 maken. Interval^12=2. Dus interval_1=~1.05. Iedere volgende toon i heeft dan een frequentie interval^i.

148 148 Aanslaan van trillingen in snaar Neem eens een snaar, trek er aan en laat los op t=0 Hoe trilt de snaar op op t>0? Alle mogelijke normaalmodes (staande golven) kunnen worden aangeslagen. Fysische intuitie: L wat zijn de amplitudes C n ? Hoe doen we dit netjes en algemeen? Antwoord: Fourier analyse We weten f(x)=y(x,0). Die kunnen we omzetten naar de Fourier vorm: De vorm op t=0 is gegeven Wat zijn A n en B n ?

149 149 Fourier analyse (wiskunde) Dit is de algemene opzet van een Fourier analyse om de Fourier coefficienten van een gegeven functie f(x) te bepalen. Let op: x in radians en f(x) moet periodiek zijn. (Als x niet in radians: Integreer over 1 periode en normaliseer correct.) Bewijs is redelijk simpel. Schrijf f(x) als Fourier reeks en gebruik: Dit recept kunnen we toepassen op iedere vorm van de snaar. Dat is echter veel werk. Op de volgende slide een makkelijk voorbeeld.

150 150 Fourier at work Neem eens een snaar, trek er aan en laat los op t=0 Hoe trilt de snaar op op t>0? L Neem eens als vorm op t=0 een blok Maak f(x) periodiek: 0L 2L Voor nu: L= en volg het recept op vorige slide DEMO: Dispersiesnaar.nb

151 151 Fourier. Wiskundig voor je toekomst. We hadden discrete geval: Fourier getransformeerden: Algemener en continue: Complex: Nodig: o.a. bij quantum mechanica

152 152 Opgaven Voor thuis: Animatie mbt Fourier analyse 1) Wat is de Fourier getransformeerde van een enkele blokfunctie tussen x=-a en x=a? (maak gebruik van de complexe continue vorm)

153 153 Opgaven

154 154 TGO Blok 21 Het Doppler effect (als er tijd over is, anders zelfstudie) Uit Giancoli 16

155 155 Doppler Effect De sirene van een naderende politieauto heeft een hogere toon en lager als de auto zich van je verwijderd. Snelheid 0 Snelheid v p Freq. f Als de luisteraar met u beweegt: Belangrijke toepassingen: Roodverschuiving van objecten in heelal als afstandsmaat Radar  weerkaatste licht aan auto als snelheidsmeting vleermuizen Beide bewegen even snel: is er nog steeds een netto effect?

156 156 A B Discussievraag

157 157 Het eerste Dopplereffect op aarde Er stond een trompetter op de trein + iemand met absoluut gehoor + coordinator. Langs de rails stonden op A,B,C ook zo’n drietal om verschillende blaas-variaties te proberen Resultaat: De eerste rit van de zes mislukte. Er werd nauwelijks iets gehoord door de herrie van de loc. Door harder te blazen is er toch nog wel wat waargenomen en “werd in het algemeen het Doppler effect bevestigd”. Buijs Ballot werd een bekende meteoroloog. In Duitsland, 1876 is met een Borsig locomotief (100km/u) met stoomfluit het Doppler effect nogmaals bevestigd. Utrecht, juni 1845, C.H.D. Buijs Ballot gebruikte een Hercules locomotief (Sharp & Roberts) die maar liefst 70km/uur haalde om het het Doppler effect aan te tonen. Een proef in februari was al mislukt, want de trompetters konden door de koude hun instrumenten niet goed afstemmen.

158 158 Extreme Doppler: Supersoon De bron beweegt sneller dan het geluid > 1 Mach Een supersonisch vliegtuig maakt altijd minstens 1 shockwave Ik vermoed dat je condensatie ziet door drukgolf, maar ben niet zeker.

159 159 Opgaven

160 160 Wat heb ik geleerd? Ik kan uitleggen hoe golven reflecteren en dit ook wiskundig doorrekenen. Mbt Transmissie kan ik een wiskundige analyse maken. Ik kan het Doppler effect afleiden. Ik kan uitleggen wat er gebeurt bij supersone snelheden.


Download ppt "1 Trillingen en golven Introductie. 2 Trillingen, Golven en Optica (TGO) Prof. dr. Ben van Linden van den Heuvell )"

Verwante presentaties


Ads door Google