LES 1 : Arbeid- en energie methoden

Presentatie over: "LES 1 : Arbeid- en energie methoden"— Transcript van de presentatie:

1 LES 1 : Arbeid- en energie methoden
Hans Welleman

2 Arbeid, energieprincipes
Indeling Bijeenkomst 1 Arbeid en energie Bijeenkomst 2 Castigliano Bijeenkomst 3 Potentiële energie Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

3 Arbeid, energieprincipes
Les 1 Begrippen Arbeid, virtuele arbeid, wederkerigheid Vervormingsenergie Arbeidsmethoden Virtuele arbeid methode met eenheidslast Rayleigh Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

4 Arbeid, energieprincipes
uF F u Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

5 Arbeid, energieprincipes
Vervormingsenergie belaste toestand u F onbelaste toestand F=0 kracht u veerkarakteristiek Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

6 Virtuele Arbeid : Puntdeeltje
Bij een virtueel mogelijke verplaatsing leveren de krachten virtuele arbeid. x y z Puntdeeltje evenwichtsvergelijkingen van een puntdeeltje in 3D Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul. Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

7 VA : Star lichaam (in x-y vlak)
Zelfde aanpak, nu met extra rotatie-vrijheidsgraad (zie CT1031 hfst 15) evenwichtsvergelijkingen van een star lichaam in een vlak Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul. Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

8 MECHANISMEN Kinematisch onbepaald Welke mogelijkheden ?
Geen van de aanwezige verbindingskrachten levert arbeid ! Kinematisch onbepaald Welke mogelijkheden ? Scharnier, N, V geen M Glij-scharnier, N, M geen V Telescoop, V, M geen N Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

9 Arbeid, energieprincipes
RESULTAAT Voor mechanismen geldt dat de totale virtuele arbeid de arbeid is die wordt verricht door alleen de van buiten op de constructie aangrijpende krachten Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

10 Arbeid, energieprincipes
MECHANISMEN ????? Geen zinvolle constructie Dat is juist maar ……. arbeid = 0 = M M alleen M kan arbeid verrichten ! Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

11 Arbeid, energieprincipes
NU MET BELASTING ….... Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn ! F M F = F M eis totale arbeid = 0 ! levert : M Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

12 Arbeid, energieprincipes
VOORBEELD : M t.p.v. F F x-as l z-as a b M F Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

13 Arbeid, energieprincipes
AANPAK Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten (virtuele) arbeid verrichten Dit kan alleen door de bij de kracht of moment behorende vrijheidsgraad een (virtuele) verplaatsing of rotatie te geven Hierdoor ontstaat bij S.B. constructies een mechanisme. Alleen de belasting en de gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen vervorming in de constructie) Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

14 Arbeid, energieprincipes
VOORBEELD : AV l a b z-as F AV AV F Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

15 Arbeid, energieprincipes
“SMAKEN” VOOR LIGGERS Oplegreacties - neem de oplegging weg Dwarskracht - schuifscharnier Inklemmingmoment - scharnier Moment - scharnier Normaalkracht - telescoop Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

16 Arbeid, energieprincipes
Voorbeeld : vakwerk Horizontale verplaatsing = Rotatie maal verticale afstand tot draaipunt Nu de arbeid berekenen … Kracht in staaf DE ? Stap 1: maak de verplaatsingsgrootheid behorende bij N vrij Stap 2: bepaal de virtuele verplaatsingen in het mechanisme Stap 3 : stel de VA vergelijking op Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

17 Arbeid, energieprincipes
Opdracht : Virtuele Arbeid inklemmingsmoment en oplegreactie t.p.v. de roloplegging 2,5 m 3,5 m 50 kN 5 kN/m x-as z-as Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

18 Arbeid en wederkerigheid
1 : eerst Fa en dan Fb Fa Fb A B uba uaa ubb uab 2 : eerst Fb en dan Fa Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

19 Arbeid, energieprincipes
Arbeid is gelijk Volgorde van belasten is onbelangrijk Gelijkstellen van arbeid levert: theorema van BETTI Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

20 Wederkerigheid van Maxwell
Verplaatsing = invloedsgrootheid x kracht Herschrijf BETTI tot: Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

21 Resultaat Betti - Maxwell
Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

22 Arbeid, energieprincipes
Vervormingsenergie Extensie (trek en druk) Afschuiving Wringing Buiging Normaal- en schuifspanningen Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

23 Arbeid, energieprincipes
Extensie dx dx N  d rek kracht arbeid oppervlak Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

24 Arbeid, energieprincipes
Vervormingsenergie Uitgedrukt in de spanningscomponent EC Uitgedrukt in de verplaatsingscomponent EV Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

25 Arbeid, energieprincipes
Overzicht Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

26 Arbeid, energieprincipes
Arbeidsmethoden Arbeid verricht door externe krachten wordt opgeslagen in vervormbare delen d.m.v. vormveranderingsenergie Auitw = EV Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

27 Voorbeeld 2 : Arbeid en energie
F wmax EI x-as z-as B A Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

28 Arbeid, energieprincipes
Onbekende is wmax Bepaal M-lijn en vervolgens de vormveranderingsenergie (MAPLE) Stel deze gelijk aan de uitwendige arbeid (Clapeyron) Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

29 Arbeid, energieprincipes
Momentenlijn ? Basismechanica ? Neem de halve ligger i.v.m. symmetrie Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

30 Arbeid, energieprincipes
Oplossing Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

31 Werkt dit ook voor verdeelde lasten ?
Arbeid = zakking x belasting (hoe?) Vormveranderingsenergie uit M-lijn (ok) gemiddelde zakking ???? Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

32 Andere aanpak: Arbeidsmethode met eenheidslast
Breng op de plek waar je de zakking wilt weten een eenheidslast aan. Zakking w en M-lijn M(x) door feitelijke belasting Zakking w en M-lijn m(x) door eenheidslast Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

33 Arbeid, energieprincipes
1,0 kN m(x) EI l Aanpak Breng eenheidslast aan Breng belasting aan F M(x) EI l Totale arbeid ? Vervormingsenergie ? Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

34 Arbeid, energieprincipes
Resultaat Integraal is product van veelvoorkomende functies. In de “oude” tijd was hiervoor een standaard tabel. Kan nu natuurlijk met MAPLE Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

35 Arbeidsmethode met eenheidslast
Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

36 Voorbeeld met verdeelde belasting
q wmax EI 1,0 kN Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

37 Arbeid, energieprincipes
Aanpak Bepaal M(x) t.g.v. q (zie opgave 1) Bepaal m(x) t.g.v. eenheidslast (dictaat : voorbeeld 2) Uitwerken … Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

38 Toepassing A&E Eulerse knik
F EI, EA l u uF Voor uitknikken, alleen extensie Na uitknikken, extensie en buiging CONCLUSIE : Toename van de arbeid tijdens uitknikken wordt opgeslagen in vervormingsenergie t.g.v. buiging Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

39 Arbeid, energieprincipes
Knik (overgang) Normaalkracht onveranderd Vervorming door extensie heeft geen invloed D U S Arbeid door additionele verplaatsing t.g.v. buigen van de staaf is gelijk aan de vervormingsenergie t.g.v. buiging Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

40 Additionele verplaatsing
z, w x, u duF dw dx w Taylorbenadering Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

41 Arbeid, energieprincipes
Clapeyron : A = Ev Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

42 Arbeid, energieprincipes
Voorbeeld F f l Neem een kinematisch toelaatbare uitbuigingsvorm aan Werk de integralen uit … Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes