De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Help! Statistiek! Doel:Informeren over statistiek in klinisch onderzoek. Tijd:Derde woensdag in de maand, 12-13 uur 17 septemberBayesiaanse statistiek.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Help! Statistiek! Doel:Informeren over statistiek in klinisch onderzoek. Tijd:Derde woensdag in de maand, 12-13 uur 17 septemberBayesiaanse statistiek."— Transcript van de presentatie:

1

2 Help! Statistiek! Doel:Informeren over statistiek in klinisch onderzoek. Tijd:Derde woensdag in de maand, uur 17 septemberBayesiaanse statistiek 15 oktoberStatistische software: van SPSS naar R 19 novemberRobuuste statistiek Sprekers: Vaclav Fidler, Hans Burgerhof, Wendy Post DG Epidemiologie Doorlopende serie laagdrempelige lezingen, voor iedereen vrij toegankelijk.

3 Programma Wie was Bayes? Wat is Bayesiaanse statistiek? Wat zijn de verschillen met de klassieke (frequentistische) statistiek? Eenvoudig voorbeeld Voorbeeld van een Bayesiaanse analyse uit de medische literatuur Voor- en nadelen van Bayesiaanse statistiek literatuurverwijzingen

4 Thomas Bayes (1702 – 1761) Stelling van Bayes: Vanaf ± 1920 “Bayesiaanse statistiek” gebezigd door o.a. Ramsey, De Finetti, Savage, Jeffreys Conditionele kans (toepassing o.a. bij diagnostische tests)

5 Bayesiaanse statistiek … Beschouwt de onbekende parameter(s) als kansvariabele(n) Stelt een a priori kansverdeling op betreffende de onbekende parameter(s) Bepaalt de likelihoodfunctie van de parameter(s), gegeven de data Berekent de a posteriori kansverdeling met behulp van de stelling van Bayes Trekt conclusies met behulp van deze a posteriori verdeling over de parameter(s) Volgens de H 0 is µ = 40 frequentist 80 % kans dat µ tussen 20 en 60 ligt Bayesiaan

6 Een klassieke (frequentistische) analyse Er bestaat een geneesmiddel voor aandoening A waarvan bekend is dat deze in 30 % van de gevallen een positief effect heeft (binnen twee weken) We hebben een nieuw middel en verwachten dat deze in 50 % van de gevallen binnen twee weken een positief effect heeft –H 0 en alternatief (H 0 : π = 0,3 tegen H 1 : π > 0,3) –Poweranalyse (  n = 50) –Toets (Binomiaal, normale benadering) –(95%) betrouwbaarheidsinterval Kritiek gebied P-waarde

7 Vervolg klassieke statistiek In ons onderzoek vinden we bij de 50 personen die met het nieuwe middel behandeld zijn 23 “successen” binnen twee weken 95 % BI? Conclusie naar aanleiding van de toets?

8 Vervolg klassieke statistiek Puntschatter voor π: 23/50 = 0,46 95 % BI voor π: [ 0,32 ; 0,60 ] Interpretatie? Als we deze procedure vaak zouden herhalen, zal de onbekende π in ongeveer 95 % van de gevallen in het geschatte interval liggen Het is in de klassieke statistiek onjuist om te spreken over “de kans dat π in het interval ligt”. De parameter π is geen kansvariabele! Vandaar “frequentisten” Bayesianen vatten parameters wel op als kansvariabelen

9 De kansverdeling van het aantal successen X als H0 waar is (π = 0,3) 23 Eénzijdige P-waarde: P(X ≥ 23) = 0,0123 wordt vergeleken met α (meestal 0,05) H 0 : π = 0,3 wordt verworpen Kritiek van de Bayesiaan: Waarom kansen bepalen op gebeurtenissen die niet hebben plaatsgevonden? Waarom is α = 0,05? Wat als het een eenmalige gebeurtenis betreft? De Toets

10 Aangaande de P-waarde: Jeffreys (1961): “What the use of P implies, therefore, is that a hypothesis that may be true may be rejected because it has not predicted observable results that have not occured”

11 Bayesiaanse analyse: de a priori verdeling De a priori verdeling geeft kansen op verschillende waarden van de onbekende parameter(s) voordat het experiment heeft plaatsgevonden. De a priori verdeling kan bepaald worden op grond van een pilot, literatuur, meningen van een panel van experts of (subjectieve) ervaringen in het verleden

12 Eenvoudig voorbeeld Als er slechts twee mogelijkheden voor de succeskans π zijn (0,3 en 0,5) en we hebben geen enkele aanwijzing welke van de twee waarden de juiste is, zouden we de volgende a priori verdeling kunnen nemen: P(π = 0,3) = 0,5 P(π = 0,5) = 0,5 Of: de prior odds = 0,5/0,5 = 1

13 Likelihood Er worden 50 mensen behandeld, de uitkomst is óf een succes (met kans π) óf een mislukking (met kans 1 – π). De kans op k successen wordt gegeven door de Binomiale kansverdeling:

14 A posteriori verdeling Succeskans πA priori kansP(data | π) (likelihood) Produkt Prior*likelihood A posteriori kans 0,30,50,006680,003340,065 0,5 0,095960,047980,935 som10, Posterior = prior*likelihood/0,05132 p(π |X) = C*p(X |π)*p(π) Stelling van Bayes

15 A posteriori kansverdeling (1) P(π = 0,5) = 0,935 Of: de posterior odds = 0,935/0,065 = 14,4 Vergelijk het “updaten” van een prevalentie na een diagnostische test

16 Realistischer voorbeeld Waarschijnlijk kan de succeskans π meer dan twee waarden aannemen Als we totaal geen idee hebben en alle kansen tussen 0 en 1 even waarschijnlijk zijn 1 kans π 01 Posterior = C*prior*likelihood A priori verdeling = Uniforme verdeling (non-informatieve prior) De a posteriori verdeling wordt nu bepaald door de likelihood

17 A posteriori kansverdeling (2) Gebruik de a posteriori verdeling om “Highest Density Regions” (HDR) te berekenen (HDR = Bayesian CI = credible interval) 95% HDR komt nagenoeg overeen met 95 % BI van de frequentisten (bij een Uniforme prior) 95 % HDR: [0,33 ; 0,60] 95 % kans dat 0,33 < π < 0,60

18 A posteriori kansverdeling (3) Als we voorafgaande aan de dataverzameling wel informatie hebben over de onbekende parameter, kunnen we dat verwerken in de a priori verdeling Dit kun je doen door een prior te kiezen uit een specifieke familie van kansverdelingen

19 Beta-verdelingen Beta(α‚β) Voor α = β = 1 krijg je de uniforme verdeling π kansdichtheid

20 A priori verdeling: Beta(3,7) Posterior verdeling van dezelfde familie als de prior: Conjugate prior Prior: verwachtings- waarde voor π ≈ 0,3 P(π > 0,6) ≈ 0,03

21 De a posteriori kansverdeling In de a priori verdeling gold P(π < 0,3) = 0,54, in de a posteriori verdeling is P(π < 0,3) = 0,02 In de a posteriori verdeling geldt P(0,31 < π < 0,56) ≈ 0,95 Verwachting: 0,43 Puntschatting voor π: Frequentist: k/n = 23/50 = 0,46 Bayesiaan: (k + α) / (n + α + β) = 26 / 60 = 0,43

22 Na een tweede experiment met 48 successen uit n = 100 A priori: Beta(26,34) A posteriori: Beta(74,86) P(0,39 < π < 0,54) = 0,95 Verwachting: 0,46 Beta (26,34) was de a posteriori van het vorige experiment Frequentist op grond van het laatste experiment: 95 % BI = [0,38 ; 0,58]

23 Voorbeeld van Bayesiaanse analyse uit de medische literatuur Ring en Spiegelhalter in Kidney International Kans op aneurysma bij ADPKD (2007) Bayesiaans random effect model m.b.h.v. MCMC

24 Voordelen Bayesiaanse statistiek Interpretatie van de a posteriori verdeling (kansverdeling van de parameter(s)) eenvoudiger dan “dubbele ontkenning” van de frequentisten Gebruik a posteriori verdeling voor beslissingen Cumulatieve karakter van kennisvergaring (oude posterior wordt nieuwe prior) Nuttig bij “stopping rules” en subgroepanalyses Generieke aanpak

25 Nadelen van Bayesiaanse analyses Kritiek mogelijk op keuze van de a priori verdeling Wiskundig meestal ingewikkeld Bestaat een non-informatieve prior? (schaal!) Neem een non-informatieve prior of Laat het effect van verschillende priors zien (sensitiviteitsanalyse) Steeds meer software beschikbaar (o.a. BUGS)

26 Tot slot … Een Bayesiaan en een frequentist worden beiden ter dood veroordeeld …

27 Literatuur Gelman e.a.: Bayesian data analysis (Chapman & Hall,1995) Lee: Bayesian Statistics. An introduction. (Arnold, Londen,1989) Iversen: Bayesian statistical inference (Sage 1984) Spiegelhalter e.a.:An introduction to bayesian methods in health technology assessment (BMJ 1999) Gurrin e.a.: Bayesian statistics in medical resaerch: an intuitive alternative to conventional data analysis (Journal of evaluation in clinical practice, 2000) Ring en Spiegelhalter: risk of intracranial aneurysm bleeding in autosomal-dominant polycystic kidney disease (Kidney International, 2007) BUGS:

28 Volgende keer: Woensdag 15 oktober 2008 Statistische software: van SPSS naar R Same place, same time


Download ppt "Help! Statistiek! Doel:Informeren over statistiek in klinisch onderzoek. Tijd:Derde woensdag in de maand, 12-13 uur 17 septemberBayesiaanse statistiek."

Verwante presentaties


Ads door Google