De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Machten en logaritmen Eerst was er het bepalen van de som. Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Machten en logaritmen Eerst was er het bepalen van de som. Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam."— Transcript van de presentatie:

1 Machten en logaritmen Eerst was er het bepalen van de som. Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product. Dat vroeg om het principe van verdeel. Vervolgens ging het om de macht. Die riep de wortel over zich uit. Maar moest ook zijn gelijke vinden in de logaritme. Een stukje geschiedenis

2 Rekenregels voor machten en logaritmen 9.1

3 Vergelijkingen van de vorm g log(A) = g log(B) g log(A) = B geeft A = g B g A = B geeft A = g log(B) g log(A) = g log(B) geeft A = B g A = g B geeft A = B AB = AC geeft A = 0 ⋁ B = C of een substitutie. Controleer bij logaritmische vergelijkingen of de logaritmen van de oorspronkelijke vergelijking gedefinieerd zijn voor de gevonden waarden. 9.1

4 Voorbeeldopgaven

5 Opgave 5

6 opgave 9a 5 log(x) = 2 + ½ · 5 log(3) 5 log(x) = 5 log(5 2 ) + 5 log(3 ½ ) 5 log(x) = 5 log(25) + 5 log( √3) 5 log(x) = 5 log(25√3) x = 25√3 voldoet

7 opgave 9b 3 log(x + 4) + 1 = 2 · 3 log(x - 2) 3 log(x + 4) + 3 log(3) = 3 log((x – 2) 2 ) 3 log(3(x + 4)) = 3 log((x – 2) 2 ) 3 log(3x + 12) = 3 log((x - 2) 2 ) 3x + 12 = x 2 – 4x + 4 x 2 – 7x – 8 = 0 (x – 8)(x + 1) = 0 x = 8 ⋁ x = -1 voldoet voldoet niet

8 Vergelijkingen met logaritmen 9.1

9 opgave 14a 3x · 2 log(x + 1) = ½ log(x + 1) 3x · 2 log(x + 1) = - 2 log(x + 1) 3x = -1 ⋁ 2 log(x + 1) x = -⅓ ⋁ x + 1 = 1 x = -⅓ ⋁ x = 0 voldoet

10 opgave 19a 3 x x = · 3 x + 3 x = · 3 x + 3 x = · 3 x = x = 60 x = 3 log(60)

11 De standaardgrafiek y = g x O x y O x y g > 10 < g < domein ℝ bereik 〈 0,  〉 de x-as is asymptoot Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. 9.2

12 De standaardgrafiek y = g log(x) O x y O x y g > stijgend dalend 1 0 < g < 1 domein 〈 0,  〉 bereik ℝ de y-as is asymptoot 9.2

13 Transformaties toepassen op exponentiele en logaritmische standaardfuncties.exponentielelogaritmische 9.2 Opgave 23

14 opgave 27 f(x) = 3 x - 1 – 2 en g(x) = 4 – 3 x af(x) = g(x) 3 x - 1 – 2 = 4 – 3 x 3 x · 3 -1 – 2 = 4 – 3 x ⅓ · 3 x – 2 = 4 – 3 x 1⅓ · 3 x = 6 3 x = 4½ x = 3 log(4½) y A = g( 3 log(4½)) = 4 – 4½ = -½ Dus A( 3 log(4½)), -½). bf(p) – g(p) = 6 3 p - 1 – 2 – (4 – 3 p ) = 6 3 p · 3 -1 – 2 – p = 6 1⅓ · 3 p = 12 3 p = 9 p = 2 9.2

15 opgave 31 en ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ geeft voldoet

16 opgave 37a f(x) = 2 log(x) en g(x) = 2 log(x – 3) Stel x B = p, dan is x C = 3p. f(p) = g(3p) = q geeft 2 log(p) = 2 log(3p – 3) p = 3p – 3 -2p = -3 p = 1½ q = f(p) = f(1½) = 2 log(1½)

17 opgave 37b y B = 2 · y E, dus f(r) = 2 · g(r) f(r) = 2 · g(r) geeft 2 log(r) = 2 · 2 log(r – 3) 2 log(r) = 2 log((r – 3) 2 ) r = (r – 3) 2 r = r 2 – 6r + 9 r 2 – 7r + 9 = 0 D = 49 – 4 · 1 · 9 = 13 voldoet niet voldoet

18 De afgeleide van f(x) = a x f(x) = a x geeft f’(x) = f’(0) · a x Het getal e In opgave 42 heb je gezien dat dus voor a ≈ 2,718 geldt [a x ]’ = 1 · a x. f(x) = e x geeft f’(x) = e x Zo gelden voor e ook de rekenregels voor machten 9.3

19 Functies met e-machten differentiëren 9.3

20 opgave 51 f(x) = (x 2 – 3)e x af(x) = 0 geeft (x 2 – 3)e x = 0 x 2 – 3 = 0 ⋁ e x = 0 x 2 = 3 ⋁ geen opl. x = √3 ⋁ x = -√3 De nulpunten zijn √3 en -√3. bf(x) = (x 2 – 3)e x geeft f’(x) = 2xe x + (x 2 – 3)e x = (x 2 + 2x – 3)e x f’(x) = 0 geeft (x 2 + 2x – 3)e x = 0 x 2 + 2x – 3 = 0 ⋁ e x = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 x = -3 ⋁ x = 1 max. is f(-3) = 6e -3 = min. is f(1) = -2e cAls x heel klein is, dan is e x ≈ 0, dus is de functiewaarde vrijwel 0, dus y = 0 is horizontale asymptoot. df(x) = p heeft precies twee oplossingen voor p = ⋁ -2e < p ≤ 0.

21 opgave 56a f(x) = y = = e u met u = ¼x 2 – 2x + 2 f’(x) = = e u · (½x – 2) = (½x – 2) f’(x) = 0 geeft (½x – 2) = 0 ½x – 2 = 0 ⋁ = 0 x = 4 geen opl. min. is f(4) = e 4 – = e -2 = B f = 9.3

22 opgave 56b O = OP · PQ = p · f(p) = ½p 2 – 2p + 1 = 0 D = 4 – 4 · ½ · 1 = 2 De oppervlakte is maximaal voor geeft

23 Logaritmen met grondtal e De natuurlijke logaritme van een getal a is de logaritme van a met grondtal e, dus ln(a) = e log(a) Voor de natuurlijke logaritme gelden de rekenregels voor logaritmen. 9.4

24 opgave 64 a3x ln(x) = 2 ln(x) 3x = 2 ⋁ ln(x) = 0 x = ⋁ x = 1 vold. bln 2 (x) – ln(x) = 0 Stel ln(x) = p p 2 – p = 0 p(p – 1) = 0 p = 0 ⋁ p = 1 ln(x) = 0 ⋁ ln(x) = 1 x = 1 ⋁ x = e cx 2 ln(x + 1) = 4 ln(x + 1) x 2 = 4 ⋁ ln(x + 1) = 0 x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x + 1 = 1 x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x = 0 vold. vold.niet vold.

25 Exponentiële en logaritmische functies differentiëren 9.4

26 opgave 66a f(x) = 2 2x – 2 x f’(x) = 2 · 2 2x · ln(2) – 2 x · ln(2) = (2 · 2 2x – 2 x )ln(2) = (2 2x + 1 – 2 x )ln(2) f’(x) = 0 geeft (2 2x + 1 – 2 x )ln(2) = 0 2 2x + 1 – 2 x = 0 2 2x + 1 = 2 x 2x + 1 = x x = -1 f(-1) = 2 -2 – 2 -1 = ¼ - ½ = - ¼ B f = [- ¼,  〉 9.4

27 opgave 66b f’(0)= ( – 2 0 ) · ln(2) = (2 – 1)ln(2) = ln(2) Kijkend naar de grafiek wordt het antwoord 0 ln(2)

28 geeft f(x) = 0 geeft 10 ln(x) = 0 ln(x) = 0 x = 1 Dus A(1, 0). Stel k: y = ax + b met a = f’(1) = k: y = 10x + b door A(1, 0) Dus k: y = 10x - 10 opgave 75a 0 = 10 + b -10 = b 9.4

29 opgave 75b f’(x) = 0 geeft 10 – 10ln(x) = 0 ln(x) = 1 x = e max. is f(e) =

30 opgave 75c Stel x B = p, dan is x C = 2p. f(p) = f(2p) = q geeft 10ln(p) = 5ln(2p) 2ln(p) = ln(2p) ln(p 2 ) = ln(2p) p 2 = 2p p 2 – 2p = 0 p(p – 2) = 0 p = 0 ⋁ p = 2 vold.niet vold. q = f(p) = f(2) =


Download ppt "Machten en logaritmen Eerst was er het bepalen van de som. Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam."

Verwante presentaties


Ads door Google