De wondere wereld van de kwantummechanica

Presentatie over: "De wondere wereld van de kwantummechanica"— Transcript van de presentatie:

1 De wondere wereld van de kwantummechanica
Tweede les Klassieke natuurkunde (vervolg)

2 Klassieke natuurkunde Klassieke (Newtonse) Mechanica
De klassieke bewegingsvergelijking (tweede wet van Newton) is een differentiaalvergelijking: niet alleen de functie zelf, maar ook afgeleiden van de functie komen in de vergelijking voor. Dit is een tweede orde differentiaalvergelijking. Programma van de klassieke mechanica: Bij gegeven kracht F: bereken de plaats r als functie van de tijd (de baanbeweging) door F/m twee keer te integreren (primitieveren). De eerste integratie geeft de snelheid als functie van de tijd, de tweede integratie geeft de plaats als functie van de tijd. Hierbij krijgen we twee onbepaalde constanten. Deze leggen we vast met begin(of rand)voorwaarden. Meestal zijn dit de plaats en de snelheid op tijdstip t=0.

3 Het meest eenvoudige geval: Kracht is nul: F=0: het vrije deeltje.
y-as x-as Het meest eenvoudige geval: Kracht is nul: F=0: het vrije deeltje. Bewegingsvergelijking: d2r/dt2=0 Kies als randvoorwaarden: v(0)=0, r(0)=0 Wat verwacht u voor de baanbeweging? Hint: denk aan knikker op tijdstip t=0 stilliggend in krater. Oplossing: wat is de eerste integraal, dit is de snelheid? Met andere woorden: wat is de primitieve van 0? Antwoord: een constante, want de afgeleide van een constante is 0. Waaruit volgt v=const. Wat is deze constante? Antwoord: omdat v(0)=0 moet de const=0 zijn. U mag nu bewijzen dat de tweede integraal, dit is de baanbeweging, als oplossing heeft r(t)=0: het deeltje blijft stilliggen in de oorsprong.

4 F blijft 0 maar we veranderen de randvoorwaarden: v(0) is een constante ≠0, stel v0 (r(0) blijft 0). Toon aan: het deeltje beweegt rechtlijnig eenparig met snelheid v0, dus r(t)=v0t. Samenvattend: als de resultante kracht 0 is, dan volgt uit de tweede wet van Newton (F=ma) dat het deeltje stilligt of rechtlijnig eenparig beweegt. Dit is de eerste wet van Newton! (Hebben we die eerste wet wel nodig??) Wat is de grafiek van plaats tegen tijd van een rechtlijnig eenparige beweging langs de x-as? Antwoord: een rechte lijn. Wat stelt de helling van deze lijn voor?

5 Hint: googlen of mailen erik.lagendijk@planet.nl.
Opgave: het op een na eenvoudigste geval is: kracht is een constante ongelijk 0: F=const.. Toon aan dat de beweging nu eenparig versneld is. Dat wil zeggen de versnelling is constant, de snelheid is evenredig met t en de plaats is evenredig met t2 (afgezien van constanten). Dit is de vrije worp of kogelbaan: een van de eerste en zeker niet de laatste toepassing van de natuurkunde voor militaire doeleinden! Aristoteles ca 350 voor Christus: het deeltje vliegt rechtuit omhoog dankzij impetus; zodra de impetus op is valt het recht naar beneden,dat is de natuurlijke baan van een vallend lichaam. Galilei rond 1630: projectiel neemt deel aan twee bewegingen: horizontaal een eenparige, verticaal een eenparig versnelde. Het resultaat is een parabolische baan. Theoretische rechtvaardiging: Newton (geboren in het jaar dat Galilei stierf). Hint: googlen of mailen

6 Bewegingsvergelijking:
Het op twee na eenvoudigste geval: de kracht is evenredig met de afstand tot de oorsprong F=-kx. Dat is de 1-dimensionale harmonische oscillator: Zie les 1. Bewegingsvergelijking: ω is de hoeksnelheid of hoekfrequentie. Kies randvoorwaarden x(0)=A en v(0)=0 Oplossing: x(t)=Acos(ωt). De beweging is periodiek met periode T=2π/ω . Het aantal keren per tijdseenheid dat de beweging zich herhaalt is de frequentie f=1/T=ω/2π. Waaruit volgt ω=2πf.

7 Belang van de harmonische oscillator:
1. Fourier stelling: iedere willekeurige periodieke functie laat zich schrijven als een som van harmonische oscillatoren met verschillende amplitudes en frequenties. Voorbeeld: de klankkleur van een muziekinstrument zoals een fluit of een viool is bepaald door de mate waarin behalve de grondtoon ook boventonen een rol spelen. Fluit G4 Viool G4

8 2. De harmonische beweging is de eerste benadering van een beweging die door een dal gaat. Voorbeeld: een slinger. Voor kleine φ is sinφ ≈ φ (hoek in radialen) Bewegingsvergelijking: is een harmonische oscillator met hoekfrequentie √(g/l)

9 Vraag: welke kracht hoort daarbij?
Een voorbeeld van een gegeven baanbeweging: eenparige cirkelbeweging (aarde om zon, maan om aarde, elektron rond proton??...). Vraag: welke kracht hoort daarbij? y x R v θ De hoek θ neemt eenparig toe: θ(t)= ωt . ω noemen we de hoeksnelheid. Voor de coördinaten geldt: x(t)=Rcos(ωt) y(t)=Rsin(ωt) De beweging is periodiek, met periode T=2π/ω, want als t met T toeneemt dan neemt ωt met 2π toe. De frequentie is f=1/T=ω/2π. Waaruit volgt ω=2πf. In een periode T legt het deeltje 1 keer de omtrek 2πR van de cirkel af met snelheid v. Dus vT= 2πR waaruit volgt ω=v/R. De snelheid vind je door de coördinaten te differentiëren naar de tijd.

10 Na differentiatie (zie tabel!) volgt:
y x R v θ Na differentiatie (zie tabel!) volgt: vx(t)= dx(t)/dt=d{Rcos(ωt)}/dt= -ωRsin(ωt) vy(t)= dy(t)/dt= d{Rsin(ωt)}/dt= ωRcos(ωt) De versnelling vind je door nog een keer te differentiëren. ax(t)=dvx(t)/dt=-ω2Rcos(ωt) =-ω2x(t) ay(t)=dvy(t)/dt=-ω2Rsin(ωt) =-ω2y(t). In vectornotatie: a(t)=-ω2r(t): centripetale versnelling. De bijbehorende centripetale kracht is F=ma=-mω2r. (2-D harmonische oscillator). N.B.: de eenparige cirkelbeweging is niet de enige oplossing van de 2-D harmonische oscillator! Zijn er meer voorbeelden van centripetale krachten?

11 Jazeker! En niet de minsten.
De zwaartekracht die de kracht tussen twee massapunten geeft: r M m FG -FG FG er er is een eenheidsvector in de richting van r. G=6, Nm2/kg2 is centripetaal (aantrekkend). De coulombkracht die de elektrostatische kracht tussen twee ladingen geeft: r Q q FC -FC FC er C=9 109 Nm2/C2 is ook centripetaal als de ladingen een tegengesteld teken hebben. Als de ladingen hetzelfde teken hebben dan is de kracht centrifugaal (afstotend). proton – elektron (in H atoom) FG= 3, N (aantrekkend) FC=8, N (aantrekkend) proton-proton (in He kern) FG= N (aantrekkend) Fc=40 N (afstotend)

12 Bewering: van iedere centripetale kracht is de eenparige cirkelbeweging een oplossing (maar niet noodzakelijk de enige oplossing!). Dus ook voor de zwaartekracht en de coulombkracht is de eenparige cirkelbeweging een oplossing. Newton ca 1666: banen van de 1/r2 kracht zijn kegelsnedes: ellips (met cirkel als bijzonder geval), parabool of hyperbool. Hij geeft daarvan in de Principia (1687) een geometrisch en niet een analytisch bewijs.

13 Klassieke natuurkunde Impuls
v V m M Twee botsende deeltjes. Wat bepaalt het effect van de botsing? Niet alleen de snelheid maar ook de massa bepaalt het effect van de botsing. Nuttiger in veel gevallen is daarom het product p =mv. Dit noemen we hoeveelheid van beweging of impuls (Eng. momentum). De tweede wet van Newton wordt dan In deze vorm geldt de wet ook als m niet constant is, bijvoorbeeld bij een raket. Zolang Fres=0 verandert de totale impuls niet in de tijd, want alle actie-reactie paren heffen elkaar op: wet van behoud van impuls. Deze behoudswet geldt ook in de kwantummechanica!

14 Klassieke natuurkunde Impulsmoment
Impuls is een maat voor doorgaande beweging: translatie. Impulsmoment (Eng. angular momentum) is een maat voor rotatie ten opzichte van een bepaald punt in de ruimte. r p p// p│ P θ Alleen de loodrechte component van de impuls p draagt bij aan draaiing. Er is meer draaiing naarmate de “arm” r en/of de impuls loodrecht op die arm groter worden (denk aan een steen aan een touw). Vandaar: impulsmoment L is “arm” maal impuls loodrecht op die arm: L=rpsin(θ).

15 L=Rmv is constant, staat loodrecht op het vlak en wijst het vlak uit.
z x y L r p Van L maken we een vector. L staat loodrecht op het vlak van r en p : “draai r naar p over de kleinste hoek en ga door volgens een rechtse schroef” (kurkentrekker regel). Notatie: L=rxp, spreek uit:“L is r uit p” of: “L is het vectorproduct van r en p”. Merk op: p uit r is een andere vector dan r uit p. y x r p Voorbeeld: eenparige cirkelbeweging. r staat loodrecht op v, dus ook loodrecht op p=mv. L=Rmv is constant, staat loodrecht op het vlak en wijst het vlak uit.

16 Hoe krijgt een deeltje impulsmoment?
Een deeltje krijgt meer impuls door een kracht uit te oefenen: dp/dt=F. Hoe krijgt een deeltje impulsmoment? Daarvoor moet je een krachtmoment=arm maal kracht loodrecht op die arm uitoefenen. Denk aan een moersleutel. Krachtmoment M is een vector waarvoor dezelfde regel geldt als voor het impulsmoment: M=rxF. Dan geldt dL/dt=M. kracht F massa aan staaf draaipunt F// F arm r Voor het impulsmoment geldt weer een behoudswet: als het resulterende krachtmoment nul is, dan is het impulsmoment behouden. Ook deze behoudswet blijft gelden in de kwantummechanica.

17 Toepassingen: professor met fietswiel op draaikruk, gyrokompas, stabilisatie van ruimtevaartuigen.
Het impulsmoment speelt in de kwantummechanica een belangrijke rol: Het is altijd gekwantiseerd: de component van het impulsmoment langs een gekozen richting is een geheel aantal malen ħ (heeltallig impulsmoment) of een geheel aantal malen ½ħ (halftallig impulsmoment, is een gevolg van spin). Tussen de componenten gelden onzekerheidsrelaties: ΔLxΔLy≥½ħ |<Lz>| etc. Gevolg is dat het impulsmoment nooit volledig langs een gekozen oriëntatie kan liggen.

18 Klassieke natuurkunde Arbeid en Energie
Als u een halter optilt, dan verricht u arbeid. Eenmaal opgetild heeft de halter vermogen gekregen om arbeid te verrichten. De halter heeft “potentiële” energie gekregen ten koste van uw arbeid. Richting gravitatieveld F=-mg Als u de halter laat vallen wordt deze potentiële energie omgezet in kinetische (bewegings) energie. En als de halter op de grond ligt, dan is de bewegingsenergie omgezet in deformatie-energie van de ondergrond (deels veerkrachtig en daarmee potentieel) en/of de halter en in warmte.

19 Hoe hoger u tilt en hoe groter de massa, des te groter uw inspanning
Hoe hoger u tilt en hoe groter de massa, des te groter uw inspanning. En naarmate de zwaartekracht meer afwijkt van de richting waarin u tilt hoeft u minder arbeid te verrichten. Vandaar de definitie van arbeid : W (van Work)=afgelegde weg x component van de kracht langs die weg. W=d x Fcos(θ). Notatie: W=d.F, spreek uit: “W is d in F” of “W is d punt F” of “W is het sacalairproduct van d en F”. Merk op: het inproduct is een getal (scalar) en geen vector. Merk ook op: F in d is hetzelfde als d in F. Als de kracht loodrecht op de weg staat is de verrichte arbeid nul. Lopen langs een horizontaal pad, dus loodrecht op de zwaartekracht, kost dan in principe geen arbeid. Waarom word je toch moe? Wat is de richting van de kracht die de zon op de aarde uitoefent?

20 Terug naar de halter: u verplaatst een massa m over een hoogte z in een gravitatieveld met constante gravitatieversnelling g in de negatieve z-richting. De door de kracht verrichte arbeid is dan: W= kracht langs z x afgelegde weg=–mgz. Door deze verrichting stijgt de potentiële energie van de halter met ΔU=mgz. U laat de halter vallen en daarmee neemt de kinetische energie toe met ΔT. Hoe groot is ΔT? s De beweging is eenparig versneld. Stel t=0 op het moment van loslaten. Er geldt v(0)=0. Noem de afgelegde weg s en stel s(0)=0. Dan geldt: v=at en s= ½at2. Elimineer t dan volgt: s= ½v2/a, waaruit volgt: W= Fs=½mv2 dus de kinetische energie van de halter bij het raken van de grond is toegenomen met ΔT= ½mv2.

21 Neem nu een willekeurig krachtveld:
F v1 v2 ds θ Dan geldt dW=F.ds=dT. Als we al deze bijdragen optellen en de limiet nemen van ds→0 krijgen we een integraal: De verrichte arbeid is dus gelijk aan de verandering van de kinetische energie. In het zwaartekrachtveld geldt ΔT=-ΔU. Dus ΔT+ΔU=0 waaruit volgt Δ(T+U)=0. Noemen we E=T+U de mechanische energie, dan geldt hier dus een wet van behoud van mechanische energie.

22 Voorbeeld van niet conservatieve kracht: wrijvingskracht.
Als de arbeid W niet afhankelijk is van de gevolgde weg dan kunnen we een functie U(r) definiëren, zodanig dat W gelijk is aan het verschil UA-UB =-ΔU. U heet de potentiële energie(functie). Het krachtveld noemen we dan conservatief. In zo’n krachtveld is er behoud van mechanische energie. Voorbeelden: massa-veer systeem zonder demping, gravitatie. Voorbeeld van niet conservatieve kracht: wrijvingskracht. Merk op: U is bepaald op een constante na. We kunnen het nulput van U dus kiezen. Vaak kiezen we daarvoor het punt waar de kracht 0 is. De wet van behoud van energie heeft in de natuurkunde de status van een geloofsartikel: als hij niet lijkt te gelden verzinnen we een nieuw soort energie zodanig dat de wet weer opgaat. Voorbeeld: warmte bij wrijving. De wet van behoud van energie geldt ook in de kwantummechanica.

23 In een conservatief krachtveld is F.ds=dT=-dU.
Gevolg is dat we de kracht kunnen afleiden uit de potentiële energiefunctie door het bepalen van de richtingsafgeleide of gradiënt. De officiële notatie is F=-U of F=-grad(U). Spreek uit: “F is de negatieve gradiënt van U.” Helling van de raaklijn is de gradiënt De x-component van de grad(U) vinden we door U naar x te differentiëren, waarbij y en z constant worden gehouden. Dit heet partieel differentiëren, notatie U/x (dus ronde d’s!). Dus Fx=-U/x etc. Voordeel: in plaats van met een vectorgrootheid F kunnen we werken met een scalaire grootheid U.

24 Toon aan: de potentiële energiefunctie van de 1-dimensionale harmonische oscillator is ½mω2x2.
Toon ook aan (nadat u zonodig gegoogled hebt op partieel differentiëren) dat de potentiële energiefunctie van een centripetale kracht van het type const/r2 (zwaartekracht, coulombkracht) gelijk is aan const/r. Hint: Nog een belangrijk voordeel van het gebruik van de potentiële energiefunctie dat we danken aan Lagrange, Hamilton, Jacobi e.a.: E=T+U=½mv2+U =p2/2m+U kan gebruikt worden als uitgangspunt voor de oplossing van een mechanisch probleem in plaats van de tweede wet van Newton. We noemen E dan de hamiltoniaan of hamiltonfunctie H. Kracht overleeft niet in de kwantummechanica maar de hamiltoniaan wel!!

25 Klassieke natuurkunde “We can scarcely avoid…”
“We can scarcely avoid the conclusion that light consists in the transverse undulations of the same medium which is the cause of electric and magnetic phenomena“ James Clerk Maxwell

26 Klassieke natuurkunde James Clerk Maxwell: levensloop
1831 Geboren in Edinburgh, enigst kind van de advocaat James Clerk Maxwell (Clerk Maxwell is een dubbele achternaam!) en Frances Cay. 1832 Famillie verhuist naar het platteland (Glenair). James ontwikkelt zich als een ongewoon nieuwsgierig kind. ““Show me how it doos” is never out of his mouth”. Zijn moeder onderwijst hem thuis met onder andere bijbelstudie. Blijft zijn leven lang een toegewijd Christen. Hij valt op door een uitzonderlijk goed geheugen. Als achtjarige kan hij alle 176 versen van de 119e psalm opzeggen.

27 1839 Zijn moeder sterft aan darmkanker, dezelfde ziekte waaraan hij op ongeveer dezelfde leeftijd zal sterven. De ingehuurde tutor voldoet niet en James gaat op voorspraak van zijn tante Jane Cay naar de Edinburgh Academy. Opleiding aan de Edinburgh Academy. Bijnaam “Dafty” (halve gare) gekregen vanwege zijn plattelandsafkomst. Schoolgenoot en vriend P.G. Tait (de latere wis- en natuurkundige): “At school he was first regarded as shy and rather dull [...] About the middle of his school career however he surprised his companions by suddenly becoming one of the most brilliant among them …”. Raakt ook bevriend met Lewis Campbell, de “dux” van de Academy en later een beroemd classicus. Ook biograaf van Maxwell. 1846 Heeft (als Newton en Einstein!) veel belangstelling voor geometrie. Publiceert “On the description of oval curves and those having a plurality of foci” voorgelezen door Forbes aan de Royal Society of Edindburgh (14 jaar oud!).

28 1847 Toegelaten tot Edinburgh University
1847 Toegelaten tot Edinburgh University. Studeert Natural Philosophy, Moral Philosophy en Mental Philosophy. Hamilton (hamilton mechanica, quaternionen) is een van zijn leermeesters. Bestudeert veel buiten het curriculum om, vooral gedurende midterms in Glenair. 1849 Publiceert “On the Equilibrium of Elastic Solids”. Legt daarin de basis voor later werk over dubbele breking. Maakt gebruik van twee Nicol prisma's, gekregen van Nicol zelf. Publiceert “The Theory of Rolling Curves”. 1850 Gaat naar Cambridge om af te studeren. Eerst Peterhouse, later Trinity (waar ook Newton!). Wordt lid van de Cambridge Apostles, een geheim elite gezelschap.

29 1859 Trouwt met Katherine Mary Dewar. Geen kinderen.
1854 Studeert af als tweede ”wrangler”(hoogste graad in de wiskunde in Cambridge; Edward Routh is eerste). Blijft in Cambridge als tutor. 1855/1856 Publiceert “On the Transformation of Surfaces by Bending” en “On Faraday’s Lines of Force”. Solliciteert naar leerstoel Natural Philosophy in Marischal College in Aberdeen om dicht bij zijn zieke vader te kunnen zijn. Kort na het overlijden van zijn vader krijgt hij de benoeming. Diverse publicaties over kleurenzien en kleurenblindheid. Toont aan dat voor een kleurenfoto drie primaire kleuren (rood, groen en blauw) voldoende zijn. 1857 Wint de Adam’s prijs voor een artikel over de ringen van Saturnus. Voorspelt dat het stofringen zijn. Bevestigd door de Voyager missies van 1859 Trouwt met Katherine Mary Dewar. Geen kinderen. 1860 Professoraat in Natural Philosophy bij King’s College in Londen. Experimenteel en theoretisch werk aan de kinetische gastheorie. Werkt aan een nieuw eenhedenstelsel voor elektromagnetisme.

30 1861 Lid van de Royal Society. Onderzoek aan elasticiteit en geometrie
1861 Lid van de Royal Society. Onderzoek aan elasticiteit en geometrie. Publiceert “On Physical Lines of force”: 20 differentiaalvergelijkingen in 20 onbekenden. 1864 Presenteert zijn wetten over het elektromagnetisme aan de Royal Society. Publicatie “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” waarin de hypothese dat licht een elektromagnetisch golfverschijnsel is. “We can scarcely avoid…”. Hertz wekt elektromagnetische golven op in Begin van de radiotelefonie. Keert terug naar Glenair. Accepteert als eerste het Cavendish Professoraat in Cambridge. Zet het Cavendish laboratorium op. 1866 Ontdekt onafhankelijk van Boltzman de evenwichtsverdeling van de moleculaire snelheden in gassen: Maxwell-Boltzmann verdeling. Introduceert “Maxwell’s demon”. 1867 Publiceert “On Governor’s”. (centrifugaal regelsystemen in stoommachines). 1871 Boek “Theory of Heat” verschijnt. Ca 1873 Leert de “low Dutch language” om het proefschrift van Van der Waals te kunnen lezen.

31 1873 Boek “A treatise on Electricity and Magnetism” verschijnt met zijn 4 wetten.
1876 Boek “Matter and Motion” verschijnt. 1879 Overlijdt aan darmkanker. ”No man ever met death more consciously or more calmly.” “Aye, I suppose I could stay up that late.” Reactie van Maxwell toen hij hoorde dat er in Cambridge een verplichte kerkdienst was om 6 uur ‘s ochtends

32 Klassieke natuurkunde Maxwell vergelijkingen
Maxwell neemt in navolging van Faraday aan dat elektrische en magnetische ladingen en stromen de bronnen zijn van elektrische E en magnetische B velden. De Maxwell vergelijkingen drukken die velden uit in de bronnen. De vergelijkingen zijn niet symmetrisch in E en B omdat er wel elektrische ladingen en stromen zijn, maar geen magnetische (?).

33 Eerste Maxwellvergelijking: de oppervlakte-integraal van de normale component van de elektrische veldsterkte over een gesloten oppervlak is gelijk aan de omsloten lading.

34 De kracht op een testlading q is dan (per definitie):
Voorbeeld : puntlading Q. Vanwege symmetrie wijst het veld overal naar de puntlading toe (Q negatief) of van de puntlading af (Q positief). r r Sla een bol rond de puntlading met straal r en voer de oppervlakte-integratie uit. Vanwege bolsymmetrie is het veld op een boloppervlak overal even sterk en gericht langs de normaal op dit oppervlak. Dus E.dA=EdA. Geïntegreerd wordt dit Ex4πr2. Dit stellen we gelijk aan Q/ε0. De veldsterkte is dus E=Q/ (ε04πr2). De kracht op een testlading q is dan (per definitie): De wet van Coulomb!

35 De derde en de vierde wet van Maxwell zeggen dat een veranderlijk magnetisch veld een elektrisch veld geeft en een veranderlijk elektrisch veld een magnetisch veld (inductiewetten). Dit maakt het ontstaan van een elektromagnetische golf mogelijk. De voortplantingssnelheid in vacuüm is 1/√(ε0μ0)≈ km/s. “We can scarcely avoid …”

36 Uit de maxwellvergelijkingen kunnen we afleiden dat een versnelde lading elektromagnetische straling uitzendt. Een elektron dat om een proton draait, zendt straling uit met een frequentie die gelijk is aan de omloopfrequentie. Gevolg is dat het elektron in een steeds lagere baan met een steedse hogere frequentie beweegt. In ca seconde stort het elektron op het proton en zendt daarbij elektromagnetische straling uit met een continu oplopende frequentie. Dit is (gelukkig!) in strijd met de waarneming: het waterstofatoom is stabiel. Als het straalt dan zendt het discrete frequenties uit (lijnspectrum). Deze frequenties passen niet bij de omloopfrequenties in een klassiek model. De klassieke theorie faalt!

37 De maxwellvergelijkingen tonen aan dat het magnetisch veld veroorzaakt door een kringstroom te vergelijken is met het magnetisch veld van een magnetische dipool (in het gewone spraakgebruik: een magneet). Een kringstroom gedraagt zich in een magnetisch veld dus als een kompasnaaldje: het richt zich langs het magnetisch veld. Een eenparig rondtollende elektron met snelheid v in een cirkel met straal R heeft dus zowel een impulsmoment L als een magnetisch (dipool)moment μ. Klassiek geldt: μ=-(e/2m)gL, waarin g (de Lande g-factor) de waarde 1 heeft. Einstein en de Haas ca 1915 hebben het bestaan van atomaire kringstromen proberen aan te tonen door een gedemagnetiseerde magneet in een magneetveld te hangen. Het richten van de atomaire kringstromen en daarmee van de atomaire impulsmomenten moet dan (impulsmoment behoud!) gecompenseerd worden door een tegenrotatie van de magneet als geheel. Zij vonden g≈1, volgens verwachting. Zij hadden moeten vinden: g=2. Magnetisme is een gevolg van spin, met een anormale g-factor!

38 Klassieke natuurkunde Golven
Wat is een golf? Een golf is een (zich voortplantende) evenwichtsverstoring in een medium: watergolven in water, geluidsgolven in lucht, lichtgolven in …

39 Welke karakteristieken heeft een (lopende) golf?
λ f,T A v golflengte λ (labda) golfgetal k=1/λ of meestal k=2π/λ. golfvector k: grootte is k, richting is v. frequentie f (ook n (nu)) hoekfrequentie ω=2πf periode T; T=1/f snelheid v; golf loopt 1 golflengte per periode dus v = λ/T= λf=ω/k amplitude A. Is een maat voor de energie die getransporteerd wordt. trillingsrichting transversaal (b.v. licht) of longitudinaal (b.v. geluid) of mengvorm (b.v. zee).

40 Wat is de vergelijking van een lopende sinusgolf met snelheid v?
λ f,T A v Wat is de vergelijking van een lopende sinusgolf met snelheid v? met k=2π/λ en ω=2πf (ter herinnering: v= λf=ω/k). Bewijs: Op een vaste positie x is f een harmonische trilling met hoekfrequentie ω Op een vast tijdstip t is f een staande sinusgolf met golfgetal k. Stel kx-ωt=φ (fase van de golf) Hoe snel beweegt dit punt van vaste fase? kx=ωt+φ, dus v=dx/dt=ω/k.

41 Typische golfverschijnselen
Golven lopen door elkaar heen. Deeltjes niet. Twee coherente bronnen geven een patroon van licht en donker Twee tegen elkaar inlopende golven geven een staande golf Gevolg van het superpositiebeginsel: we mogen de uitwijkingen bij elkaar optellen.

42 Een golfvergelijking Van welke vergelijking is u(x,t)=Asin(kx-ωt) de oplossing? De sinus geeft zichzelf terug na twee keer differentiëren op constanten na. Twee keer (partieel!) differentiëren naar x geeft –Ak2sin(kx-ωt) Idem naar t: –Aω2sin(kx-ωt) Dus: Dit is de vergelijking voor een lopende golf met snelheid v. Belangrijke eigenschap: de vergelijking is lineair, dat wil zeggen als u1 en u2 oplossingen zijn dan is ook au1+bu2 (a en b zijn willekeurige constanten) een oplossing: superpositiebeginsel. Dit leidt tot de typische golfverschijnselen zoals verstrooiing (diffractie) en interferentie.