De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Digitale elektronica --1-- Inhoud (1) De ontwerpruimte en haar terminologie –De ontwerpruimte –Het ontwerptraject Boole-algebra en functies –definities.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Digitale elektronica --1-- Inhoud (1) De ontwerpruimte en haar terminologie –De ontwerpruimte –Het ontwerptraject Boole-algebra en functies –definities."— Transcript van de presentatie:

1 Digitale elektronica Inhoud (1) De ontwerpruimte en haar terminologie –De ontwerpruimte –Het ontwerptraject Boole-algebra en functies –definities en eigenschappen van Boole-algebra en functies –representaties van Boolese functies Schakelnetwerken en hun bouwstenen –poortnetwerken versus taknetwerken –analyse van taknetwerken –Standaardcomponenten –Programmeerbare componenten –ASIC-bouwstenen Synthese van poortnetwerken –Algebraïsche minimalisatie –Implicantenmethoden: McCluskey’s algoritme –Topologische en heuristische methoden –Meerniveausynthese

2 Digitale elektronica Boole-algebra definitie

3 Digitale elektronica Boole-algebra voorbeeld 1

4 Digitale elektronica Boole-algebra voorbeeld 2

5 Digitale elektronica Boole-algebra voorbeeld 3

6 Digitale elektronica Boole-algebra isomorfisme

7 Digitale elektronica Boole-algebra basiseigenschappen

8 Digitale elektronica Boole-algebra alternatieve definitie

9 Digitale elektronica Boole-algebra alternatieve definitie

10 Digitale elektronica Boole-algebra alternatieve definitie: gevolg Elke Boole-algebra heeft een natuurlijke partiële ordening:

11 Digitale elektronica Boolese functies

12 Digitale elektronica Boolese functies representaties (1) Boolese functies zijn eindige objecten Zij kunnen allemaal gerepresenteerd worden in concrete vorm Een goede representatie is compact capteert en representeert zoveel mogelijk eigenschappen van de functie is goed leesbaar en manipuleerbaar voor mens en machine

13 Digitale elektronica Boolese functies representaties (2) Er zijn verschillende soorten representaties: Grafische representaties –waarheidstabel –Karnaughkaart Basisfunctierepresentaties –mintermen –spectrale representaties –Reed-Mullerrepresentaties Tekstuele representaties –Boolese vormen –Kubuslijsten Graafrepresentaties: BDD’s

14 Digitale elektronica Boolese functies waarheidstabel Eenvoudige enumeratie van het domein en tabellering van de aangenomen waarden Afmeting n2 n als n aantal variabelen, ongeacht complexiteit van functie Toont geen structuur of speciale eigenschappen

15 Digitale elektronica Boolese functies hyperkubus Aanzie punten van domein als hoekpunten van n-dimensionale kubus Naburige hoekpunten hebben ‘gelijkaardige’ encodering Manhattan-metriek in kubus is Hamming- afstand Hyperkubus ook impliciete representatie van ordening

16 Digitale elektronica Boolese functies hyperkubus n = 0 n = 1 n = 2 n =

17 Digitale elektronica Boolese functies hyperkubus n =

18 Digitale elektronica Boolese functies karnaughkaart n= x1x1 x2x2 x3x3

19 Digitale elektronica Boolese functies karnaughkaart n=4 x1x1 x2x2 x3x3 x4x

20 Digitale elektronica Boolese functies karnaughkaart n=5 x1x1 x2x2 x3x3 x4x x1x1 x2x2 x3x3 x4x x 5 =0 x 5 =1

21 Digitale elektronica Boolese functies karnaughkaart: eigenschappen Oppervlakte: nog steeds O(2 n ) Representeert meer structuur in functie: afstand tussen punten die de waarde 1 krijgen is belangrijk Hoofdzakelijk gericht op visueel gebruik (= voor mens) Verliest nut en zin voor n > 5

22 Digitale elektronica Boolese functies basisfuncties: mintermfuncties Boole-algebra kan volledig gegenereerd worden vanuit z.g. atomen door gebruik te maken van operatoren; minimum is product van atomen Elk ander element kan uitgedrukt worden als een som van een welbepaalde deelverzameling atomen Met conventie: lege som is minimum geldt dit voor elk element Boolese functies vormen een Boole-algebra De atomen zijn de functies met gewicht 1: de mintermfuncties

23 Digitale elektronica Boolese functies basisfuncties: mintermfuncties Mintermfuncties kunnen eenduidig benoemd worden op basis van enumeratie van domein Definieer nummer-interpretatie van bitpatroon:

24 Digitale elektronica Boolese functies basisfuncties: mintermfuncties Representatiestelling:

25 Digitale elektronica Boolese functies mintermfuncties: voorbeeld

26 Digitale elektronica Boolese functies mintermfuncties: eigenschappen Representatie compacter en eenvoudiger voor sommige functies dan voor andere. Gemiddeld nog steeds exponentieel (uiteraard!) Representatie is canonisch Nulfunctie voorgesteld door lege verzameling Eénfunctie door maximale verzameling (2 n elementen) Stelt echter nog steeds weinig eigenschappen van de functie voor...

27 Digitale elektronica Boolese functies Spectrale representaties Beschouw waarheidstabel volgens standaard- enumeratie van domein als getallenrij over {0,1} Vermenigvuldig met symmetrische, orthonormale transformatiematrix in getallenring Resultaat: getallenrij over Z. Elk getal geeft ‘projectie’ of ‘gelijkenis’ weer met rij van transformatiematrix Gebruikte matrix: Hadamard

28 Digitale elektronica Boolese functies Hadamard-matrix

29 Digitale elektronica Boolese functies Hadamard-matrix Matrix is niet-singulier en symmetrisch Rijen zijn paarsgewijs orthogonaal Rijen kunnen ook gezien worden als waarheidstabellen! Basisfuncties ‘digitale versie van cosinussen en sinussen’

30 Digitale elektronica Boolese functies Hadamard-matrix Resultaat is vector van gehele getallen (nog omvangrijker dan origineel!) Componenten geven globale eigenschappen van functie weer

31 Digitale elektronica Boolese functies Reed-Muller-representaties Kies andere basisfuncties en combinatie-operatoren

32 Digitale elektronica Boolese functies Reed-Muller-representaties Representatiestelling:

33 Digitale elektronica Boolese functies Reed-Muller-representaties Bewijs (door constructie):

34 Digitale elektronica Boolese functies Reed-Muller-representaties Bewijs (vervolg):

35 Digitale elektronica Boolese functies Reed-Muller-representaties Voorbeeld

36 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen Boolese vormen zijn tekstuele vormen Voldoen aan grammaticale regels:

37 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen Boolese vormen krijgen betekenis door interpretatieregels:

38 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen Er zijn oneindig veel elementen in V n Valuatie bindt aan elke BV een Boolese functie: equivalentieklassen Dualiteitsrelatie D op V n

39 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen Relatie tussen een vorm en zijn duale (dualiteitsstelling): Kan nuttig gebruikt worden bij de realisatie van functies Is de essentie van CMOS f D(v) fvfv

40 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen Shannondecompositie: Wordt zeer vaak gebruikt als hulpmiddel om recursie toe te passen op vormen met minder variabelen

41 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen Disjunctieve Standaardvorm Wanneer men Shannon-decompositie doorvoert over alle variabelen, dan stellen de residuvormen v(1,1,0,1,...,1) constanten 0 of 1 voor De lettervormproducten zijn mintermvormen (stellen mintermfuncties voor) De vorm die enkel de som van de mintermvormen met residu =1 bevat noemt men de Disjunctieve Standaardvorm Wanneer variabelen en mintermvormen lexicografisch gesorteerd dan is DSV een canonische representatie Elke Boolese vorm kan in eindige tijd mechanisch herleid worden tot zijn DSV-gedaante, en deze is uniek.

42 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen Disjunctieve Standaardvorm: voorbeeld via algebraïsche rekenregels in V n

43 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen Disjunctieve Standaardvorm: voorbeeld via Shannondecompositie in V n

44 Digitale elektronica Boolese functies Tekstuele representaties: Ternaire representaties Boolese vormen kunnen steeds geschreven worden als sommen van producten Wanneer men de volgorde van de variabelen kiest kan men (stelsel van) Boolese vormen compact voorstellen (niet-noodzakelijk canonisch!):

45 Digitale elektronica Boolese functies Boolese decisiediagrammen BDD’s zijn datastructuren bedoeld voor computermanipulatie Zijn grafen waarin elke knoop een unieke functie voorstelt Twee soorten knopen: terminale en niet-terminale Terminale knopen stellen constante fies 0 en 1 voor Niet-terminale knopen elk gekoppeld aan 1 variabele Elke NT knoop wijst naar twee opvolgers: de knopen die de residufuncties voorstellen bij shannondecompositie X1X1 X3X3 X2X

46 Digitale elektronica Boolese functies Boolese decisiediagrammen Bij het opstellen of na bewerking is diagram niet noodzakelijk minimaal Minimalisatie-algoritme werkt van beneden naar boven elimineert dubbels elimineert knopen met identieke subbomen X1X1 X3X3 X2X2 0 1 X1X1 X3X3 X2X2 1 X2X2 X3X3 X3X3 X3X X1X1 X3X3 X2X2 X2X2 X3X3 X3X3 X3X3 0 1 X1X1 X3X3 X2X2 X2X2 0 1

47 Digitale elektronica Boolese functies Boolese decisiediagrammen Gebruik van BDD’s: testen of functies gelijk zijn tautologietest voldoenbaarheid berekenen complement Combinaties van BDD’s met operatoren + en  functiecompositie met ITE( ) X1X1 X2X2 X3X3 0 1 X1X1 X3X X2X2

48 Digitale elektronica Boolese functies Boolese decisiediagrammen X1X1 X2X2 X3X3 0 1 X1X1 X3X X2X2 X1X1 X2X2 X3X3 0 1 X3X X2X2 X1X1 X2X2 X3X3 1 0 X1X1 X2X2 X3X3 01 X3X X1X1 X2X2 1 X3X

49 Digitale elektronica Boolese functies Boolese decisiediagrammen: functiecompositie

50 Digitale elektronica Boolese functies Boolese decisiediagrammen: functiecompositie X1X1 X2X2 X3X3 0 1 ITE X1X1 0 1 X2X2 X1X1 0 1 X2X2 X2X2 X3X3 0 1 X1X X2X X2X2 X1X1 0 1 X2X2 X1X1 0 1 X2X2 1

51 Digitale elektronica Fontslide 


Download ppt "Digitale elektronica --1-- Inhoud (1) De ontwerpruimte en haar terminologie –De ontwerpruimte –Het ontwerptraject Boole-algebra en functies –definities."

Verwante presentaties


Ads door Google