De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Algoritmen voor Medische Beeld Analyse Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny Faculteit Biomedische Technologie Biomedische Beeld Analyse www.bmia.bmt.tue.nl.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Algoritmen voor Medische Beeld Analyse Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny Faculteit Biomedische Technologie Biomedische Beeld Analyse www.bmia.bmt.tue.nl."— Transcript van de presentatie:

1 Algoritmen voor Medische Beeld Analyse Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny Faculteit Biomedische Technologie Biomedische Beeld Analyse bmia.bmt.tue.nl/people/BRomeny

2 i(x) I()I() o(x) O()O() h(x) H()H() Fourier analysis

3 Gehoortest

4 Fourier analysis - overview Vector calculus inproduct, norm, orthogonale vector sets vector als lineaire combinatie van set orthogonale vectors (basis set) Function calculus uitbreiding van deze concepten naar functies gedefinieerd op interval [a,b] Sinussen en cosinussen vormen een orthogonale set (basis set) Fourier series functie als som van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties

5 Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte Definitie inproduct (u,v) (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +…+u n v n Definitie norm |u| |u| = (u,u) 1/2 Eigenschap (u,v) = |u| · |v| · cos  u v  Voorbeeld in 2D

6 Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte Definitie inproduct (u,v) (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +…+u n v n Definitie norm |u| |u| = (u,u) 1/2 Eigenschap (u,v) = |u| · |v| · cos  u v  Voorbeeld in 2D

7 Fourier analysis – vector calculus Eigenschappen inproduct: 1.(u,v) = (v,u) 2.(ku,v) = k (u,v), met k een scalar 3.(u,u) = 0, als u = 0 en (u,u) > 0, als u ≠ 0 4.(u+v,w) = (u,w) + (v,w)

8 Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v orthogonaal als (u,v) = 0 In 2-D of 3-D: vectoren u en v staan loodrecht op elkaar: u  v Een set vectoren is orthogonaal als alle vectoren orthogonaal t.o.v. alle andere vectoren in de set In n-D: maximum aantal orthogonale vectoren is n; enige overgebleven vector die orthogonaal is t.o.v. de set is de nul vector 0 Set met n orthogonale vectoren in n-D ruimte is complete

9 Fourier analysis – vector calculus Iedere vector in n-D ruimte kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de vectoren in een orthogonale set: u=c 1 v 1 + c 2 v 2 + …… + c n v n Componenten c 1 t/m c n kunnen worden gevonden m.b.v. inproduct: c n = (u,v n ) / |v n | 2 Hieruit volgt:

10 Fourier analysis – function calculus Functies f 1 (x) en f 2 (x) zijn goed gedefinieerd op het interval [a,b]. Het maak niet uit of we met tijdfuncties f(t), of plaatsfuncties f(x) werken. Definitie inproduct (f 1,f 2 ): Definitie norm |f n | = (f n,f n ) ½ Functies f 1 en f 2 zijn orthogonaal als (f 1,f 2 ) = 0.

11 Fourier analysis – function calculus Eigenschappen inproduct voor functies: 1.(f 1,f 2 ) = (f 2,f 1 ) 2.(k f 1,f 2 ) = k (f 1,f 2 ), met k een scalar 3.(f,f) = 0, als f = 0 en (f,f) > 0, als f ≠ 0 4.(f 1 +f 2,g) = (f 1,g) + (f 2,g)

12 Fourier analysis – function calculus Een set van functies {f 0,f 1,f 2,...} is orthogonaal op interval [a,b] als (f m,f n ) = 0, voor m ≠ n Een orthogonale set is compleet als de enig overgebleven orthogonale functie de functie f(x) = 0 is Het aantal functies in een complete orthogonale set is oneindig

13 Fourier analysis – function calculus Stel {f 0,f 1,f 2,...} is een complete orthogonale set van functies op het interval [a,b] Functie g(x) op het interval [a,b] kan dan worden geschreven als lineaire combinatie van f 0, f 1, f 2,... g(x) = c 0 f 0 (x) + c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) +...

14 Fourier analysis – function calculus g(x) = c 0 f 0 (x) + c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) +... Componenten c 0,c 1,c 2,... kunnen worden gevonden m.b.v. inproduct: Hieruit volgt:

15 Fourier analysis – function calculus De beschrijving van een functie g(x) in termen van een complete orthogonale set functies {f 0,f 1,f 2,...} wordt de gegeneraliseerde Fourier serie genoemd: Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [a,b] kan op deze manier worden beschreven.

16 Fourier analysis – sines and cosines De set is orthogonaal op het interval [− ,  ]. Met behulp van de generalized Fourier series kan iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [− ,  ] worden beschreven in termen van deze set goniometrische functies

17 Fourier analysis – Fourier series Met de set als orthogonale basis set, geldt voor iedere goed gedefinieerde functie g(t) op het interval [[− ,  ]:

18 Fourier analysis – Fourier series met Dit is de Fourier reeks (Engels: ‘Fourier series’). Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [− ,  ] kan worden beschreven in termen van sinussen en cosinussen. De termen kunnen (relatief) eenvoudig worden berekend als functie g(x) wiskundig kan worden beschreven.

19 sin x sin x+1/3 sin 3x sin x+1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x sin x+1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x n=0 n=1 n=2 n=3


Download ppt "Algoritmen voor Medische Beeld Analyse Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny Faculteit Biomedische Technologie Biomedische Beeld Analyse www.bmia.bmt.tue.nl."

Verwante presentaties


Ads door Google