De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Regels bij kansrekeningen Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ). Complementregel P(gebeurtenis)

Verwante presentaties


Presentatie over: "Regels bij kansrekeningen Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ). Complementregel P(gebeurtenis)"— Transcript van de presentatie:

1 Regels bij kansrekeningen Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ). Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G 1 en G 2 ) = P(G 1 ) · P(G 2 ). aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) = Kansdefinitie van Laplace Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.

2 Trekken met en zonder terugleggen 6.3

3 In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. a)P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood) b)P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen) =+≈ 0, =+≈ 0,667 Voorbeeld somregel

4 De complementregel P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte)

5 Het vaasmodel Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten manieren = =5

6 Maak een rooster indien mogelijk som Opgave

7 opgave 6/4 a)P(minstens één prijs) = 1 – P(geen prijs) = b)P(100 euro) = P(1 x 100) + P(2 x 50) = c)P(minstens 30 euro) = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – (P(niets) + P(10 euro) + P(20 euro)) = ≈ 0,370 ≈ 0,048 ≈ 0,173

8 opgave 11/9 a)P(minstens één volleyballer ) =1- P( geen volleyballer) = b)P(dhr A. en secretaresse niet) = ≈ 0,637 ≈ 0,788

9 opgave 18/13 a)P(precies één maal een 2) = b)P(minstens één 1) = P(1- geen 1) = c)P(5 x 1 en 3 x 3) = d) P( 4 x 1 en 1 x 3 en 3 x 2) = ≈ 0,090 ≈ 0,983 ≈ 0,092 ≈ 0,005

10 opgave 21/17 aP(minstens 2)= 1 – P(geen of 1) = 1 – P(geen) – P(1) = 1 – 0, · 0,22 · 0,78 7 ≈ 0,554 bP(zes of zeven) = P(zes) + P(zeven) = · 0,53 6 · 0, · 0,53 7 · 0,47 5 ≈ 0,434 cP(hoogstens 2 zakken)= P(minstens 8 slagen) = P(8) + P(9) + P(10) = · 0,71 8 · 0, · 0,71 9 · 0,29 + 0,71 10 ≈ 0,

11 Berekeningen met breuken

12 opgave 31/25 a)Als er van de 10 knikkers a rood zijn en de rest zwart, zijn er 10 – a zwarte knikkers. b)P(zwarte knikker) = c)P(2 zwarte knikkers) =

13 opgave 34/28 In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. a)P(rr) = b)P(rode en witte) = 2 · P(rw) = c)Voer in y 1 = (50x – x 2 )/1225 en maak een tabel. Je ziet dat y 1 > 0,5 voor x = 22 tot en met x = 28. Bij x = 22 horen 50 – 22 = 28 witte knikkers en bij x = 28 horen 50 – 28 = 22 witte knikkers. Dus er zitten 22 of 23 of 24 of … of 28 witte knikkers in de vaas. De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. Er zijn 50 – p witte knikkers

14 Bernoulli-experimenten De complement-gebeurtenis van succes is mislukking. De kans op succes geven we aan met p. Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten.

15 Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd X het aantal keer succes p de kans op succes per keer de kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = · p k · (1 – p) n – k. nknk

16 opgave 45/39 a)n = 6 en p = = 0,4 P(X = 4) = · 0,4 4 · 0,6 2 ≈ 0,138 b)n = 12 en p = = 0,9 P(Y = 10) = · 0,9 10 · 0,1 2 ≈ 0,

17 De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k)

18

19 voorbeeld som van de ogen a)X = het aantal keer minstens vijf ogen. ( 1 dobbelsteen) n=15 p = P(minstens 5 ogen) = P(X ≤ 10) = binomcdf(15,, 10) ≈ 0,998 b)X = het aantal keer meer dan zeven ogen. ( 2 dobbelstenen ) n=18 p = P(meer dan 7 ogen) = p = P(X = 5) = binompdf(18,, 5) ≈ 0,097

20 opgave 49/43 a)X = het aantal keer banaan. n=10 P(X = 5) = binompdf(10, 0.2, 5) ≈ 0,026 b)X = het aantal keer appel. n=18 P(X = 3) = binompdf(18, 0.4, 3) ≈ 0,025 c)X = het aantal keer appel. n=20 P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.4, 2) ≈ 0,004 d)X = het aantal keer banaan n=5 P(X = 4) = binompdf(5, 0.2, 4) ≈ 0,006

21 opgave 53/47 a)X = het aantal keer oost. P(in B uitkomen) = P(X = 2) = binompdf(8,, 2) ≈ 0,260 b)P(in C uitkomen) = P(X = 4) = binompdf(8,, 4) ≈ 0,026 c)P(via A in B) = P(X = 1) · P(X = 1) = binompdf(5,, 1) · binompdf(3,, 1) ≈ 0,

22 Werkschema: binomiale kansen berekenen 1.Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X 2.Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. 3.Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7)

23 opgave 59/54 a)X = het aantal keer even. P(X > 10) = 1 – P(X ≤ 10) = 1 – binomcdf(16, ½, 10) ≈ 0,105 b)X = het aantal keer 3 ogen. P(X < 2) = P(X ≤ 1) = binomcdf(16, ⅙, 1) ≈ 0,227 c)X = het aantal keer 6 ogen P(X = 5) = binompdf(16, ⅙, 5) ≈ 0,076

24 opgave 63/57 a)60% van 120 is 72 X = het aantal dat studie met succes voltooit. P(X > 72) = 1 – P(X ≤ 72) = 1 – binomcdf(120, ⅔, 72) ≈ 0,925 b)X = het aantal dat de studie voortijdig staakt. P(X ≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – binomcdf(6, 0.40, 2) ≈ 0,456 ⅓ haakt voortijdig af dus ⅔ voltooit de studie. p = 0,40

25 De binomiale verdeling met onbekende n opgave 63 X = het aantal treffers. n = onbekend p = 0,4 Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0,9, oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ? TI 1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9 Voer in y 1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4). Maak een tabel en lees af voor n = 17 is y 1 ≈ 0,874 voor n = 18 is y 1 ≈ 0,906. Dus minstens 18 vrije worpen.

26 De binomiale en de normale verdeling combineren opgave 76/69 a)X = het aantal optredens dat langer dan 2 uur duurt. X is binomiaal verdeeld met n = 22 en p = normalcdf(120, 10 99, 112, 5) ≈ 0,054 P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – binomcdf(22, 0.054, 3) ≈ 0,030 b)X = het aantal optredens dat korter duurt dan 105 minuten. X is binomiaal verdeeld met n = 120 en p = normalcdf(-10 99, 105, 112, 5) = 0,080 Je verwacht dat er 120 · 0,080 ≈ 10 optredens korter duren dan een uur en drie kwartier.

27 De verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X 1.Stel de kansverdeling van X op. 2.Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. 3.Tel de uitkomsten op. De som is E(X). Dus E(X) = x 1 · P(X = x 1 ) + x 2 · P(X = x 2 ) + … + x n · P(X = x n ).

28 opgave 79/71 a)W = uitbetaling - 2 E(W) = -2 · 0, · 0, · 0,01 = -1,20 De winstverwachting is - € 1,20 per lot. b)Een lot moet dan 2 – 1,20 = € 0,80 kosten. w-2848 P(W = w)0,960,030,01 4 prijzen, 96 keer niet prijs van de keer eerste prijs van de keer tweede prijs van de 100

29 opgave 85/77 a)P(13 euro terugbetalen) = P(twee van de drie dagen slecht weer) = 3 · 0,4 2 · 0,6 = 0,288 b)P(niets terugbetalen) = 0,6 3 = 0,216 P(6,50 euro terugbetalen) = 3 · 0,4 · 0,6 2 = 0,432 P(19,50 euro terugbetalen) = 0,4 3 = 0,064 V = de verdienste per kaart. E(V) = 20 · 0, ,50 · 0, · 0, ,50 · 0,064 = 12,20 De eigenaar verdient naar verwachting 228 · 12,20 = 2781,60 euro. v2013,5070,50 P(V = v)0,2160,4320,2880,064

30 Somregel voor de verwachting Weersvooruitzichten madiwodovr Zon % Neerslag % Wat is de kans dat het op maandag en woensdag droog is? P( X = maandag en woensdag droog ) = 0,8*0,6*0,6*0,4*0,4 De toevalsvariabele X is het aantal dagen dat het in deze werkweek regent. Bereken de verwachtingswaarde van het aantal dagen dat het regent in deze week. E( X) = E(maandag regen) + E(dinsdag regen) + E(woensdag regen) + E(donderdag regen) + E(vrijdag regen) E(maandag regen) = P(X=1)*0,2+P(X=0)*0,8=0,2 etc. E(X)=2,0

31 De standaardafwijking van een toevalsvariabele

32 De somregel voor de standaardafwijking Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt de somregel voor de standaardafwijking σ x+ y = √ σ 2 x + σ 2 y VAR(X) = σ 2 x (de variantie van X) σ 2 x+ y = σ 2 x + σ 2 y dus VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y)


Download ppt "Regels bij kansrekeningen Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ). Complementregel P(gebeurtenis)"

Verwante presentaties


Ads door Google