De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door."— Transcript van de presentatie:

1 Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x) = cx n dan is f'(x) = ncx n – 1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x) = c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

2 Voorkennis f(x) = ax 3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax 4 g’(x) = 4ax 3 h(x) = ax 5 h’(x) = 5ax 4 algemeen geldt : k(x) = ax n k’(x) = n · ax n-1 oude exponent ervoor zetten nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 12.1

3 Voorkennis werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1 bereken f’(x). 2 los algebraïsch op f’(x) = 0. 3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is

4 De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie. I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt. notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.1

5 voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x f(x) = 2x² + 9x – 56 f’(x) = 2 · 2x + 9 f’(x) = 4x + 9 eerst haakjes wegwerken dezelfde termen optellen somregel van differentiëren

6 Andere regels ?!? De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x 3 · x 2. Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x 2 · 2x. Maar dat is fout! Immers p(x) = x 5 en dus moet p'(x) = 5x 4 zijn. Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) = f(x) / g(x) niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

7 De productregel De quotiëntregel 7.1

8 De productregel: Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

9 v.b. productregel

10 opgave 5a f (x) = (4x 2 – 1)(3x + 2) f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x 2 – 1) · 3 Stel k : y = ax + b a = f’ (-1) = 17 k : y = 17x + b y A = f (-1) = -3 dus A(-1, -3). Dus k : y = 17x y = 17x + b -3 = 17 · -1 + b 14 = b

11 Opgave 7

12 Opgave 8

13 O(∆ABC) = ½ · AC · AB AC = OC – OA = 4 – p AB = y B = f (p) = p 2 – 2p + 3 Dus O = ½(4 – p)(p 2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p 2 – 2p + 3) opgave 9a

14 opgave 9b In de schets van de grafiek van O als functie van p is te zien dat O maximaal is voor p =

15 De ABC-formule ax 2 + bx + c = 0 De discriminant D = b 2 – 4ac D < 0 geeft geen oplossingen. D = 0 geeft 1 oplossing. D > 0 geeft 2 oplossingen. 12.2

16 Opgave 17

17 opgave 19 a Stel k : y = ax + b dus Dus 12.2

18 brc raaklijn = -3, dus f’ (x) = -3 x 2 = 1 x = -1 v x = 1 f(-1) = -5 en f(1) = 5 De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5) opgave 19

19 cf’ (x) = 0 geeft x 2 = 4 x = -2 v x = 2 max. is f(-2) = -4 en min. is f(2) = 4 opgave 19

20 df’ (x) = 2 geeft x 2 = -4 Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, heeft de vergelijking x 2 = -4 geen oplossingen. Dus er is geen raaklijn met rc = 2. opgave 19

21 Opgave 23

22 a geeft f’ (x) = 0 geeft x = 4 f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4 Min. is f(4) = -4. brc raaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3 Raaklijn y = -3x crc raaklijn = 3 dus f’ (x) = 3 1½√x – 3 = 3 1½√x = 6 √x = 4  x = 16 f (16) = 16 dus A(16, 16) raaklijn l : y = 3x + b opgave = 3 · 16 + b -32 = b l : y = 3x - 32

23 Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide: Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus: Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.) En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x)) ⋅ g'(x). De kettingregel:

24 v.b. kettingregel

25 De kettingregel Kettingregel: Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie y = f (x) als volgt te werk. Schrijf f als een ketting van twee functies. Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. Druk het product van de afgeleide functies uit in x. De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels 12.3

26 Opgave 29

27

28 opgave 31 af (x) = (½x 2 - 2x) 3 bStel y = (½x 2 – 2x) 3 = u 3 met u = ½x 2 – 2x en f’ (x) = 3u 2 · (x – 2) = 3(½x 2 – 2x) 2 · (x – 2) f’ (x) = 0 geeft 3(½x 2 – 2x) 2 · (x – 2) = 0 ½x 2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2 cStel l : y = ax + b a = f’ (6) = 3(½ · 6 2 – 2 · 6) 2 (6 – 2) = 432 dus l : y = 432x + b y A = f(6) = (½ · 6 2 – 2 · 6) 3 = 216 dus A(6, 216) 216 = 432 · 6 + b 216 = b = b l : y = 432x x y O f

29 Opgave 35

30 Opgave 32

31 Opgave 38

32 Sinus, cosinus en tangens O (1,0) y x A α P (x P,y P ) 1 sin α = = = y P cos α = = = x P tan α = = PQ OP y P 1 OQ OP x P 1 Q ∟ sos cas toa xPxP yPyP 1 PQ OQ ypxpypxp 12.4

33 De exacte-waarden-cirkel 12.4

34 opgave 43 Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π]. sin 2 (x) + sin(x) = 0 sin(x)(sin(x) + 1) = 0 sin(x) = 0 v sin(x) = -1 x = k · π v x = 1½π + k · 2π Op domein [0, 2π] geeft dat de nulpunten x = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π. O x y ½π½ππ1½π2π2π f ∙ ∙ ∙ ∙

35 opgave 46a O 1 y x α 1 2 sin (½x) = 1 sin (½x) = ½ ½x = π + k · 2π v ½x = π + k · 2π x = π + k · 4π v x = π + k · 4π ½ ππ sinα = y P

36 De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x) f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x) g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x) opgave 52a f (x) = cos(2x) Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2x f’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2 f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x) 12.5

37 opgave 52b g (x) = x cos(x) g’ (x) = [x · cos(x)]’ g’ (x) = [x]’ · cos(x) + x · [cos(x)]’ g’ (x) = 1 · cos(x) + x · - sin(x) g’ (x) = cos(x) – x sin(x) g’

38 opgave 55b g (x) = x 2 sin(3x) g’ (x) = [x 2 · sin(3x)]’ g’ (x) = [x 2 ]’ · sin(3x) + x 2 · [sin(3x)]’ g’ (x) = 2x · sin(3x) + x 2 · 3 cos(3x) g’ (x) = 2x sin(3x) + 3x 2 cos(3x) g’

39 opgave 57d j (x) = x + 3 sin 2 (x) j’ (x) = [x + 3 (sin(x)) 2 ]’ j’ (x) = · 2 sin(x) · cos(x) j’ (x) = sin(x) · cos(x) j’ 12.5

40 In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum. Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn: Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.6

41 opgave 65a Stel de hoogte is h dm. K = kosten bodem + kosten zijkanten 72 dm 3

42 opgave 65b geeft Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm. De minimale kosten zijn = 21,6 euro geeft

43 opgave 67 De oppervlakte is x · y = 75 dus y = De kosten van de afrastering zijn K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y K = 30x + 40 · = 30x + = [30x x -1 ]’ = 30 – 3000x -2 = 30 – = 0 geeft 30 = 30x 2 = 3000 x 2 = 100 x = 10 v x = -10 De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m. 75 x 3000 x dKdxdKdx dKdxdKdx 3000 x 2 dKdxdKdx €10 €20 x y x y 10

44 opgave 68a K = kosten langs het bos + kosten in het weiland K = y · 60 + (x + y) · 15 K = 60y + 15x + 15y K = 15x + 75y O = xy O =1200

45 opgave 68b geeft Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m. De minimale kosten zijn ≈ 2324 euro

46 opgave 68c geeft Voer in De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1 Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezen voor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.

47 opgave 70 De inhoud is I = πr 2 h, dus 500 = πr 2 h. dus h = De materiaalkosten zijn K = πr 2 · 1 + πr 2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr 2 + 4πr + 2πrh. K = 3πr 2 + 4πr + 2πr = 3πr 2 + 4πr + Voer in y 1 = 3πx 2 + 4πx + De optie minimum geeft x ≈ 3,5. De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingen r ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm. 500 πr r a b 1000 x r K 3,5 445,1 onderkant bovenkantrand van deksel mantel

48 opgave 72 aAC + BC = 12 – x Omdat AC = BC is AC = = 6 - ½x bPythagoras in ∆ADC : CD 2 + AD 2 = AC 2 CD 2 = AC 2 – AD 2 CD 2 = (6 - ½x) 2 – (½x) 2 CD 2 = 36 – 6x + ¼x 2 - ¼x 2 = 36 – 6x CD = √(36 – 6x) cO = ½ · AB · CD O = ½x √(36 – 6x) 12 - x 2 x D г l l

49 Opgave x

50 Opgave 75a&b

51 Opgave 75c&d

52

53 Opgave 76

54 Opgave 77

55 Opgave 79


Download ppt "Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door."

Verwante presentaties


Ads door Google