De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De standaardfunctie f(x) = g x f(x) = g x met g constant en g > 0 is een exponentiële functie O x y O x y g > 10 < g < 1 1 1 grafiek is stijgend op ℝ domein.

Verwante presentaties


Presentatie over: "De standaardfunctie f(x) = g x f(x) = g x met g constant en g > 0 is een exponentiële functie O x y O x y g > 10 < g < 1 1 1 grafiek is stijgend op ℝ domein."— Transcript van de presentatie:

1 De standaardfunctie f(x) = g x f(x) = g x met g constant en g > 0 is een exponentiële functie O x y O x y g > 10 < g < grafiek is stijgend op ℝ domein ℝ bereik de x-as is asymptoot grafiek is dalend op ℝ domein ℝ bereik de x-as is asymptoot asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur bijna mee samenvalt ℝ is de verzameling van alle getallen 5.1

2 Het effect van transformaties op y = g x tel in de formule d op bij de functiewaarde asymptoot  y = d y = g x translatie (0, d) y = g x + d vervang in de formule x door x – c asymptoot  y = 0 y = g x translatie (c, 0) y = g x – c vervang in de formule x door asymptoot  y = 0 y = g x verm. t.o.v. de y-as met b y = g vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a asymptoot  y = 0 y = g x verm. t.o.v. de x-as met a y = a · g x 1b1b 1b1b 5.1

3 opgave 6 f: y = 2 x 2 omlaag y = 2 x – 2 de asymptoot van f is y = -2 g: y = (½) x 2 naar rechts 2 omhoog y = (½) x de asymptoot van g is y = 2 a O x y f y = -2 g y = 2 cB f = B g = dg(4) = 2,25  x ≥ 4 2 < g(x) < 2,25 ef(x) ≤ g(x) optie intersect x ≈ 2,27 x ≤ 2,27 2,27

4 O x y f y = -2 g y = 2 ff(x) = p heeft geen oplossingen als de horizontale lijn y = p de grafiek van f niet snijdt p ≤ -2 glijn x = 3 AB = f(3) – g(3) AB = 6 – 2,5 = 3,5 hvoer in y 3 = 7 optie intersect met y 1 en y 3 x ≈ 3,170 optie intersect met y 2 en y 3 x ≈ -0,322 CD ≈ 3, ,322 CD ≈ 3,49 A B

5 Rekenregels van machten a 4 = a · a · a · a a 2 · a 3 = a · a · a · a · a = a 5 = = a 2 (a 2 ) 3 = a 2 · a 2 · a 2 = a 6 (ab) 3 = ab · ab · ab = a 3 b 3 a 5 a · a · a · a · a a 3 a · a · a bij vermenigvuldigen de exponenten optellen bij delen trek je de exponenten van elkaar af bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten bij de macht van een product krijg je een product van machten 5.1

6 Algemeen a p · a q = a p + q = a p – q (a p ) q = a pq (ab) p = a p b p apaqapaq 5.1

7 Negatieve exponenten 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2 -1 = ½ 8 -1 = ⅛ a -n = (a ≠ 0) De rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten. Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. 1 anan 5.1

8 Machten met gebroken exponenten x ½ = √x x  = √x 4 ½ = √4 = 2 64  = √64 = 4 algemeen : a  = n √a ook geldt : a = √a (a > 0) pqpq q p

9 Lineaire groei en exponentiële groei 5.2

10 Bij de formule N = b ∙ g t onderscheiden we 2 gevallen Groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis. O x y O x y g > 10 < g < stijgenddalend 5.2

11 Groeifactor en groeipercentage Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken. v.b. Een bedrag van 250 euro neemt per jaar met 4,5% toe 100% + 4,5% = 104,5%  : 100  × 1,045 dan is de groeifactor 1,045 formule : B = 250 × 1,045 t dus bij een groeifactor van 0,956 is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4% We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is. Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100. Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een verandering van p = (g – 1) × 100%. 5.2

12 opgave 23 aEr wordt per meter 40% rood licht geabsorbeerd, dus er blijft 60% over groeifactor per meter is 0,6. P R = 100 · 0,6 d P B = 100 · 0,7 d (100-30=70%  0,7) d = 4  P R = 100 · 0,6 4 = 12,96 dus ongeveer 13% van rood licht d = 4  P B = 100 · 0,7 4 = 24,01 dus ongeveer 24% van blauw licht bVoer in  y 1 = 100 · 0,6 x en y 2 = 1 optie intersect  x ≈ 9,02 Dus tot een diepte van 9 meter dringt slechts 1% van het rode licht door. d = 9  P B = 100 · 0,7 9 = 4,04 Dus tot deze diepte dringt 4 keer zoveel blauw licht door N ∙ ∙ ∙ 9,02 ∙ ∙ ∙

13 Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid, is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan g n Bij een groeifactor van 1,5 per uur hoort een groeifactor van 1,5 24 ≈ 16834,11 per dag, en een groeifactor van 1,5 ¼ ≈ 1,11 per kwartier. 1,11  111%  toename per kwartier is 11% Het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren. 5.2

14 opgave 31 In de periode nam het dramatisch af met 95%. ag 10 jaar = 100 – 95 = 5%  0,05 g jaar = 0,05 (1/10) ≈ 0,741 De afname per jaar is 100 – 74,1 = 25,9%. bg 20 jaar = 12 g jaar = 12 (1/20) ≈ 1,132 1,132 × 100 = 113,2% De toename per jaar is 113,2 – 100 = 13,2%. cIn 1965 waren er 14000/12 ≈ 1170 broedparen. In 1955 waren er 1170/0,05 ≈ broedparen.

15 opgave 36 Na 6 minuten  10 knopen, 3 minuten later  8 knopen ag 3 minuten = 8/10 = 0,8 g 1 minuut = 0,8 ⅓ ≈ 0,928 0,928 × 100 = 92,8% De afname per minuut is 100 – 92,8 = 7,2%. bv = b · 0,928 t met v in knopen en t in minuten t = 6 en v = 10  10 = b · 0,928 6 b = 10/0,928 6 b ≈ 15,6 dus v = 15,6 · 0,928 t De snelheid op t = 0 is 15,6 knopen. chalf uur  t = 30 t = 30  v = 15,6 · 0, ≈ 1,7 De snelheid is 1,7 knopen. dvoer in y 1 = 15,6 · 0,928 x en y 2 = 1 optie intersect x ≈ 36,8 Dus na 37 minuten.

16 Logaritme en exponent 2 x = 8 x = 3 want 2 3 = 8 2 x = 8 ⇔ 2 log(8) 2 3 = 8 ⇔ 2 log(8) = 3 2 log(32) = 5 want 2 5 = 32 algemeen : g log(x) = y betekent g y = x dus g log(g y ) = y x > 0, g > 0 en g ≠ 0 5.3

17 voorbeeld a 5 log(0,2) = 5 log(  ) = 5 log(5 -1 ) = b 3 log(3√3) = 3 log( ½ ) = 3 log(3 1½ ) = 1½ c ½ log(8) = ½ log((½) -3 ) = -3 d ¼ log(  ) = ¼ log((¼) 2 ) = 2 e 0,25 log(4) = ¼ log(4) = ¼ log((¼) -1 ) = f 4 log(0,25) = 4 log(¼) = 4 log(4 -1 ) = g  log(7) =  log((  ) -1 ) = h  log(1) =  log((  ) 0 ) = 0

18 De standaardgrafiek y = g log(x) Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies. O x y O x y g > 10 < g < y = x y = 2 x 1 y = 2 log(x) y = x y = (½) x y = ½ log(x) 1 5.3

19 voorbeeld ay = 3 log(x) 4 naar rechts y = 3 log(x – 4) 2 omhoog y = 3 log(x – 4) + 2 b D f = log(x) 931   x O y x = 4 4 naar rechts 2 omhoog

20 f(x) = ½ log(x + 3) g(x) = 3 log(-x + 5) aTeken bf(x) = 5 ½ log(x + 3) = 5 x + 3 = (½) 5 x + 3 = x = -2 cg(-4) = 2 voor x ≥ -4 is g(x) ≤ 2 df(x) = 1 ½ log(x + 3) = 1 x + 3 = (½) 1 x + 3 = ½ x = -2½ f(x) ≥ 1 geeft -3 < x ≤ -2½ eoptie intersect x ≈ -2,72 en x ≈ 4,96 f(x) ≤ g(x) geeft -2,72 ≤ x ≤ 4,96 fvoer in y 3 = 2,5 optie intersect met y 1 en y 3 geeft x ≈ -2,823 optie intersect met y 2 en y 3 geeft x ≈ -10,588 AB ≈ -2, ,588 ≈ 7,77 opgave 53 -2,72 4,96 A B -2,823-10,588

21 opgave 54 y = a · g log(x + b) a > 0a < 0 b > 0b < 0b > 0b < 0 0 < g < 1 g > 1 x y x = -b O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O 5.3

22 opgave 55 adin = 1 + k · log(iso) din = 21 en iso = 100 invullen geeft 21 = 1 + k · log(100) 21 = 1 + 2k 2k = 20 k = 10 bk = 10 en iso = 400 invullen geeft din = log(400) din ≈ 27 ck = 10 en din = 24 invullen geeft 24 = log(iso) 10log(iso) = 23 log(iso) = 2,3 iso ≈ 200

23 Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 10 4 tot 10 0 gelijk aan 4 log(10 4 ) = 4 paard = 600 kg. log(600) ≈ 2,8 5.4

24 Logaritmisch papier A  1,3 B  7,5 C  23 D  55 E  150 F  opgave 65 A  1300 B  7500 C  F  D  E 

25 Exponentiële groei en logaritmisch papier Bij een rechte lijn op logaritmisch papier hoort exponentiële groei, dus een formule van de vorm N = b · g t De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt. Bij groeifactor g bereken je de verdubbelingstijd T door de vergelijking g T = 2 op te lossen. De verdubbelingstijd is onafhankelijk van b. 5.4

26 opgave 72 jaar aantal N ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ aTeken bvanaf 1997 cLijn door (2, 441) en (8, 870) g 6 jaar = 870/441 ≈ 1,97 g jaar = 1,97 ⅙ ≈ 1,12 N = b · 1,12 t t = 2  N = 441 N = 352 · 1,12 t 441 = b · 1,12 2 b = 441/1,12 2 b ≈

27 0 – 1500  g 1500 jaar = 2  g jaar = 2≈ 1,0005  0,05% 1500 – 1800  g 300 jaar = 2  g jaar = 2≈ 1,0023  0,23% 1800 – 1950  g 150 jaar = 2  g jaar = 2≈ 1,0046  0,46% 1950 – 1986  g 36 jaar = 2  g jaar = 2≈ 1,0194  1,94% 1986 – 2005  g 19 jaar = = ≈ 1,35  g jaar = 1,35 ≈ 1,0161  1,61% opgave 79


Download ppt "De standaardfunctie f(x) = g x f(x) = g x met g constant en g > 0 is een exponentiële functie O x y O x y g > 10 < g < 1 1 1 grafiek is stijgend op ℝ domein."

Verwante presentaties


Ads door Google